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福建省三明地区部分高中校协作2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题(Word版附解析)
福建省三明地区部分高中校协作2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题(Word版附解析)
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三明地区部分高中校协作2023—2024学年第一学期期中联考高二数学试题(考试时间:120分钟总分:150分)试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单选题.(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1.已知椭圆的一个焦点坐标为,则的值为()A.1B.3C.7D.92.已知向量,,则向量在向量上的投影向量为()A.B.C.D.3.如果,,那么直线不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知直线与平行,则与的距离为()AB.C.D.5.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这些节气的日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为尺,前九个节气日影长之和为尺,则小满日影长为()A.尺B.尺C.尺D.尺6.动圆P过定点M(0,2),且与圆N:相内切,则动圆圆心P轨迹方程是()AB.C.D. 7.已知椭圆:的右焦点为,左顶点为.若点为椭圆上的点,轴,且,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.8.若曲线与曲线的图象恰有三个不同的交点,则的取值范围为()A.B.C.D.二、多选题(本大题共4小题,共20分.在每小题有多项符合题目要求.)9.已知数列的前项和,则()A.不是等差数列B.C.数列是等差数列D.10.已知点P为圆上的动点,直线l过点,过l上一点Q作圆O的切线QC,QD,切点分别为C,D,则下列说法正确的有()A.当∠PAB最大时,B.点P到l的距离的最大值为C.四边形CQDO的面积的最小值为9D.四边形CQDO的面积最小时,直线OQ的方程为11.已知抛物线:()的焦点到准线的距离为2,过的直线交抛物线于两点,,则()A.的准线方程为B.若,则C.若,则的斜率为D.过点作准线的垂线,垂足为,若轴平分,则 12.如图,已知正方体的棱长为,点为的中点,点为正方体上底面上的动点,则()A.满足平面点的轨迹长度为B.满足的点的轨迹长度为C.存在唯一的点满足D.存在点满足第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,共20分.)13.以点为圆心,且与轴相切的圆的标准方程为__________.14.已知抛物线:,直线:交于两点,则线段的长是_______.15.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为____.16.已知数列满足,,记数列的前项和为,则_______.四.解答题(本大题共6小题,共70分.)17.已知圆的圆心为,半径为3,是过点的直线.(1)求圆的方程,并判断点是否在圆上,证明你的结论;(2)若圆被直线截得的弦长为,求直线的方程.18.已知等差数列的前项和为,,. (1)求数列的通项公式;(2)求的最大值.19.已知双曲线的离心率为2,且过点.(1)求C的方程;(2)若斜率为直线l与C交于P,Q两点,且与x轴交于点M,若Q为PM的中点,求l的方程.20.在三棱锥中,底面与侧面均为正三角形,,为的中点.(1)证明:平面平面;(2)为线段上一点,且,求二面角的正弦值.21.已知点为抛物线的焦点,点,且点到抛物线准线的距离不大于,过点作斜率存在的直线与抛物线交于两点(在第一象限),过点作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求证:直线BC过定点.22.已知圆:,是圆上的点,关于轴的对称点为,且的垂直平分线与交于点,记的轨迹为.(1)求的方程;(2)坐标原点关于的对称点分别为,点关于直线的对称点分别为,过的直线与交于点,直线相交于点.请从下列结论中,选择一个正确的结论并给予证明.①的面积是定值;②的面积是定值;③的面积是定值. 三明地区部分高中校协作2023—2024学年第一学期期中联考高二数学试题(考试时间:120分钟总分:150分)试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单选题.(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1.已知椭圆的一个焦点坐标为,则的值为()A.1B.3C.7D.9【答案】B【解析】【分析】根据焦点坐标确定,然后计算.【详解】由题意,,∴,,故选:B.2.已知向量,,则向量在向量上的投影向量为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件,利用投影向量定义求解即得.【详解】向量,,则,所以向量在向量上的投影向量为.故选:A3.如果,,那么直线不经过() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】直线变换为,确定,,得到直线不经过的象限.