重庆市第十八中学2023-2024学年高一数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

重庆市第十八中学2023-2024学年第一学月考试高一（上）数学试题考试说明：1.考试时间：120分钟；2.试题总分：150分3.试卷页数：2页.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求集合A，再根据交集运算求解.【详解】由题意可得：，所以.故选：B.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为.故选：B3.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（）A.12B.13C.14D.12或14【答案】C【解析】 【分析】解方程并结合三角形的性质可得腰长为4，进而可得结果.【详解】因为，解得或，且，不合题意；，符合题意，可知：腰长为4，所以此三角形的周长是.故选：C.4.二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可.【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此；对称轴为，当时，；因为，所以反比例函数的图象在二、四象限，排除BC；因为，，所以一次函数图象经过第一、三、四象限，故排除D，故选：A5.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球 上的数字，记为n.如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m，n的情况如下：共16种情况，其中m，n满足的情况如下：共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是，故选：D6.若，，，则这三个集合间的关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.【详解】依题意，，，，而，{偶数}，因此集合中任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，所以.故选：C7.如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是中 点，P是的中点，连接.若，，则线段的最大值是（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据旋转变换的性质，结合三角形三边关系进行求解即可.【详解】在中，，，，所以，因为M是的中点，所以，因为绕顶点C逆时针旋转得到，所以，，因为P是的中点，所以，由三角形三边关系，得，当旋转到在一条直线上，且位于之间时，有最大值，最大值为，故选：B8.记为a，b两数的最大值，当正数x，变化时，的最小值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】 【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由可得：，，所以有，因为x，是正数，且，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，于是有，当且仅当时取等号，即当时取等号，所以的最小值为4，故选：A【点睛】关键点睛：本题的关键是理解的含义，由得到，.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.如图中阴影部分所表示的集合是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据Venn图，结合集合运算的概念即可得出答案. 【详解】A选项：，则，故A正确；B选项：，则，故B错误；C选项：，则，故C错误；D选项：，，故D正确.故选：AD.10.如图，在直角坐标系中，直线.与坐标轴交于A、B两点，与双曲线交于点C，过点C作轴，垂足为D，且，则以下结论中正确结论的有（）A.B.当时，C.如图，当时，D.当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小【答案】AC【解析】【分析】A项，通过证明即可得出结论；B项，利用函数图象的交点即可得出结论；C项，计算出时的值，即可求出的长；D项，根据函数图象即可得出两函数增减性.【详解】由题意，A选项，对于直线,令,得到；令,得到，∴,即,在和中, ∴∴，∴(同底等高三角形面积相等），A正确；B项，把点坐标代入反比例解析式得：,即,由函数图象得:当时,，B错误；C项，当时,,∴，C正确；D项，当时,随的增大而增大,随的增大，D错误；故选：AC.11.已知正实数x，y满足，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式可知，，即，所以选项A正确；而可判断B错误；将展开并结合可知C错误；观察D项分母可知，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D正确.【详解】对于A，基本不等式可知，即，所以，即；当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，根据不等式，当且仅当时，等号成立；所以B错误；对于C，，当且仅当 时，等号成立；故C错误；对于D，根据，观察分母可知为定值，则，当且仅当时，等号成立；故D正确.故选：AD.12.对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是（）A.如果，，那么B.如果，，那么C.如果.那么D.若.对于，则有【答案】AC【解析】【分析】对于A：设，则，进而分析判断；对于B：先说明，再取特值，分析判断；对于C：令，，可知对任意，均有，所以，故C正确；对于D：取特值，分析判断.【详解】对于选项A：因为，，设，则，因为，则，所以，故A正确；对于选项B：因为，不妨设，若，则；若，则为奇数；若，则；综上可知：. 显然，令，则，故B错误；对于选项C：令，，则，即对任意，均有，所以，故C正确；对于选项D：由选项B可知：，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设a，，若集合，则______.【答案】0【解析】【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案．【详解】由题意可知：，因为，则，可得，则，可得，且满足，所以.故答案为：0.14.如图，直径的半圆，绕B点顺时针旋转，此时点A到了点，则图中阴影部分的面积是______.【答案】【解析】【分析】由题意可知：阴影部分为以B点为圆心，为半径的扇形和以为直径的半圆，减去以为直径的半圆，进而结合扇形面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：阴影部分为以B点为圆心，为半径的扇形和以为直径的半圆，减去以为直径的半圆，且，即两个半圆的面积相等，则阴影部分的面积即为以B点为圆心，为半径的扇形得面积，为.故答案为：.15.已知两个命题p：，q：，则p是q的______条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）.【答案】充要【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】当时，若中至少有一个为零，则成立，若，则，若，则，综上，当时，成立，故充分性成立；当时，，即，整理得，所以成立，故必要性成立；所以p是q的充要条件.