重庆市两江育才中学2023-2024学年高二数学上学期第一学月质量监测试题（Word版附解析）

高2022级2023-2024学年度上期第一学月质量监测数学试题（时间：120分钟满分：150分）一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设，向量，，且，则（）A.B.C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得的值，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量且，可得，解得，所以，，则，所以.故选：C.2.若，，，则的形状是（）A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不等边锐角三角形【答案】D【解析】【分析】根据已知求出三条边长排除A,B选项，再根据余弦定理计算最大角可以判断C,D选项.【详解】因为，，，所以的三条边都不相等，也不满足勾股定理，故排除A，B．因为的最大边为，所以角C为的最大内角， 又，故角C为锐角，即为锐角三角形．故选：D．3.已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由圆锥的轴截面、侧面展开图性质求体高，应用圆锥体积公式求体积即可.【详解】设该圆锥的母线长为l，高为h，由，得，则，所以该圆锥的体积为．故选：C4.如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先用，，，表示向量，再利用为的中点，得代入整理得答案. 【详解】因为为的重心，所以.为的中点，所以.故选：C.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理计算可得；【详解】解：由，得，故选：B．6.如图，在三棱柱中，，，，，与的交点为M，则（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合空间向量的数量积公式运算即可求解.【详解】由题意得，所以 .故选：C.7.在正三棱柱中，，点D在棱BC上运动，若的最小值为，则三棱柱的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用展开图结合余弦定理求得，取的中心分别为M，N，则MN的中点O为三棱柱的外接球的球心，利用正弦定理求出的外接圆的半径，进而利用勾股定理求得外接球的半径，进而可得答案.【详解】如图，将与矩形展开至同一平面，易知.设，由题意知的最小值为，即.由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.取的中心分别为M，N，连接MN，则MN的中点O为三棱柱的外接球的球心， 设的外接圆的半径为r，则，即，设三棱柱的外接球的半径为R，在中，,则，故三棱柱的外接球的表面积为.故选：A.8.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则则又异面直线所成角的范围为故异面直线与所成角的余弦值为故选：A二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（）A.若，则在第二象限B.若为纯虚数，则在虚轴上C.若，则点的集合所构成的图形的面积为D.若，且，则为实数【答案】BD【解析】【分析】根据的周期性、复数的几何意义、复数的除法运算等知识直接判断各个选项. 【详解】对于A，因为，故，所以在坐标轴上，故A错误；对于B，若为纯虚数，则在虚轴上，故B正确；对于C，若，则点的集合所构成的图形是半径为3的圆及其内部，面积为，故C错误；对于D，，则为实数，故D正确．故选：BD10.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线B.若对空间中任意一点，有，则四点共面C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D.已知向量，则在上的投影向量为【答案】CD【解析】【分析】根据已知得出，即可判断A项；根据空间向量的有关定义及其结论，可判断B、C项；根据投影向量的概念，即可得出D项.【详解】对于A项，由已知可得，所以或，故A项错误；对于B项，因为，所以四点不共面，故B项错误；对于C项，根据空间向量基底的概念，可知C项正确；对于D项，因为，，所以，在上的投影向量为，故D项正确.故选：CD. 11.在长方体中，､､分别为棱､､的中点，，，则正确的选项是（）A.异面直线与所成角的大小为60°B.异面直线与所成角大小为90°C.点到平面的距离为D.点到平面距离为【答案】BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出，后，由可判断A、B；求出平面的一个法向量后，由点到平面的距离为可判断C、D.【详解】如图建立空间直角坐标系，连接，则，，，，，所以，，所以，所以，所以异面直线与所成角的大小为90°，故A错误，B正确；又，，设平面的一个法向量， 则，令，则，则点到平面的距离为，故C正确，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：（1）建立合理的空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角；（2）转化点到平面的距离为方向向量在平面法向量方向上投影的绝对值.12.如图，在棱长为2的正方体中，点P满足，，E，F分别为，的中点，则下列结论正确的是（）．A.当时，过E，F且与直线平行的平面截该正方体所得的截面为五边形B.当时，过E，F且与直线平行的平面截该正方体所得的截面面积为C.当时，的最小值为D.当时，的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】取的中点，并与点顺次连接得正方体的截面，证明平行于此截面即可判断AB；当时，求出点的轨迹求解判断CD作答.【详解】如图，连接，，， 当时，，分别取的中点，连接，过点的截面为六边形，正方体对角面是矩形，则，于是，，同理，，，则六边形为正六边形，设与的交点为M，设与的交点为N，连接，，由，得，，则四边形为平行四边形，于是，又平面，平面，因此平面，当时，过E，F且与直线平行的截面为六边形，该截面面积为，A错误，B正确；由，得，点P在底面上的轨迹是以A为圆心、圆心角为、半径为1的圆弧，如图，当三点共线时，取最小值，显然的最大值为，CD正确.