【详解】由可得,,因为,,故,.故直线不经过第四象限.故选:D4.已知直线与平行,则与的距离为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由两直线平行的充要条件先求出参数,即可求出直线的方程,然后由两平行线之间的距离公式即可求解.【详解】由题意直线与平行,因此,解得,所以即为,由两平行线之间的距离可知与的距离为.故选:D.5.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这些节气的日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为尺,前九个节气日影长之和为尺,则小满日影长为()A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前n项和和等差中项,求得通项公式求解. 【详解】从冬至日起,依次构成等差数列,设为,由题意得:,解得,又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺:,所以,所以,所以,故选:B6.动圆P过定点M(0,2),且与圆N:相内切,则动圆圆心P的轨迹方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系,结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.【详解】圆N:的圆心为,半径为,且设动圆的半径为,则,即.即点在以为焦点,焦距长为,实轴长为,虚轴长为的双曲线上,且点在靠近于点这一支上,故动圆圆心P的轨迹方程是故选:A 7.已知椭圆:的右焦点为,左顶点为.若点为椭圆上的点,轴,且,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得,,然后可得,然后结合和可得,解出即可.【详解】由题意可得,所以,所以所以,所以,所以所以,所以,解得或因为,所以故选:D【点睛】本题考查的是椭圆离心率的求法,考查了学生的运算求解能力,属于中档题. 8.若曲线与曲线的图象恰有三个不同的交点,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】曲线看成两条曲线问题,与半圆交点有三个,即可求解k的取值范围.【详解】曲线可得或曲线,由,可得;那么,即,圆心为,半径为1,作出图象如下,通过图象可知与曲线交于A,只有一个交点;那么与曲线必有2个交点;直线恒过(0,3)点,当直线与曲线相切于B点时,可得,解得或舍; 当直线恰好过A点时,可得;所以恰有三个不同的交点,则k的取值范围为故选:B【点睛】关键点点睛:原方程转化为两条曲线,作出的图象,利用数形结合的思想,找出动直线的极限位置是解题的关键,属于中档题.二、多选题(本大题共4小题,共20分.在每小题有多项符合题目要求.)9.已知数列的前项和,则()A.不是等差数列B.C.数列是等差数列D.【答案】BC【解析】【分析】根据即可求出数列的通项,再根据等差数列得定义和前项和公式逐一判断即可.【详解】由,当时,,当时,,当时,上式也成立,所以,故B正确;因为,所以是等差数列,故A错误;对于C,,因为,所以数列是等差数列,故C正确;对于D,令,则,所以当时,,当时,, 故,故D错误.故选:BC.10.已知点P为圆上的动点,直线l过点,过l上一点Q作圆O的切线QC,QD,切点分别为C,D,则下列说法正确的有()A.当∠PAB最大时,B.点P到l的距离的最大值为C.四边形CQDO的面积的最小值为9D.四边形CQDO的面积最小时,直线OQ的方程为【答案】BC【解析】【分析】选项A,当PA与圆相切时,∠PAB最大;选项B,点P到l最大距离为圆心到直线l的距离加上半径;选项C,D,当时,四边形CQDO的面积最小.【详解】对于A,如图1,当PA与圆相切时,∠PAB最大,设圆半径为,,,,,故A错误;对于B,由已知直线l的方程为,当点P到l的距离最大时,最大距离为圆心到直线l的距离加上半径,即为,故B正确;对于C,如图2,QC,QD是圆O的切线,则,,四边形CQDO的面积,四边形CQDO的面积最小时,即为取最小,又,即,所以当最小时,取最小,即当时,,则,四边形CQDO的面积的最小值为9,故C正确;对于D,四边形CQDO的面积最小时,,直线OQ的斜率为,方程为,故D错误; 故答案为:BC.11.已知抛物线:()的焦点到准线的距离为2,过的直线交抛物线于两点,,则()A.的准线方程为B.若,则C.若,则的斜率为D.过点作准线的垂线,垂足为,若轴平分,则【答案】BCD【解析】【分析】根据抛物线几何意义求出,即可得到抛物线的方程,再根据抛物线的定义判断A、B、D,设,,,,直线的方程为,联立直线与抛物线方程,消元列出韦达定理,根据焦半径公式计算即可判断C;【详解】解:因为抛物线:()的焦点到准线的距离为2,所以,所以抛物线方程为,则焦点,准线为,故A错误;若,则,所以,所以,故B正确;可设,,,,直线的方程为,与抛物线联立,消去,可得,可得,, 由抛物线的定义可得即,即,解得,则直线的斜率为,故C正确;对于D,若轴平分,则,又轴,所以,所以,所以,即,所以,故D正确;故选:BCD12.如图,已知正方体的棱长为,点为的中点,点为正方体上底面上的动点,则()A.满足平面的点的轨迹长度为B.满足的点的轨迹长度为 C.存在唯一点满足D.