浙江省A9协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附答案）

绝密★考试结束前浙江省A9协作体2023学年第一学期期中联考高二数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。选择题部分一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离是A．6B．7C．8D．92．已知向量，，且，则实数的值是A．1B．2C．3D．43．若直线的一个方向向量，则的倾斜角为A．B．C．D．4．已知圆与圆，则两圆的公切线条数为A．1B．2C．3D．45．若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为A．B．C．D．6．正方体中,二面角的余弦值为A．B．C．D．7．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是A．B．C．D． 8．如图，一束平行光线与地平面的夹角为，一直径为24cm的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为A．B．C．D．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是A．B．C．D．10．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有A．B．向量与的夹角的余弦值为C．点关于轴的对称点坐标为D．向量在上的投影向量为11．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，底面，点、分别为、的中点，若线段上存在点，使得，则线段的长度可能值为A．3B．4C．5D．612．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆:中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为.已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为A．点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为B．若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为C．若上任意一点都满足，则D．若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为非选择题部分三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知椭圆的一个焦点是，则的值为▲.14．已知实数满足，则的最小值为▲. 15．已知点分别为圆与圆上的动点，点为轴上的动点，则的最小值为▲.16．已知正方体的棱长为，分别为的中点，点在正方体表面上运动，若直线平面，则点的轨迹长度为▲.四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线和直线的交点为（1）求过点且与直线平行的直线方程；（2）若点到直线距离为，求的值.18．（12分）如图，直三棱柱，，，点是线段的中点.（1）证明：平面平面.（2）求异面直线与所成角的余弦值；19．（12分）已知圆：.（1）若直线过定点且与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆交于两点，求的最小值. 20．（12分）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于,两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.21．（12分）已知空间几何体，底面为菱形，，，，，，平面平面，，.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.22．（12分）已知椭圆，，为椭圆的左右焦点，，为椭圆的左右顶点，直线与椭圆交于，两点.（1）若，求；（2）设直线和直线的斜率分别为，，且直线与线段交于点，求的取值范围. 浙江省A9协作体2023学年第一学期期中联考高二数学参考答案一、选择题题号123456789101112选项BACCADBDACDBDBCDBD12．参考答案：由离心率且得：，的蒙日圆方程为：，对于选项A，由于原点到蒙日圆上任意一点的距离都为，到椭圆上任意一点的距离最大值为，所以上任意一点与的蒙日圆上任意一点的距离最小值为，选项A错误；对于选项B，由蒙日圆的定义可知：直线与蒙日圆：相切，则圆心到直线的距离为，所以，则的方程为：，选项B正确；对于选项C，由蒙日圆的定义可知：点应在蒙日圆外，所以直线与蒙日圆：相离，则圆心到直线的距离为，所以，选项C错误；对于选项D，椭圆的方程为：，蒙日圆方程为：，设，则，设，，则，，将代入方程中，则，，所以直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立：，得：，所以，，所以，又因为原点到的距离为，所以，设， 则，选项D正确.二、填空题13．114．15．716．三、解答题17．【答案】（1）联立方程组，解得，所以点又所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为，（3分）则所求的直线方程为：，即（5分）（2）点到的距离为解方程可得.（10分）18．【答案】（2）直三棱柱中，平面，平面，，又等腰中，点为得中点，，（9分）又，平面，又平面，平面平面.（6分）（1）法一：以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.，，，，（9分）设异面直线与所成角为，.（12分）法二：取中点，连结，，易知，所以即为异面直线与所成角，设为（3分）由题意可知，，，所以，由余弦定理可知.（12分）19．【答案】（1）已知圆心，半径，当直线斜率存在时，设直，即， 圆心到直线的距离为，解方程可得，此时直线方程为，整理得.（3分）当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意.所以直线的方程为和。（5分）（2）直线的方程可化为点斜式，所以l过定点.又点在圆C内，当直线l与直线垂直时，直线l被圆截得的弦最小.因为，所以l的斜率，所以l的方程为，即，（8分）因为，，此时所以当时，的最小值为.（12分）20．【答案】（1）可得，（2分）椭圆C的方程为：（4分）（2）设点，，则，直线的方程为，直线与椭圆联立，消去，得，则，，，得（7分）由题意，直线的方程为，令，所以点的横坐标，所以直线与轴交于定点（12分）21．【答案】（1）证明：平面平面，平面平面，，平面，又平面，.（4分）（2）平面，与平面所成角为，又，所以为正三角形，故.（6分）以为坐标原点，分别以为，，轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，故可得点坐标为所以，设平面得法向量为，又，，，可得，（10分）设直线与平面所成角为，（12分）22．【答案】（1）设，，点，联立直线与椭圆方程：，消去，得，，故弦长，（4分）（2）联立直线与椭圆方程：，消去，得，根据韦达定理，，，因为，（6分）将，代入，得，因为，所以，（10分）因为点在线段上，所以，即，代入，得（12分）