故选：BCD三､填空题（本大题共4小题，共20分）13.现有张分别标有、、的卡片，采取有放回的方式从中依次随机取出张卡片，则抽到的张卡 片的数字之和不小于的概率是__________．【答案】【解析】【分析】列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设事件为“抽到的张卡片的数字之和不小于”，则这个试验的样本空间可记为，共包含个样本点，事件包含的样本点有：、、，包含个样本点，所以．故答案为：.14.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理边角互化，计算求值.【详解】根据正弦定理可知，，所以，而，所以.故答案为：15.如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________． 【答案】【解析】【分析】由题知，共面，即平面，取中点，连接、、，易证平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，由勾股定理计算可得.【详解】解：因为成立，所以共面，即平面，如图，取中点，连接、、，根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，，由勾股定理得，故答案为：.16.如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段 、上，则线段长度的最小值是______．【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、、，所以，，，， 设向量满足，，由题意可得，解得，取，则，，可得，因此，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将长度的最小值转化为异面直线、的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.四､解答题.17.（1）已知，，且，求，的值；（2）已知，，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答；（2）先算出，，然后利用数量积的坐标运算得到，再利用夹角公式即可得到答案【详解】（1）因为，，所以，，因为，所以，解得，所以；（2）因为，， 所以，，所以，因为与的夹角为，所以，因为解得18.小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话100次，小晟将这100次通话的通话时间（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．（1）求a的值；（2）求通话时间在区间内的通话次数；（3）试估计小晟这100次通话的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）（2）40（3）7.28分钟【解析】【分析】（1）根据频率之和为列方程来求得.（2）先求得通话时间在区间内的频率，从而求得通话时间在区间内的通话次数.（3）根据频率分布直方图求得平均数的求法求得正确答案.【小问1详解】由，得．【小问2详解】因为通话时间在区间内的频率为， 所以通话时间在区间内的通话次数为．小问3详解】这100次通话的平均时间的估计值为:分钟．19.已知内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.【小问1详解】原式化简可得：，整理得：，由正弦定理可得：，因此三角形的内角；【小问2详解】，，，.20.已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，． （1）求点A到平面的距离：（2）求平面与平面的夹角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式进行计算；（2）法1：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；法2：过A点作，可求，结合点A到平面的距离，从而求出二面角的大小.【小问1详解】取中点，连接，，则，且，四边形为平行四边形，，又，由可得， 建立如图空间直角坐标系，则，，，，故，，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故，点A到平面的距离.【小问2详解】设平面的法向量为，，解得，令，则，可得，，易知平面与平面的夹角为锐角，故平面与平面的夹角为．法2：过点作，可求，由（1）可知点A到平面的距离，设平面与平面的夹角为，，， ，故平面与平面的夹角为．21.如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.（1）设平面平面，证明：⊥平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由得到线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，得到，证明出线面垂直，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值.【小问1详解】平面平面，平面.平面，平面平面， 由图①，得，.平面，平面；【小问2详解】由题意，得.又，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设平面的一个法向量为.则，令，得，故.设与平面所成角为.直线与平面所成角的正弦值为. 22.如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．（1）若为的中点，求证：平面；（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果.小问1详解】分别取中点，连接， 则为的中位线，，，又，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.【小问2详解】以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设，则，，令平面的法向量为，则，令，则，，；又平面的一个法向量，，解得：或（舍），