重庆市渝北区两江育才中学校2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则A的子集个数为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求集合并确定元素个数，即可判断子集个数.【详解】由，即，所以，共有3个元素，故A的子集个数为个.故选：B2.若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据假命题的否定为真命题可知，又，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.【详解】解：为假命题,为真命题，可得，又为真命题，可得，所以，故选：B.3.若tanx＝，且－π<x<2π，则满足条件的x的集合为(　　)A.{，}B.{，}C.{，，－}D.{，，－}【答案】C【解析】 【分析】首先知道特殊角的三角函数，tanx＝，再根据题意得出答案.【详解】∵tanx＝，在单位圆中画出正切线AT＝的角的终边为直线OT(如图)，∴x＝kπ＋，k∈Z，又因为－π<x<2π，所以x＝，，－.故选C【点睛】本题考查了三角函数计算的问题，解题的关键是明确特殊角的三角函数值，属于基础题.4.下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（）A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】【分析】对每个选项中的两个函数的定义域、值域、对应关系进行分析，看是否完全相同即可得出结论.【详解】根据题意可知，选项ABC中的两组函数定义域、值域、对应关系完全相同，故他们表示的是同一个函数，而选项D中，的定义域为，而的定义域为，显然两函数定义域不同，所以表示的不是同一个函数.故选：D5.函数零点所在的区间为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解. 【详解】依题意，函数的定义域为，而在为单调递减函数，在为单调递减函数，因为，所以，即所以，，所以，所以由零点存在性定理可知，函数在区间有零点.故选：C.6.要得到函数的图象，只需将的图象A.同右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】利用平移变换即可得到平移的过程．【详解】函数y＝sin（）＝sin（x），只需将y＝sinx的图象向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（）的图象，故选A．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x的系数，属于基础题．7.已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.【详解】因为，所以所以根据幂函数的性质可得，因为都是正数，，，因为是递增函数，又因为，作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以故，故选：B【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果.8.已知实数，记函数构成的集合．已知实数、，若，，则下列结论正确的是（）A.B.若，则 C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，，结合其定义以及不等式的性质即可结合选项逐一求解.【详解】因，，设，则，，即有，所以，故D正确，由于，则，即，所以，所以，故C错误，根据，，无法得到，故A错误，由于，所以，又，故无法得到，所以B错误，故选：D【点睛】思路点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，且，则下列说法错误的是（）A.B. C.D.【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项不妨取推出矛盾即可；对于B选项利用正弦函数的不单调可以得出判断；对于C选项，利用指数函数的单调性给出判断即可，对于D选项，利用函数的单调性给出判断即可.【详解】因，不妨取，则，故A错误；因为正弦函数是周期函数不单调，所以由推不出，故B错误；因为函数是单调减函数，所以由得到，故C正确；因为函数，，所以在上单减，在上单增，所以由推不出，故D错误；故选：ABD【点睛】判断选项正确与否的题目往往采用两种办法，对于错误的举出反例即可，对于正确的选项要证明其一般性，经常是根据题设构造函数，利用函数的单调性判断即可.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.方程的各根之积等于各根之和B.方程在上的根共有6个C.方程在上的各根之和为D.图像上关于原点O对称的点共有4对【答案】ACD【解析】【分析】利用图像法对四个选项一一判断：对于A：先判断出即为有两个根，直接计算； 对于B：由图像可得方程在上的根共有5个.即可判断；对于C：直接求解即可；对于D：利用图像法判断即可.【详解】作出函数的图像如图示：对于A：因为，所以即为有两个根，不妨设其为，且，则，所以；，即.所以，所以，展开，解得：.故A正确；对于B：由图像可得：方程在上的零点共有5个.（其中，而）.故B错误；对于C：方程在上的根为，其和为.故C正确；对于D：要求图像上关于原点O对称的点的个数，只需要观察的图像与关于原点对称的函数的图像的交点个数即可.如图示： 由上图可知，两个图像交点个数为4，所以图像上关于原点O对称的点共有4对.故D正确.故选：ACD11.已知，且，下列结论中正确的是（）A.的最大值是B.的最小值是C.的最小值是9D.的最小值是【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】，且，对于A，由，解得，当且仅当时等号成立，则的最大值为，所以A错误；对于B，由，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确；对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C正确；对于D，由，得，当且仅当时等号成立，则的最小值是，所以D正确. 故选：BCD.12.函数在一个周期内的图像如图所示，则（）A.的最小正周期是B.图像的一个对称中心为C.把函数的图像先向左平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到的图像D.的单调递增区间为【答案】ACD【解析】【分析】根据图象有、、求参数，进而得，结合正弦型函数性质研究对称点、单调增区间，根据图象平移写出解析式判断各项正误.