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河南省地区联考2023-2024学年高二上学期豫选命题阶段性检测(一)数学试题(Word版附解析)
河南省地区联考2023-2024学年高二上学期豫选命题阶段性检测(一)数学试题(Word版附解析)
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2023-2024学年度高二年级阶段性检测(一)数学(考试时间:120分钟试卷满分:150分)2023.10.2注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上3.考试完毕后,将答题卡收回,在微信公众号查询成绩.4.考察范围选择性必修一1.1-2.3一、单选题(共40分、每小题5分)1.空间四边形中,,,,且,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.【详解】由题知,空间四边形中,,,,且,,如图,所以,所以,故选:D2.已知直线的一个方向向量为,且经过点,则直线的方程为() A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率,再由点斜式求出直线方程.【详解】因为直线的一个方向向量为,所以直线的斜率,又直线经过点,所以直线的方程为,即.故选:D3.如图,平行六面体的底面是矩形,,,,且,则线段的长为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,由,转化为向量的模长,然后结合空间向量数量积运算,即可得到结果.【详解】由,可得,因为底面为矩形,,,,所以,,又,所以,则. 故选:B4.已知点在直线的上方,则a的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先把直线化为斜截式,点在直线上方,即.【详解】直线化为斜截式得,点在直线的上方,即,解得.故选:A5.在正三棱锥中,是的中心,,则等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将转化为,转化为,由三棱锥是正三棱锥可知,,即可将转化为,转化为,结合勾股定理即可求解.【详解】为正三棱锥,为的中心,∴平面,平面,∴,,△ABC是等边三角形,∴,,故, ,则.故选:D.6.已知点在直线上的运动,则的最小值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】表示点与距离的平方,求出到直线的距离,即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方,因为点到直线的距离,所以的最小值为.故选:A7.设为函数()图象上一点,点,为坐标原点,,的值为()A.-4B.C.4D.1【答案】A【解析】【分析】由数量积的定义表示求出,再利用条件,结合点在函数()图象上,可求出点,从而解决问题. 详解】设点,则,,,又,则可得,又,则,解得,所以.故选:A8.如图,在菱形中,,,沿对角线将折起,使点A,C之间的距离为,若P,Q分别为线段,上的动点,则下列说法错误的是()A.平面平面B.线段的最小值为C.当,时,点D到直线的距离为 D.当P,Q分别为线段,的中点时,与所成角的余弦值为【答案】C【解析】【分析】取的中点,易知,结合条件及线面垂直的判定定理可得平面,进而有平面平面,即可判断A;建立坐标系,利用向量法可判断BCD.【详解】取的中点,连接,∵菱形中,,,∴,又,∴,所以,又易知,因为,,,所以平面,因为平面,所以平面平面,故A正确;以为原点,分别为轴建立坐标系,则,当,时,,,,, 所以点D到直线PQ的距离为,故C错误;设,设,可得,,当时,,故B正确;当P,Q分别为线段BD,CA中点时,,,,,设PQ与AD所成的角为,则,所以PQ与AD所成角的余弦值为,故D正确;故选:C.二、多选题(共20分,每小题5分,多选得2分,错选不得分)9.如图,设直线l,m,n的斜率分别为,,,则()A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角,再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小,得出答案. 【详解】由图可知直线l,m,n的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角,所以又直线m最陡峭,则,所以,,.故选项BCD正确.故选:BCD10.若,,与的夹角为120°,则的值为()A.B.17C.1D.【答案】BD【解析】【分析】由空间向量夹角的坐标表示求解【详解】由题意得解得或故选:BD11.下列说法正确的是()A.已知直线与直线垂直,则实数a的值是B.直线必过定点C.直线在y轴上的截距为D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】BC【解析】【分析】根据直线垂直关系列方程求,判断选项A;将直线方程化为点斜式即可判断选项B;根据截距的定义判断选项C,根据条件求出满足要求的直线方程,判断选项D.【详解】解:对A:因为直线与直线垂直,则,解得或,A不正确;对B:直线可变为,因此直线必过定点,即B正确; 对C:由直线方程取,得,所以直线在y轴上的截距为,所以C正确.对D:经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或,所以D不正确;故选:BC.12.如图,已知正方体的棱长为2,分别为的中点,以下说法正确的是()A.平面B.点到平面的距离为C.正方体的内切球半径为D.平面与平面夹角的余弦值为【答案】AB【解析】【分析】对于A,建立空间直角坐标系,利用向量法可判断;对于B,利用点面距离的向量公式求解即可判断;对于C,根据正方体的内切球的直径为正方体的棱长,即可判断;对于D,利用面面角的向量法求解即可判断.【详解】 对于A,建立如图所示空间直角坐标系,则,所以,所以,所以,由于平面,所以平面,A正确;对于B,由A可知,平面的一个法向量为,,所以点到平面的距离为,B正确;对于C,因为正方体的内切球的直径为正方体的棱长,所以正方体的内切球半径为,C错误;对于D,平面的法向量为,设平面与平面的夹角为,则,D错误.故选:AB.三、填空题(共20分,每小题5分)13.已知空间向量满足,,则与的夹角为_________.