河南省开封市五县联考2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年五县联考高二年级数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标是（）AB.C.D.2.记为数列前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为A.±4B.－4C.4D.无法确定4.过点与圆相切两条直线的夹角为，则（）A.1B.C.D.5.设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则A.B.C.D.6.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D. 7.记为等比数列的前n项和，若，，则（）．A.120B.85C.D.8.F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（）A.B.的最大值为C.D.10.已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A.数列的前n项和为B.数列的通项公式为C.数列为递增数列D.数列为递增数列11.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A.B.C.以MN为直径的圆与l相切D.为等腰三角形12.已知数列满足，则下列结论正确的有（　　）A.为等比数列B.的通项公式为C.为递增数列D.的前n项和 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则向量坐标为______.14.已知数列的前n项和，则数列通项公式为________.15.已知数列满足，，则的前10项和____________.16.已知直线l：经过椭圆C：的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，为椭圆的右焦点，的周长为16，则此椭圆的短轴长为______．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18.设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an+1=Sn+3n(n∈N*).（1）求证：{Sn﹣3n}是等比数列；（2）若{an}为递增数列，求a1的取值范围.19.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求通项公式；（2）证明：．20.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，E是上的点.（1）求证：平面平面； （2）若E是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.21.在数列中，．（1）证明：数列为常数列．（2）若，求数列的前项和．22.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程． 2023-2024学年五县联考高二年级数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.【详解】抛物线标准方程为，其焦点坐标为故选：C.2.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为A.±4B.－4C.4D.无法确定【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为.考点：本小题考查等差数列的前n项和公式及等差等比中项等内容.点评：对于等比数列：若m+n=p+q,,则,对于等差数列若m+n=p+q,,则.4.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（） A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则， 且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.5.设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】Sn＝＝＝＝3－2an. 6.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量求解公式得到答案.【详解】由题意得，直线的方向向量为，平面的法向量为，设直线与平面所成角的大小为，则故选：A7.记为等比数列的前n项和，若，，则（）．A.120B.85C.D.【答案】C【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①， 由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．8.F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】如图，设等边三角形边长为，设，根据双曲线的定义有，解得.在三角形中，由余弦定理得，化简得. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（）A.B.的最大值为C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据等差数列的定义及前项和公式可求得公差与的关系，再对各项进行逐一判断即可.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由，所以，所以A正确；因为公差正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B不正确；由，所以，所以C正确；因为，所以，即，所以D错误.故选:AC.10.已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A.数列的前n项和为B.数列的通项公式为C.数列为递增数列D.数列为递增数列【答案】AD 【解析】【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；所以，即A正确；当时所以，即B，C不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.11.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A.B.C.以MN为直径的圆与l相切D.为等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC. 12.已知数列满足，则下列结论正确的有（　　）A.为等比数列B.的通项公式为C.为递增数列D.的前n项和【答案】ABD【解析】【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.【详解】因为，所以+3，所以，又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；，即，故B正确；因，因为，所以，所以，所以为递减数列，故C错误； ，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则向量的坐标为______.【答案】【解析】【分析】空间向量线性运算的坐标表示，直接求值.【详解】已知，，则.故答案为：14.已知数列的前n项和，则数列通项公式为________.【答案】【解析】【分析】当n＝1时直接由Sn求出a1，当n≥2时由an＝Sn﹣Sn﹣1解得an，然后验证a1适合an得结论．【详解】由，得当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，，验：当n＝1时，a1＝1，不符合上式．∴数列的通项公式为．故答案为：.【点睛】易错点睛：在数列中，由求时，分当n＝1时和当n≥2时两种情况，易错当n＝1时的检验在n≥2时是否成立. 15.已知数列满足，，则的前10项和____________.【答案】75【解析】【分析】根据题意分别求，进而求.【详解】由题意可知：，，，，，，，，，，所以的前10项和.故答案为：75.16.已知直线l：经过椭圆C：的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，为椭圆的右焦点，的周长为16，则此椭圆的短轴长为______．【答案】【解析】【分析】确定，根据周长确定，得到答案.【详解】直线l：经过椭圆的左焦点，则，，的周长为，解得，故，椭圆的短轴长为.故答案为：.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和. （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，即可得的通项公式；（2）由题可知，利用分组求和法即得.【小问1详解】因为，当时，，当时，，因为也满足，综上，；【小问2详解】由题可知，所以.18.设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an+1=Sn+3n(n∈N*).（1）求证：{Sn﹣3n}是等比数列；（2）若{an}为递增数列，求a1的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）a1>﹣9且a1≠3.【解析】【分析】 （1）由an+1=Sn+3n得，整理得Sn+1﹣3n+1=2(Sn﹣3n)，即证；（2）由（1）可求出，继而求出，由可解出.【详解】证明：（1）∵an+1=Sn+3n(n∈N*)，，∴Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1﹣3n+1=2(Sn﹣3n)，∵a1≠3，∴数列{Sn﹣3n}是公比为2，首项为a1﹣3的等比数列；（2）由（1）得，∴，n≥2时，，∵{an}为递增数列，∴n≥2时，，即，∴n≥2时，，∴，∵a2=a1+3>a1，∴a1的取值范围是a1>﹣9且a1≠3.【点睛】本题数列递推式､等比数列的性质，属于中档题.19.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到 ，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【小问1详解】∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；【小问2详解】∴ 20.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，E是上的点.（1）求证：平面平面；（2）若E是中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理证明，再由线面垂直得，从而可得平面，进而可证得面面垂直；（2）依题意建立空间直角坐标系，设，由向量法求二面角得值，再用向量法求线面角．【小问1详解】由题意四边形是直角梯形，，，所以，则，又平面，平面，则，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】依题意，以为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，．，，，则，，，设平面的一个法向量是，则，令，则，易知平面的一个法向量为，设二面角为，由图形可知，则，解得，则，记直线PA与平面EAC所成角为，，所以．21.在数列中，．（1）证明：数列为常数列．（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）化简得，即可证明；（2）应用错位相减法即可求解.【小问1详解】令，得，则．因为①，所以②．①-②得，即．因为，所以数列为常数列．【小问2详解】由（1）可得，所以是公差为1的等差数列，所以．因为，所以③，④．③-④得，所以．22.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】（1）依题意可得，从而得到，的坐标，再根据椭圆的定义求出，最后求出，即可得到椭圆方程；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再利用点到直线的距离公式得到圆的半径，最后根据的面积得到方程，即可求出，从而求出圆的方程.【小问1详解】解：由题意知，所以，，所以，由椭圆定义知：，则，，故椭圆的方程为．【小问2详解】解：①当直线轴时，令，可得，解得，可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆方程得，成立，设，，则，，可得．又圆的半径， ∴的面积为，化简得，解得，∴，∴圆的方程为．