浙江省A9协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

浙江省A9协作体2023学年第一学期期中联考高二数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义进行求解.【详解】由椭圆方程可知，解得.又椭圆上一点M到两焦点的距离和为，所以M到另一个焦点的距离为.故选：B2.已知向量，，且，则实数的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为，，，所以，解得，故选：A 3.若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用方向向量可求得其斜率为，即可求得倾斜角.【详解】由方向向量为可知，直线斜率为，所以倾斜角满足，即可得.故选：C4.已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程可确定两圆圆心和半径，易得圆心距等于两半径之和，即可得两圆外切，所以可得两圆有3条公切线.【详解】易知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，易知两圆圆心距，两半径之和为，即满足，此时两圆外切，因此两圆有3条公切线.故选：C5.若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可.【详解】直线与两坐标轴的交点为，则，则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，化简得：.故选：A6.正方体中，二面角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量后可得所求二面角的余弦值.【详解】分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得，则， 设是平面的一个法向量，则，即，取，得，故，又平面，故平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为.故选：D.7.已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值.【详解】如下图所示：在椭圆中，，则，圆的圆心，半径， 圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得，，由椭圆的几何性质可得，即，由圆几何性质可得，所以，所以的最小值是.故选：C.8.如图，一束平行光线与地平面的夹角为，一直径为24cm的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由图可得，求出椭圆的，再代入离心率公式，即可得到答案；【详解】由图可得，椭圆的为球的直径，故，椭圆的为球在地面投影，故，，故选：D. 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，分别设直线方程，代入点的坐标，即可求解.【详解】当直线过原点时，设直线，则，得，即，整理为，当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等时，设直线，则，得，方程为，当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相反时，设直线，则，得，方程为.故选：ACD10.在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（）A.B.向量与的夹角的余弦值为C.点关于轴的对称点坐标为D.向量在上的投影向量为【答案】BD【解析】 【分析】根据空间两点距离公式可判断A；根据空间向量的夹角坐标公式可判断B；根据点的对称性可判断C；根据投影向量的概念可判断D.【详解】记，，对于A，，故A错误；对于B，，，，设与的夹角为，则，故B正确；对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误；对于D，在上的投影向量为，D正确．故选：BD．11.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，底面，点、分别为、的中点，若线段上存在点，使得，则线段的长度可能值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算可得，再由基本不等式，即可得到结果. 【详解】设，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，因为，所以，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即.故选：BCD12.画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆:中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为.已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为（）A.点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为B.若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为C若上任意一点都满足，则 D.若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆上点到原点距离最大值为，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减判断A；根据相切列方程，求出椭圆方程，判断B；分析得到点应在蒙日圆外，从而判断C；根据题意表示出面积，求面积最大值，判断D.详解】由离心率且得：，的蒙日圆方程为：，对于选项A，由于原点到蒙日圆上任意一点的距离都为，到椭圆上任意一点的距离最大值为，所以上任意一点与的蒙日圆上任意一点的距离最小值为，选项A错误；对于选项B，由蒙日圆的定义可知：直线与蒙日圆：相切，则圆心到直线的距离为，所以，则的方程为：，选项B正确；对于选项C，由蒙日圆的定义可知：点应在蒙日圆外，所以直线与蒙日圆：相离，则圆心到直线的距离为，所以，选项C错误；对于选项D，椭圆的方程为：，蒙日圆方程为：，设，则，设，，则，， 将代入方程中，则，，所以直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立：，得：，所以，，所以，又因为原点到的距离为，所以，设，则，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以选项D正确.