重庆市第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

2023年重庆一中高2026届高一上期10月月考数学注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由特称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可确定答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为.故选：A2.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求解集，再由集合的并运算求集合.【详解】由题设，则.故选：C3.若，则的最大值是（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求积的最大值.【详解】由题意，当且仅当时等号成立.所以的最大值是.故选：B4.如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）A.7B.6C.5D.4【答案】C【解析】【分析】解一元二次、一元一次不等式求集合，再由阴影部分的集合为，应用交补运算求集合，即可得答案.【详解】由题设，由图知：阴影部分为，而，则，所以阴影部分共有5个元素.故选：C5.设实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先由题设不等式可得，故可判断A的正误，利用作差法可判断BCD的正误，故可得正确的选项.【详解】因为，故，故A错误.又，故，故，故B错误.又，，故，故C错误.又，由可得，故，故即，故D正确.故选：D.6.已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求为真对应x的范围，根据必要不充分条件求参数范围.【详解】由或，由，又是成立的必要不充分条件，则且，所以或，故的取值范围为.故选：B7.已知集合，若，则实数 的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题设在上无解，结合二次函数性质求参数范围即可.【详解】对于开口向上且对称轴为，，由，即在上无解，若时，只需，即；若时，此时对称轴且，故满足题设；综上，.故选：A8.已知关于的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式且两不等式解集的交集中有且仅有一个整数，讨论参数求其范围.【详解】对于或，而解集与或的交集中有且仅有一个整数，当时，解集为，此时满足要求；当时，解集为，此时不可能满足题设；当时，解集为，此时满足要求； 综上，实数的取值范围为.故选：B二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知命题“恒成立”为真命题，下列选项中可以作为的充分不必要条件的有（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由已知命题为真，根据一元二次不等式恒成立有求参数范围，再由充分、必要性定义判断的充分不必要条件.【详解】由“恒成立”为真命题，故，所以、是的充分不必要条件，是的充要条件，是的必要不充分条件.故选：AD10.若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（）A.幸福集合个数为8B.幸福集合个数为7C.不含1的幸福集合个数为4D.元素个数为3的幸福集合有2个【答案】BD【解析】【分析】根据题意写出所有的幸福集合，逐项分析即可得解. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：三组，含一组的有，，共3个，含二组的有，，共3个，含三组有共1个.所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对；其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误；其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.故选：BD11.已知集合，若，，则（）A.B.关于的不等式解集为或C.D.【答案】AD【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A，再由交并集的结果可得，即是的两个根且，再结合各项判断正误.【详解】由题设或，又，，所以，故是的两个根且，A对；则，则，C错；，所以，解集为，B错； ，即，D对.故选：AD12已知正实数满足，则（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式构造一元二次不等式判断A，根据和得关系判断B，利用多变量变单变量法判断C，构造关于的二次函数关系判断D.【详解】因为为正实数，选项A：因为，则，即，解得，，当且仅当时等号成立，故A错误；选项B：因为，所以，当且仅当时取得最小值，故B正确；选项C：由得，当时显然不符合题意，所以，则，得或（舍去），则，当且仅当即时等号成立，故C正确；选项D：， 令，由A可知，则，当且仅当时等号成立，故D错误；故选：BC三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由原命题的否定为真命题可求参数的取值范围.【详解】因为命题“，使得成立”是假命题，故其否定为真命题，即，为真命题，而，当且仅当时等号成立，故.故答案为：.14.设全集，集合，则实数__________.【答案】【解析】【分析】根据已知可得，解方程求参数，结合集合中元素的互异性确定参数值.【详解】由且，则，当，则，不满足集合元素的互异性；当，此时，满足题设；综上，. 故答案为：15.某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是__________.【答案】【解析】【分析】设该班总人数为，两个项目都参加人数为，根据题设并利用容斥原理列方程求，即可得答案.【详解】设该班总人数为，则参加“毛毛虫”的人数为，参加“两人三足”的人数为，若两个项目都参加的人数为，则两个项目都不参加的学生人数为，所以，故该班参加“两人三足”比赛的人数是.故答案为：16.