重庆市两江育才中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年度（下）半期质量监测高一数学试题注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上.一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列说法错误的是A.向量与的长度相同B.单位向量的长度都相等C.向量的模是一个非负实数D.零向量是没有方向的向量【答案】D【解析】【分析】根据零向量、向量的模，以及单位向量的概念，即可判定得到答案.【详解】A中，向量与相反向量，则，所以是正确的；B中，单位向量的长度都是1，所以是正确的；C中，根据向量的模的定义，可知向量的模是一个非负实数，所以是正确的；D中，零向量方向是任意的，所以“零向量是没有方向的向量”是错误的，故选D.【点睛】本题主要考查了零向量的概念，其中熟记零向量的基本概念是解答的关键.2.若z=1+i，则|z2–2z|=（）A.0B.1C.D.2【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：，则.故.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.3.将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4．再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,A.3∶4B.9∶16C.27∶64D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：设圆的半径为r,则两个圆锥的母线长为r．由已知可得，两个圆锥的底面半径分别为,所以两个圆锥的高分别为,因此两圆锥的高之比为．故选D．考点：圆锥的底面半径、母线长、高的关系．4.的内角、、的对边分别为、、，，.如果有两解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，根据题意可得出关于不等式，由此可解得的取值范围.【详解】如下图所示：因为有两解，所以，解得.故选：D.5.已知向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】因为，，与的夹角为，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,所以，所以在上的投影向量，故选：D6.在复平面内，复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用虚数单位的性质化简，再利用复数的四则运算法则，化简式子，从而得到该复数相对应的点，由此得解.【详解】因为，所以，所以所对应的点为，位于第二象限.故选：B.7.古代典籍《周易》中“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形中，若，则（）A.B.C.D.3【答案】C【解析】【分析】如图，连接，作于点，作于点，由正八边形的特征可得第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,，从而可将用表示出来，再结合已知即可得解.【详解】解：如图，连接，作于点，作于点，由正八边形的特征可得，，故，所以，则，又因，所以，所以.故选：C.8.棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出正三棱锥的表面积.【详解】由题意，多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，由题意可知面交于，连接，则第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,且其外接球的直径为AE，易求正四面体ABCD的高为.设外接球的半径为R，由得.设正三棱锥的高为h，因为，所以.因为底面的边长为a，所以，则正三棱锥的三条侧棱两两垂直.即正三棱锥的表面积，故选：A.【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球问题，通过求得半径求出四面体的边长是解题的关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列四个命题中正确的是（）A.若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面B.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用确定平面的定理的推论可判断正误；对于B，根据反证法即确定平面的性质即可判断；对于C，根据平行直线与异面直线的的定义判定即可；对于D，利用反证法思想及线面垂直的性质可判断.【详解】对于A，确定平面的定理的推论：“两条平行直线确定一个平面”，故A正确；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,对于B，若四点中有三点共线，由公理的推论“一条直线和这条直线外的一点确定一个平面”知这四点一定共面，矛盾，故B正确；对于C，若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故C错；对于D，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故D正确.故选：ABD.10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.的最小值为6D.若与的夹角为锐角，则【答案】BC【解析】【分析】由平面向量垂直、平行以及模长的坐标计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A：若，故可得，解得或，故A错误；B：当时，，此时，则，故B正确；C：，故，当时，取得最小值，故C正确；D：若与的夹角为锐角，则，解得；当与共线时，，解得，故，故D错误；综上所述，正确的选项是：.故选：BC.11.在正四棱台中，，，则（）．A.该棱台的高为B.该棱台的表面积为C.该棱台的体积为D.该棱台外接球的体积为【答案】AD【解析】【分析】根据正四棱台的结构特征可求得高，判断A;求得每个面面积即可求得四棱台表面积，判断B;利用棱台体积公式求得体积，判断C;求出四棱台外接球的半径，即可求得该棱台外接球的体积，判断D.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,【详解】由题意可知，，所以正四棱台的高，A正确；正四棱台的侧面为等腰梯形，故斜高，所以正四棱台的侧面积为，上、下底面的面积分别为4，16，即正四棱台的表面积，B错误；正四棱台的体积，C错误；设该棱台外接球的球心为O，半径为R，点O到上底面的距离为x，所以，解得，所以该棱台外接球的体积为，D正确，故选：AD．12.设的内角，内角，，的对边分别为，，若，，则下列选项正确的是（）A.外接圆半径为B.