湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试高二数学试卷考试时间：2023年11月17日8:00—10:00试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.空间任意四个点A，B，C，D，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量加法的三角形法则和向量减法的定义即可求出答案.【详解】易知，.故选：D.2.已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（    ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.【详解】根据空间中点坐标确定方法知， 空间中点在坐标平面上的投影坐标，轴上坐标不变，轴上坐标变为0．所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：故选：C.3.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基本定理以及空间基底逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】解：对于A，设，所以，此方程组无解，所以，，不共面；对于B，因为，所以，，共面；对于C，设，所以，此方程组无解，所以，，不共面；对于D，设，所以，此方程组无解，所以，，不共面；故选：B4.一入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求得点关于直线l：的对称点的坐标，可得的方程，即反射光线所在直线方程.【详解】解：因为点关于l：的对称点为，所以反射光线的方程为.故选：D.5.已知直线平行，则实数的值为A.B.C.或D.【答案】A【解析】【分析】对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故选：A．【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．6.已知椭圆的一条弦所在的直线方程是弦的中点坐标是则椭圆的离心率是A.B.C.D. 【答案】C【解析】【详解】设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，选C.7.已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆的左焦点为，由已知条件推导出，当点在的延长线上时，得的最大值．【详解】解：点为椭圆的右焦点，，点为椭圆上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外，设椭圆的左焦点为，，，，当点在的延长线上时取等号，，则的最大值为．故选：．8.已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（） AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】当为三角形的垂足三角形时候周长最小，此时与的交点即为三角形的垂心.【详解】如图所示：先固定D不动，分别作D关于和的对称点，连接，设分别与和交于点，利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心，从而，即，不妨设垂心，坐标原点为，则，所以有，即垂心的坐标满足,又四点共面，从而由四点共面的充要条件可知，，从而，结合， 解得.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是分析出当周长最小时，与的交点即为三角形的垂心，再求垂心时，除了利用垂直转换为数量积为0以外，还要注意四点共面的充要条件的应用，否则只能算出比例.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有（）．A.直线过定点B.过点且斜率为的直线的点斜式方程为C.斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为D.经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为【答案】AB【解析】【分析】求出直线过的定点判断A；写出直线的点斜式方程判断B；求出直线斜截式方程判断C；求出直线方程判断D作答.【详解】对于A，直线恒过定点，A正确；对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误；对于D，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为，当该直线不过原点时，方程为，D错误.故选：AB10.如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（） A.直线与底面所成的角为B.平面与底面夹角的余弦值为C.直线与直线的距离为D.直线与平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.【详解】如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则，，，，，，A选项：，平面的法向量，设直线与底面所成的角为，则，直线与底面所成的角不为，故A错误； B选项：，，设平面的法向量，则，令，则设平面与底面夹角为，则，平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；C选项，，直线与直线的距离为：，故C正确；D选项，，平面，平面，又，平面的法向量，直线与平面的距离为：，故D正确；故选：BCD.11.已知圆和圆的交点为，，则下列结论中正确的是（）A.公共弦所在的直线方程为B.线段的中垂线方程为C.公共弦的长为D.若为圆上的一个动点，则三角形周长的最大值为 【答案】AB【解析】【分析】先找到圆和圆的圆心和半径，判断两圆的位置关系，确定两圆是否相交.再对两圆作差得到公共弦的直线方程，即可判断A；线段的中垂线方程为两圆心的连线方程，可判断B；圆心到直线的距离，再代入弦长公式即可得到C选项；假设的坐标，计算，的长度相加，然后根据式子的特点判断最大值即可判断D选项.【详解】圆的圆心，和圆的圆心，.则圆心距为，，所以两圆相交.两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程为，故A正确；线段的中垂线即为直线，由，得直线的方程为，故B正确；圆心到直线的距离为，则弦长，故C错误；由于的长度和对角的角度固定属于定边定角问题：当时，三角形的周长最大，此时，则周长的最大值为：，即，故D错误.故选：AB．12.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中， 则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项即可.【详解】在长方体中，AB=AD=2，，A：同时与垂直，，又因为，所以，且，构成右手系，故成立，故A正确；B：根据三个向量构成右手系，可知，，则，故B错误；C：，且与同向共线，，且与同向共线，又，且与同向共线，即与同向共线，所以，且与同向共线，所以，故C正确； D：长方体的体积，，所以，故D正确.故选：ACD第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是________．【答案】【解析】【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是.故答案为：.14.已知圆与圆恰有两条公切线，则实数m取值范围______.【答案】【解析】【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果.【详解】由，即，可知圆的圆心为，半径为5；因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，则，∵，解得：，即的取值范围是.