故选：BD.非选择题部分三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知椭圆的一个焦点是，则的值为___【答案】1【解析】【分析】根据方程为椭圆，以及焦点坐标求参数k值即可.【详解】因为椭圆的一个焦点是，所以，且.故答案为：114.已知实数满足，则的最小值为___. 【答案】【解析】【分析】根据的几何意义求最值.【详解】因实数满足，表示原点与直线上点之间距离，因为到直线距离为，所以的最小值为.故答案为：15.已知点分别为圆与圆上的动点，点为轴上的动点，则的最小值为___.【答案】7【解析】【分析】作出圆M关于x轴的对称圆圆，根据对称性可知，.【详解】如图，圆M关于x轴的对称圆为圆，点A关于x轴的对称点为点.圆，圆心，半径，则圆M关于x轴的对称圆圆，圆心，半径；圆，圆心，半径.当共线时，最小，此时.故答案为：7 16.已知正方体的棱长为，分别为的中点，点在正方体表面上运动，若直线平面，则点的轨迹长度为___.【答案】【解析】【分析】过作面的平行平面，该平面与几何体的截面为四边形，求出周长即可得结果.【详解】分别取，中点，，连结，因为分别为的中点，所以，因为面，面，所以面，由正方体的性质易得，面，面，所以面，又因为，面，面,所以面面，由于，，所以，即四点共面，由于直线平面，所以点的轨迹为四边形，轨迹长度为：，故答案为：. 四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直线和直线的交点为（1）求过点且与直线平行的直线方程；（2）若点到直线距离为，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）首先求点的坐标，再根据两直线平行，即可求解直线方程；（2）代入点到直线的距离公式，即可求解.【小问1详解】联立方程组，解得，所以点，又所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为，则所求的直线方程为：，即；【小问2详解】点到的距离为解方程可得.18.如图，直三棱柱，，，点是线段的中点. （1）证明：平面平面.（2）求异面直线与所成角的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直得出面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】直三棱柱中，平面，平面，，又等腰中，点为得中点，，又，平面，又平面，平面平面.【小问2详解】以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则.19.已知圆：.（1）若直线过定点且与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆交于两点，求的最小值.【答案】（1）直线的方程为和.（2）【解析】【分析】（1）根据题意，分切线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，代入计算，即可得到结果.（2）根据题意，由条件可得当直线l与直线垂直时，直线l被圆截得的弦最小，再由弦长公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】已知圆心，半径，当直线斜率存在时，设直，即，圆心到直线的距离为，解方程可得，此时直线方程为，整理得.当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意.所以直线的方程为和.【小问2详解】直线的方程可化为点斜式，所以l过定点.又点在圆C内，当直线l与直线垂直时，直线l被圆截得的弦最小. 因为，所以l的斜率，所以l的方程为，即，因为，，此时所以当时，的最小值为.20.已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用离心率以及椭圆经过点的坐标联立解方程组，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为并于椭圆联立，利用韦达定理写出直线的方程，求出点横坐标表达式即可得.【小问1详解】由离心率可得，将点代入椭圆方程可得，又；解得，所以椭圆C的方程为【小问2详解】 设点，，则，直线的方程为，直线与椭圆联立，消去，得，则可得，，易知，得由题意，直线的方程为，令，所以点的横坐标，所以直线与轴交于定点21.已知空间几何体，底面为菱形，，，，，，平面平面，，.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，即可求证；（2）根据垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】证明：平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，.【小问2详解】 平面，与平面所成角为，又，所以正三角形，故.，，为等边三角形，，以为坐标原点，分别以为，，轴的正半轴建立空间直角坐标系，，，，，，，故可得点坐标为所以，设平面得法向量为，又，，，令，则，可得，设直线与平面所成角为，22.已知椭圆，、为椭圆的左右焦点，、为椭圆的左、右顶点，直线与椭圆交于、两点.（1）若，求；（2）设直线和直线的斜率分别为、，且直线与线段交于点，求的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，写出直线的方程，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值；（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据直线与线段求出实数的取值范围，再利用斜率公式结合韦达定理可求出的取值范围.【小问1详解】解：设、，当时，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，可得，，由韦达定理可得，，所以，.【小问2详解】解：联立直线与椭圆方程，消去，得，则，解得，设、，由韦达定理可得，， 因为，易知，直线交线段于点，则，可得，所以，.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.