存在点满足【答案】ABC【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹,进而判断A;建立空间直角坐标系,得到,,且,,进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.【详解】对于A,取的中点,的中点,又点为的中点,由正方体的性质知,平面,平面所以平面,同理平面,,平面,所以平面平面,又平面,平面,故点的轨迹为线段,故A正确;以为原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,设且,,,,, 对于B,,即,又,,则点的轨迹为线段,,且,故B正确;对于C,,显然,只有,时,,即,故存在唯一的点满足,故C正确;对于D,点关于平面的对称点的为,三点共线时线段和最短,故,故不存在点满足,故D错误.故选:ABC.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,共20分.)13.以点为圆心,且与轴相切的圆的标准方程为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意得出半径,即可得出圆的标准方程.【详解】以点为圆心,且与轴相切圆的半径为1, 故圆的标准方程是.故答案为:14.已知抛物线:,直线:交于两点,则线段的长是_______.【答案】5【解析】【分析】联立方程,利用韦达定理求出,再根据弦长公式即可得解.【详解】设,联立,消得,,则,所以.故答案为:.15.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为____.【答案】15【解析】【分析】利用椭圆的定义得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|)求解.【详解】如图所示: 在椭圆+=1中,a=5,b=4,c=3,所以焦点坐标分别为F1(-3,0),F2(3,0).|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).∵|PM|-|PF2|≤|MF2|,当且仅当P在直线MF2上时取等号,∴当点P与图中的点P0重合时,有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|==5,此时|PM|+|PF1|取最大值,最大值为10+5=15.故答案为:1516.已知数列满足,,记数列的前项和为,则_______.【答案】506【解析】【分析】根据数列递推公式可知,当为偶数时,可分组求和,利用累加法即可求得结果.【详解】由递推公式可得,;;……;而 .故答案为:506.【点睛】关键点睛:解题的关键是发现,当为偶数时,即可出现分组求和.四.解答题(本大题共6小题,共70分.)17.已知圆的圆心为,半径为3,是过点的直线.(1)求圆的方程,并判断点是否在圆上,证明你的结论;(2)若圆被直线截得的弦长为,求直线的方程.【答案】(1),点P不在圆上.证明见解析(2)或.【解析】【分析】(1)圆心到点的距离与半径比较即可;(2)分直线l的斜率不存在与存在两种情形讨论即可.【小问1详解】圆C的方程为:点P不在圆上.证明如下:∵,∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部,不在圆上;【小问2详解】由直线与圆的位置关系可知,圆心C到直线l的距离,①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,此时,满足题意;②当直线l的斜率存在时,设直线l为,即,又∵,解得,此时直线l为,综上所述:直线l的方程为或. 18.已知等差数列的前项和为,,.(1)求数列的通项公式;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)78【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式即可求解;(2)根据(1)的结论及等差数列的前项和公式,结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】设等差数列的公差为,∴,解得,∴数列的通项公式为.【小问2详解】由(1)知,.所以.由二次函数的性质知,对称轴方程为,开口向下,所以,当取与最近的整数即时,最大值,最大值为.19.已知双曲线的离心率为2,且过点.(1)求C的方程;(2)若斜率为的直线l与C交于P,Q两点,且与x轴交于点M,若Q为PM的中点,求l的方程.【答案】(1)(2)(或)【解析】 【分析】(1)由离心率可得,再将点A的坐标代入方程可得,解方程组即可求解.(2)设,,,由题意可得,设l的方程为,将直线方程与椭圆方程联立消去,利用韦达定理即可求解;将直线与椭圆方程联立消去,利用韦达定理也可求解.【小问1详解】因为,所以,即.将点A的坐标代入,得,解得,故C的方程为.【小问2详解】设,,,因为Q为PM的中点,所以.因为直线l的斜率为,所以可设l的方程为,联立得,,由韦达定理可得,.因为,所以,解得,,解得,即,故l的方程为.在第(2)问中,若未写判别式大于0,但写到“由,得l与C必有两个不同的交点”, 另外本问还可以通过联立方程消去y求解,其过程如下:设,,l的方程为,联立得,,由韦达定理可得,.因为Q为PM的中点,所以,则,,解得,,,解得,即,故l的方程为(或).20.在三棱锥中,底面与侧面均为正三角形,,为的中点.