故答案为：.15.已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为______． 【答案】##【解析】【分析】利用椭圆的定义结合已知条件可得，，再在中利用余弦定理列方程可求出椭圆的离心率.【详解】解：因为，由椭圆的定义可得，可得，，在中，由余弦定理可得：，而，即，可得，可得离心率，故答案为：16.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数满足，则的最小值为______，的最大值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系可得的最小值，把转化为点到直线的距离与它到距离比值的2倍，结合图形可得答案.【详解】由得，令，则直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离为，解得， 所以的最小值为.可以看作点到直线的距离与它到距离比值的2倍，设过点的直线与圆相切于点，此时取到最大值.设直线方程为，由，得，，解得，结合图形可知，把代入联立后的方程可得切点，代入可得的最大值为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把目标式转化为点到直线的距离与它到距离比值的2倍，数形结合可得答案.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.求分别满足下列条件的直线的一般式方程．（1）斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】（1）设出直线方程，得到与两坐标轴的交点坐标，根据面积列出方程，求出答案；（2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.【小问1详解】设直线的方程为．令，得．令，得，，解得．直线的方程为，化为一般式为．【小问2详解】设直线在轴、轴上的截距分别为．当时，直线的方程为．直线过点，，又，故，解得或直线的方程为或；当时，设直线方程为，直线过原点且过点，故，解得，直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或或．18.已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点.从①直线相切；②圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.（1）求圆A的方程;（2）当时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2），或.【解析】【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可；选③：根据两圆公切线的性质进行求解即可.（2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】选①：因为圆A与直线相切，所以圆A的半径为，因此圆A的方程为；选②：因为圆A与圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为，所以圆A的方程为；选③：设圆的圆心为，两圆的一条公切线为两圆的圆心与两圆的一条公切线示意图如下： 设圆A的半径，因此有：，所以圆A的方程为；【小问2详解】三种选择圆A的方程都是，当过点动直线l不存在斜率时，直线方程为，把代入中，得，显然，符合题意，当过点的动直线l存在斜率时，设为，直线方程为，圆心到该直线的距离为：，因为，所以有，即方程为：综上所述：直线l的方程为，或.19.如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.（1）求证：⊥平面； （2）求二面角余弦值的大小；（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到，，从而得证；（2）（3）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：建立如图所示的直角坐标系，则、、．在中，，，∴．∴、，∴，，，∵，，即，，又，平面，∴⊥平面；【小问2详解】 由（1）得，．设平面的法向量为，则，即，故平面的法向量可取为，∵平面，∴为平面的一个法向量．设二面角的大小为，由图易得为锐角，依题意可得，即二面角余弦值为．【小问3详解】由（1）得，，设平面的法向量为，则，∴，故可取为．∵，∴到平面的距离为.20.已知三棱锥（如图①）的平面展开图（如图②）中，四边形ABCD为边长为的正方形，和均为正三角形.（1）证明：平面⊥平面；（2）棱PA上是否存在一点M，使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）设AC的中点为O，连接BO，PO，则PO⊥AC，在△POB中利用勾股定理逆定理可得PO⊥OB，然后由线面垂直的判定定理可证得PO⊥平面ABC，再利用面面垂直的判定定理可得结论，（2）由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，设，表示出点，再由平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为可求出的值.【小问1详解】设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意得，，PO＝AO＝BO＝CO＝2．∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，∵在△POB中，PO＝2，OB＝2，，PO2+OB2＝PB2，∴PO⊥OB∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC【小问2详解】由PO⊥平面ABC，平面ABC，OB⊥AC，∴PO⊥OB，PO⊥OC，∴以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，如图所示，则O（0,0,0），C（2,0,0），B（0,2,0），A（2,0,0），P（0,0,2），设，则，∴,, 设平面BCM的法向量为，则，令，则，设PBC的法向量为，因为，所以，令，则设平面PBC与平面BCM所成角为，由图可知为锐角，则，化简得，解得或（舍去）∴存在点M使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为，且.21.平面直角坐标系内有两点，存在点使得恒为．（1）求点轨迹方程；（2）若点在第三象限，连接交轴于点，连交轴于点，四边形面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．【答案】（1）（或）（2）是定值16【解析】 【分析】（1）根据题中条件可直接得到点的轨迹，根据轨迹类型即可写出方程；（2）设，可求得直线的方程，继而求得点的坐标，则可求得,再利用计算即可.【小问1详解】且，定弦定角轨迹为圆，故点在以原点为圆心，4为半径的圆上，但点应在优弧上，则点的轨迹方程为（或）【小问2详解】为定值，证明如下：设（或）则且则 22.生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.【答案】（1）（2）能，定点为（0，）【解析】【分析】（1）由条件列方程求可得椭圆方程；（2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明.【小问1详解】由已知可设椭圆方程为，则，，又 所以，故椭圆C的标准方程为【小问2详解】设AB方程为，由，得，设，则..由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点，由得，则直线BM方程为，令，则又，则，所以，直线BM过定点（0，），同理直线AN也过定点.则点（0，）即为所求点. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；