【详解】由题设，则且，而，A正确；将代入函数可得，即，则，因为，所以，综上，，，故不是对称中心，B错误；的图像先向左平移个单位长度，得， 再将曲线上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得，C正确；令，则，所以为的单调递增区间，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】将分式不等式化为求解集即可.【详解】由题设，可得，所以不等式解集为.故答案为：14.已知)是R上的奇函数，且当时，，则的解析式_________．【答案】【解析】【分析】函数是奇函数，根据奇函数的概念求出函数的解析式．【详解】解：（1）由题得，设，则，又是奇函数，， 故答案为：．15.已知函数，若对任意，有>0或>0成立，则实数的取值范围是____________【答案】-3<m<-2【解析】【分析】由题意可知时，成立，进而得到对均成立，得到满足的条件,求解不等式组可得结果.【详解】由,得，故对时，恒成立，由,得，故对时，不成立，从而对任意，恒成立，画出函数的图象，由图可知，函数的图象开口向上，且两个零点都大于1,可得满足，解得，则实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查指数函数、二次函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质16.如果函数f (x)＝满足对任意，都有>0成立，那么实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先由条件判断出在R上是增函数，所以需要满足和单调递增，并且在处对应的值大于等于对应的值，解出不等式组即可.【详解】对任意，都有>0，所以在R上是增函数，所以，解得，故实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查含有参数的分段函数根据单调性求参数范围问题，需要满足各部分单调并且在分段处的函数值大小要确定，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知=(1)求的值; (2)求的值.【答案】(1)=(2)=.【解析】【详解】试题分析：(1)=,展开代入各值即得解（2）==根据二倍角公式得出==,=代入各值即得解.试题解析：(1)=,=,(2)=====,==.18.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．【答案】（1）（2）奇函数，理由见解析【解析】【分析】（1）根据对数函数的真数大于零得到不等式，解得即可；（2）根据奇偶性的定义判断即可. 【小问1详解】解：由，等价于，解得，故函数的定义域为；【小问2详解】解：函数是奇函数，理由如下：由（1）知，函数的定义域关于原点对称，且，故函数为奇函数．19.如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．（1）求扇形的周长；（2）当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由公式求弧AB长，即可得到周长；（2）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.【小问1详解】由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；【小问2详解】 设，则，，所以，所以矩形的面积，，所以当时，取得最大值，即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.20.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的值；（2）用定义法证明函数在上的单调性；（3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】20.21.证明见解析22.【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得；（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增；（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.小问1详解】由于奇函数在处有定义，所以，，所以， 经检验，此时满足为奇函数，所以.因为，所以.【小问2详解】由（1）知.任取、且，所以，因为，则，，所以，则，所以，函数在上单调递增.【小问3详解】由（2）知在的最大值为所以对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，所以，解得，所以的取值范围为.21.函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像. （1）当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值；（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.【答案】（1）取值范围；时，；时，；（2）.【解析】【分析】（1）根据给出的图像求出解析式，再根据平移得到解析式，由的范围求出的单调区间和值域，结合图像，分析出的范围及的值.（2）令，得到，是关于的二次函数，利用二次函数的保号性，得到答案.【详解】（1）根据图像可知，代入得，，，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，，方程恰好有两个不同的根， 的取值范围令对称轴为，或时，；时，.（2）由（1）可知，对任意都有恒成立令，即在上恒成立，是关于的二次函数，开口向上，则恒成立而的最大值，在或时取到最大值则，解得所以，则的最大值为.【点睛】本题考查利用函数图像求函数的解析式，正弦型函数图像的平移变换、图像与性质、对称轴、值域，二次函数保号性等，题目涉及知识点多，比较综合，属于难题.22.已知函数.（1）求关于的不等式的解集， （2）若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）依题意化简不等式得，从而分类讨论即可得解；（2）由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果.【小问1详解】因为，所以由，得，化简得，即，即，当时，该不等式无解，当时，不等式化为，解得或，当时，不等式化为，解得或，综上，当时，的解集为，当时，的解集为，当时，的解集为.【小问2详解】因为对任意的正实数，存在，使得，所以， 易知当时，在上单调递增，所以时，，且，因为，所以，当，即时，，因为，所以，所以；当，即时，令，得，所以，故；当，即时，所以，因为，所以，所以；综上，，所以的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键在于分类讨论的正负情况，从而确定，由此得解.