故答案为：充要16.对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称m为“一致数”.设一个“一致数”满足且.将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数.并记；一个两位数，将N的各个数位数字之和记为；当（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足为偶数时，k的值为______，m的值为______.【答案】①.②.【解析】 【分析】设一个“一致数”满足且，得出，然后分类讨论即可求解.【详解】解：设一个“一致数”满足且，则，，所以，一个两位数，将N的各个数位数字之和记为，则，因为，即，，因为满足为偶数时，则，为偶数，逐项代入检验可得：当时，则，当时，则，故舍去；所以.故答案为：；.【点睛】关键点睛：本题的关键是将表示成，然后再分类讨论.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集运算的性质进行求解即可. 【小问1详解】因为，所以，而，所以；【小问2详解】因为，所以，或，由，显然满足；由，而，所以不存在这种情况，综上所述：实数a的取值范围18.2023年以来，某区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯.区政府为了了解4月份甲、乙两个社区居民垃圾换积分的情况，分别从甲、乙两个社区各抽取10人，记录下他们的积分（单位：分），并进行整理和分析（积分用x表示，共分为4组：；，，），下面给出了部分信息：甲社区10人的积分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94；乙社区10人的积分在C组中的积分分数为：81，83，84，84；两组数据的平均数，中位数，众数如下表所示：社区平均数中位数众数甲76.883b乙76.8a84乙社区积分等级扇形图根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：______，______，______；（2）根据以上数据，你认为哪个社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，请说明理由（一条即可）；（3）若4月份甲社区有700人参与活动，乙社区有800人参与活动，请估计4月份甲、乙两个社区积分 在80分以上（包括80分）的一共有多少人？【答案】（1）（2）乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，理由见解析（3）980【解析】【分析】（1）找出甲社区中出现次数最多的数据，即可求得的值，根据乙社区的扇形统计图，计算出两组的人数，再结合C组的人数可求出的值，利用组的数除以10可求出的值，（2）从中位数和众数的解度进行分析即可，（3）分别利用总数乘以甲乙两个社区积分在80分以上所占的百分比，将积相加即可.【小问1详解】因为甲社区中出现次数最多的数据为83，所以，由乙社区的扇形统计图可得乙社区组人数为，组人数为人，因为乙社区10人的积分在C组中的积分分数为：81，83，84，84，所以乙社区的积分从小到大排列，第5个和第6个数据分别为83，84，所以，因为乙社区组人数为人，所以组人数所占的百分比为，所以，【小问2详解】乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，理由如下：因为甲乙两个社区积分的平均数相同，但是乙社区的中位数和众数均比甲社区高，所以乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，【小问3详解】因为甲社区积分在80分以上（包括80分）的人数所占的比例为，乙社区积分在80分以上（包括80分）的人数所占的比例为，所以4月份甲、乙两个社区积分在80分以上（包括80分）的一共有人.19.已知集合，集合. （1）设a为实数，若集合，且，求的取值范围；（2）设m为实数，集合，若“”是“”的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简集合，通过即可分类讨论求出的取值范围；（2）求出，利用“”是“”的必要不充分条件即可求出m的取值范围.小问1详解】由题意，化简集合，，，∴，在中，，当时,,满足题意；当时,，此时综上，的取值范围为.【小问2详解】由题意及（1）得，，，∴,在中，“”是“”的必要不充分条件， ∴(等号不同时成立)∴满足条件的存在,取值范围是.20.如图，一沙尘暴中心在A地南偏西的方向的B处，正迅速向正东方向移动，经过一段时间，沙尘暴中心位于A地西南方向的C处，且千米.（1）求A，C之间的距离（保留准确值）；（2）距沙尘暴中心200千米的范围为受沙尘暴影响的区域，沙尘暴中心由点C处开始将沿南偏东的方向移动，请说明A地是否会受到这次沙尘暴的影响？（参考数据：，，）.【答案】（1）A，C之间的距离千米（2）A地不会受到这次沙尘暴的影响【解析】【分析】（1）过A作，垂足为，设千米，可得千米，千米，再结合题意列式求解即可；（2）过A作，垂足为，可得千米，对比分析即可.【小问1详解】过A作，垂足为，设千米，在中，可知：，可得千米，在中，可知：，可得千米， 由题意可得：，即，解得，所以A，C之间的距离千米.【小问2详解】过A作，垂足为，中，可知：，可得千米，因为，所以A地不会受到这次沙尘暴的影响.21.（1）已知，，求的取值范围；（2）若实数a，b，c满足.试判断与的大小并说明理由.【答案】（1）；（2），理由见详解【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合不等式性质运算求解；（2）令，可得，根据“1”的应用结合基本不等式运分析判断.【详解】（1）设，其中，则，解得，即，因为，，则，， 可得，所以的取值范围为；（2）令，则，可得，即，则，当且仅当，即时，等号成立，可得，即.22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C.点D是抛物线对称轴上的一点，纵坐标为-5，P是线段上方抛物线上的一个动点，连接，.（1）求抛物线的解析式；（2）当的面积取最大值时，求点P的坐标和的面积的最大值；（3）将抛物线沿着射线平移，使得新抛物线经过点D.新抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F左侧），与y轴交于点G，点M是新抛物线上的一动点，点N是坐标平面上一点，当以点E，G，M，N为顶点的四边形是矩形时，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程. 【答案】（1）（2），（3），，或【解析】【分析】（1）将，代入抛物线即可得出解析式；（2）过点作，得出，的解析式，即可求出点P的坐标和的面积的最大值；（3）求出平移二次函数的解析式，设出点坐标，构造矩形，即可求出点M的坐标.【小问1详解】由题意，在中，，∴抛物线的函数表达式是：.【小问2详解】由题意及（1）得，如下图1，抛物线的对称轴是直线，，，直线的解析式是:，过点作， 可设的解析式是:，由得，面积最大，方程由两个相等实数根，，当时，，，如图2，直线的解析式是:，当时，，，，即的最大面积是.【小问3详解】 由题意，（1）及（2）得，在中，平移后的关系式是，解得：或，∴，如图3，当点落在抛物线的顶点时，，∵，∴，的解析式是，∴，解得：（舍）或∴，当是对角线时，设点，由得，∴，∴点坐标为，，或.