对任意的正实数，且满足，则的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据题意将原式整理成，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可求得当，时的最小值为.【详解】由正实数，且可得;当且仅当时，即时，等号成立； 又，当且仅当，即时，等号成立；所以当，时，等号成立，此时的最小值为.故答案为：四､解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知（1）若，求与；（2）是否存在，满足，且使得，存在则求出的值，不存在则说明理由.【答案】（1），或.（2）存在，使得，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义可求与；（2）就、分类讨论后可求的值.【小问1详解】当时，，故，故，，故或.【小问2详解】因为，故，故.由题设有，若，则且， 故且，故，，由可得，无解.若，则，故且，故，，由可得，故.综上，存在，使得.18.关于的不等式的解集为，（1）求；（2），若是的真子集，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）讨论参数a求不等式解集即可；（2）由题设可得或，结合Ü并讨论参数确定范围即可.【小问1详解】由， 当时，解集；当时，解集；当时，解集；【小问2详解】由，则或，又Ü，当时，显然不满足；当时，则或，此时；综上，的取值范围为.19.已知函数，命题；命题：已知恒成立.（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若p，q这两个命题中存在假命题，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意上，由二次函数性质求函数最小值，即可得参数范围；（2）由为真命题时，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，即得参数范围，讨论p，q存在假命题的情况求对应参数范围.【小问1详解】由p为真命题，则上，故.【小问2详解】若为真命题，则，而， 当且仅当时等号成立，故，而p为真时，由于p，q这两个命题中存在假命题，且p为假，为假，当p真q假时，a的取值范围；当q真p假时，a的取值范围；当q、p假时，a的取值范围；综上，a范围为.20.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为米，乙工程队给出的整体报价为元，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数的最大值.【答案】（1）选择乙工程队进行建造.（2）【解析】【分析】（1）设甲工程队的总造价为元，得到，结合基本不等式求得，设乙工程队的总造价为元，得到，结合函数的单调性，求得，比较即可得到答案；（2）根据题意，得到甲工程队的最低报价为，要使得乙工程队确保自己被选中，则满足，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：设甲工程队的总造价为元，因为荣举室的左右两面墙的长度均为米，且长方体底面积为24平方米， 可得底面长方形的另一边长为米，则甲工程队的总造价为：，又由，当且仅当时，等号成立，所以（元），当时，设乙工程队的总造价为元，则，因为函数在上为单调递减函数，所以（元），由，所以学校选择乙工程队进行建造.【小问2详解】解：若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为（元），若乙工程队确保自己被选中，则满足，又由乙工程队的造价为，由（1）知，当时，，由，解得，因为，所以，所以实数的最大值为.21.已知，非空集合（1）证明：的充要条件是；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先证明充分性：当时可求得集合，对参数 是否为零进行分类讨论，可得集合中至少含有中的所有元素；再证明必要性：若可得方程的所有实数根都是方程的实根，即，得出证明；（2）根据（1）的结论可知，然后对于参数是否为零进行分类讨论，易知当时符合题意，当时，对于方程的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得的取值范围是.【小问1详解】充分性：若，则；当时，可得若，可得或；当时，；即可得所以可得集合中至少含有两个元素，可知，当时，可得；此时当时，即可得；此时，满足；综上可知充分性成立；必要性：因为为非空集合，所以可知当时，可知方程的所有实数根都是方程的实根，即可得，即，可得，所以必要性成立；综上可得，的充要条件是；【小问2详解】若时，满足；由（1）中的结论可得，此时； 当时，可得，此时，符合题意；当时，可得，此时；为使可知，集合；对于方程，令①当时，即时，，符合题意；②当时，即时，此时，但且，不合题意；③当时，即或时，，为使，需满足或，即，解得；这与大前提矛盾，不合题意；综合①②③可得符合题意；综上可知，满足题意的的取值范围为【点睛】关键点点睛：本题在求解参数的取值范围时，要结合（1）的结论将代入计算，并根据将集合转化成集合的子集，再对参数进行分类讨论后再利用判别式进行讨论计算可得结果.22.已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质.（1）集合具有性质，求的最小值；（2）已知具有性质，求证：；（3）已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.【答案】（1）6；（2）证明见解析； （3）7，理由见解析【解析】【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值；（2）根据定义，进而有，应用累加法即可证结论；（3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，再讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值.【小问1详解】由性质定义知：，且，所以的最小值为6.【小问2详解】由题设，且，所以，所以，得证.【小问3详解】由（2）知：，同（2）证明得且，故，又，所以在上恒成立，当，取，则，故， 当，则，即.综上，集合中元素个数的最大值为7.【点睛】关键点点睛：第二问，根据定义得为关键；第三问，应用放缩法确定，同理得到恒成立为关键.