【答案】##60°【解析】【分析】根据题设知可构成三角形,利用余弦定理求与的夹角.【详解】由,即首尾相连可构成三角形,所以,又,故.故答案为:14.直线与直线之间的距离为_____________. 【答案】【解析】【分析】确定两直线是平行直线,故可根据平行线间的距离公式求得答案.【详解】直线可化为,则直线与直线平行,故直线与直线之间的距离为,故答案为:.15.如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点在上,点在上,且,点在线段上运动,给出下列四个结论:①当点是中点时,直线平面;②平面截正方体所得的截面图形是六边形;③不可能直角三角形;④面积的最小值是.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①④【解析】【分析】根据中位线的性质证线线平行后可得线面平行来判定①,利用平面的性质构造相交线可判定②,建立合适的空间直角坐标系,利用空间向量的数量积可判定③,利用空间中点到直线的距离可判定④【详解】对①,如图所示,因为是中点,, 连接,显然也是的中点,连接,所以,而平面,平面,所以直线平面,①正确;对②,如图直线与的延长线分别交于连接,分别交于,连接,则五边形即为所得的截面图形,故②错误;以为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则,对③,设,则,则,若, 则得,由,故存在点,使得,故可能为直角三角形,③错误;对④,由③得到的投影为,故到的距离,面积为,当时,取得最小值为,④正确.故答案为:①④.16.已知实数满足,,则的最大值为______.【答案】##【解析】【分析】设圆,直线,,,求出∠MON的大小,求出MN中点的轨迹方程,表示和到直线的距离和,数形结合即可求出其最大值.【详解】设圆,直线,,,则,都在圆上,∵,,∴△MON是等边三角形,∴.表示和到直线的距离和, 由图形得只有当、都在直线的下方时,该距离之和才会取得最大值.取、的中点,过作,垂足为,则,∵为等边三角形,为的中点,∴,则在圆上运动,则当MN∥l时,到直线距离的最大值为,∴的最大值为.故答案为:四、解答题(共70分)17.已知向量(1)求;(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由向量的模长坐标公式,可得答案;(2)根据向量数量积的公式,结合模长公式,再由夹角公式,可得答案.【小问1详解】 因为,所以.【小问2详解】因为,所以,又因为,所以故与夹角的余弦值为.18.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:.(1)当l1//l2时,求实数a的值;(2)当l1⊥l2时,求实数a的值.【答案】(1)-1;(2).【解析】【分析】(1)根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可;(2)根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可.【详解】解:由题意得:(1)(方法1)当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:,l2:时,解得a=-1综上可知,当a=-1时,l1//l2(方法2)∵l1//l2∴⇔解得a=-1故当a=-1时,l1//l2.(2)(方法1)当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;当a≠1且a≠0时,l1:,l2:由,得 (方法2)∵l1⊥l2,∴a+2(a-1)=0,解得19.如图,在三棱锥中,点为棱上一点,且,点为线段的中点.(1)以为一组基底表示向量;(2)若,,,求.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)直接利用向量的数乘运算及加减运算求解;(2)由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解.【小问1详解】∵为线段的中点,∴,∵,∴,∴;【小问2详解】 .20.已知的三个顶点分别为.求:(1)边上的中线所在直线的方程;(2)的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由题可得AC中点坐标,结合中线过B点,可得答案;(2)由两点间距离公式可得边长,由点到直线距离公式可得高.【小问1详解】设AC边上的中点为D,则,即,故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为,故为:,即.【小问2详解】边AC所在直线的方程为:,且,点B到直线AC的距离为:, 故的面积:21.1.已知直线l:(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.【答案】(1)证明见解析(2)(3)4,【解析】【分析】(1)将含有k的式子整理在一起并将k提出,令k的系数为0,进而得到答案;(2)将直线化为斜截式,结合(1)对直线斜率和纵截距进行限制,最后得到答案;(3)算出直线与坐标轴交点的坐标,进而通过基本不等式求出面积的最小值,及此时直线的方程.【小问1详解】,令x+2=0,则-3y+3=0,则直线l过定点(-2,1).【小问2详解】直线l:,因为直线不过第四象限,且直线的定点(-2,1)在第二象限,所以.【小问3详解】由题意,,令x=0,得,令y=0,得,所以,当且仅当(负值舍去),则直线l:. 22.如图,在正四棱柱中,,.点,,,分别在棱,,,上,,,.(1)证明:;(2)求点到平面的距离;(3)点P在棱上,当二面角为时,求.【答案】(1)证明见解析(2)(3)1【解析】【分析】(1)利用空间向量的坐标表示证明;(2)利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离;(3)利用空间向量与二面角的关系求解.【小问1详解】以为坐标原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图, 则,,所以,且不在一条直线上,所以.【小问2详解】设平面一个法向量为,,所以,设,则,所以,又因为,所以点到平面的距离.【小问3详解】设,设平面的法向量为,则,令,所以,所以可得,解得或,所以.
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