(1)证明:平面平面;(2)为线段上一点,且,求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质,结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可;(2 )建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可;或根据面面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理进行求解即可.【小问1详解】解法1:因为是边长为2的正三角形,M为AB的中点,所以,,同理,,又,因为,所以,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面;解法2:因为△ABC是边长为2的正三角形,M为AB的中点,所以且平面,所以平面平面,所以;【小问2详解】因为是正三角形,M为AB的中点,所以,又,,故以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,则,因为平面,平面,所以.在中,因为N为线段PA上一点,设,则,所以,又,所以,解得,所以. 或设,则又,,由得由得,设面的法向量为,,取设面的法向量为,,取设二面角的大小为,则,所以,,二面角的正弦值为1.另解:在中,,所以,所以,又,所以平面,平面,所以.在中,,在边长为2的正中,取中点,则,又是的中点,所以,所以是的中点,则. 在中,,在中,,所以,所以,,又,所以平面平面,所以平面平面,所以二面角的大小为,二面角的正弦值为1.21.已知点为抛物线的焦点,点,且点到抛物线准线的距离不大于,过点作斜率存在的直线与抛物线交于两点(在第一象限),过点作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求证:直线BC过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由利用距离公式构建方程即可求得值;(2)过点,则可设的方程为,并与抛物线联立可得,若,则可知,消得,由斜率为可得,代入消可得将他代入的方程为即可求得必过点.【小问1详解】焦点, 又∵,且点到抛物线准线的距离不大于,即∴∴抛物线E的标准方程为;【小问2详解】依题意直线斜率存在且过点,则可设的方程为,由,化简得:,设,则由韦达定理可知,消去得:①又,则②由①②得,∴③由于 (ⅰ)若直线没有斜率,则,又,∴(舍去)(ⅱ)若直线有斜率,直线的方程为,即,将③代入得,∴,故直线有斜率时过点.【点睛】方法点睛:我们在处理直线与抛物线相交问题时,通常使用联立方程设而不求韦达定理处理,最终利用横(纵)坐标的和与积的转换来处理;抛物线上两点斜率一般可用抛物线方程转化为坐标之和来表示,如上两点的斜率.22.已知圆:,是圆上的点,关于轴的对称点为,且的垂直平分线与交于点,记的轨迹为.(1)求的方程;(2)坐标原点关于的对称点分别为,点关于直线的对称点分别为,过的直线与交于点,直线相交于点.请从下列结论中,选择一个正确的结论并给予证明.①的面积是定值;②的面积是定值;③的面积是定值.【答案】(1)(2)结论③正确,证明见解析【解析】【分析】(1)根据为的垂直平分线上的点,垂直平分线上的点到两端点的距离相等,则可判断到、的距离之和为半径,又因为,则判断点的轨迹为椭圆. (2)证明③的结论过点的直线与椭圆联立表示、两点,再设出直线并求出交点的表示,则即可判断、、为顶点的三角形面积.【小问1详解】由题意得,圆的圆心坐标又因为关于轴的对称点为,则.因为为的垂直平分线上的点,所以所以,所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆.设:,其中,.由题可知:则,,,.故的方程为:小问2详解】法一:结论③正确.若证:的面积是定值.由题意得,,,,,且直线的斜率不为0,可设直线:,,且,.由,得,所以,所以.直线的方程为:,直线的方程为:, 由得,解得.故点在直线,由于的横坐标是常数,纵坐标不确定,它到定直线、的距离都不是常数,而线段、的长度为定值,则、的面积不是定值.因为到的距离,因此的面积是定值,故③正确..法二:结论③正确.若证:的面积是定值.由题意得,,,,,且直线的斜率不为0,可设直线:,,且,.由得, 所以,所以.直线的方程为:,直线的方程为:,由得.故点在直线,由于的横坐标是常数,纵坐标不确定,它到定直线、的距离都不是常数,而线段、的长度为定值,则、的面积不是定值.因为到的距离,因此的面积是定值,故③正确..法三:结论③正确.若证:的面积是定值. 由题意得,,,,,直线的斜率不为0.(i)当直线垂直于轴时,:,由得或不妨设,则直线的方程为:,直线的方程为:,由,得,所以,故到的距离,此时的面积是.(ii)当直线不垂直于轴时,设直线:,,且,.由,得,所以.直线的方程为:,直线的方程为:, 由得.若证:.即证,即证,即证,即证,上式显然成立,故点在直线,由于的横坐标是常数,纵坐标不确定,它到定直线、的距离都不是常数,而线段、的长度为定值,则、的面积不是定值.因为到的距离,此时的面积是定值,.由(i)(ii)可知,的面积为定值,故③正确..法四:结论③正确.若证:的面积是定值.由题意得,,,,,且直线的斜率不为0, 可设直线:,,且,.由,得,所以.直线的方程为:,直线的方程为:,因为,所以,故直线的方程为:.由得,解得. 故点在直线,由于的横坐标是常数,纵坐标不确定,它到定直线、的距离都不是常数,而线段、的长度为定值,则、的面积不是定值.因为到的距离,因此的面积是定值,故③正确..
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