面积的最大值为C.的周长的最大值为8D.的最大值为32【答案】ABD第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,【解析】【分析】对A，根据正弦定理判定即可；对B，利用余弦定理和面积公式结合基本不等式求解即可；对C，利用余弦定理结合基本不等式求解即可；对D，利用余弦定理结合基本不等式求解即可；【详解】对A，由正弦定理，外接圆半径满足，故，故A正确；对B，由余弦定理，，故，故，当且仅当时取等号，故B正确；对C，，故，故的周长的最大值12，当且仅当时取等号，故C错误；对D，，故，当且仅当时取等号，故的最大值为32，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了正余弦定理结合基本不等式，求解三角形中的范围问题，需要根据题意确定基本不等式，属于中档题三、填空题（本大题共4小题，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分）13.设，是两个不共线的向量，已知，，若A，B，C三点共线，则实数k的值是________.【答案】【解析】【分析】由三点共线可得，由此可得构造方程组求得结果.【详解】三点共线，可设，即，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,，解得：.故答案为：.14.已知利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为的等腰直角三角形，则的面积是__________.【答案】【解析】【分析】作出的直观图，计算出直角的两条直角边的边长，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】的直观图如下图所示：设，，，对应地，在中，，，，则.故答案为：.15.设是复数，给出四个命题：①．若，则②．若，则③．若，则④．若，则其中真命题的序号是__________．【答案】①②③【解析】【详解】设复数 对于①,若可得 ，所以，故①正确；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,对于②,则,  a-bi=c+di,即 ②正确；对于③,若则，   ③正确；对于④,若则，    不成立,④不正确.故答案为①②③.16.已知为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，则A=________，若上述条件成立时，则的最大值为_________．【答案】①.②.5【解析】【分析】先利用正弦定理计算，化边为角，化简整理得到，再利用辅助角公式和角的范围得到角A；利用余弦定理得到，即，先结合基本不等式求得，再代入计算，结合对勾函数单调性求最大值即可.【详解】由得，，即，又，即，故，化简得，而△ABC中，所以，即，而，即，所以，即；由余弦定理知，，所以，解得当且仅当时等号成立，故.因为，所以，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,对勾函数在上单调递增，所以当时，取得最大值，为所以时，取得最大值5.故答案：；5.四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知复数：.（1）若_______，求实数的值；（2）若复数的模为，求的值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据复数为实数和虚数的定义逐一解答即可；（2）化简求模，解出满足的关系，即可求出的值.【详解】（1）选择①，则，解得.选择②为虚数，则，解得选择③为纯虚数，则，，解得.（2）由可知复数.依题意，解得.因此.【点睛】本题考查复数，实数，纯虚数的定义，考查复数模的运算，属于基础题.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,18.已知向量，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题中条件，先求出，进而可求出结果；（2）先由题意得到，根据得到，进而可求出结果.【详解】（1）因为向量，，则，则（2）因为向量，，则，若，则，解得：．【点睛】本题主要考查求向量的模，以及根据向量垂直求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.19.如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱．（1）用表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【答案】（1）；（2）.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,【解析】【详解】试题分析：（1）设圆柱的底面半径为,根据相似比求出与的关系，代入侧面积公式即可；（2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时的值，代入体积公式即可．试题解析：（1）设圆柱的半径为，则，∴，∴．．（2），∴当时，取最大值，此时，，所以．考点：圆柱的侧面积与体积．20.△中，角所对的边分别是.（1）求角；（2）若边的中线，求△面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用正弦定理进行边化角得，再用三角恒等变换处理；（2）利用向量，两边平方展开即可得出结果．【小问1详解】由题意与正弦定理可得，由，可得.代入整理得：.故，可得.【小问2详解】∵，则第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,可得：，故或.（舍去）则△面积.21.如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为2的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O．（1）若圆柱的底面圆半径为，求几何体的表面积；（2）若，求几何体的体积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知求解三角形得圆柱与圆锥的高，再由圆柱和圆锥的表面积公式求解即可，（2）由，，可得，，再求出，从而可求出体积【小问1详解】由题意得，则，，，所以，由对称性可得，所以几何体的表面积为第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,【小问2详解】由，，可得，，所以，因为，所以，所以几何体的体积为22.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上一点，.（1）若，，求AD；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数的关系将化为，从而可求出，，然后在利用余弦定理求出；（2）由，，平方化简后可得，再利用基本不等式可求得答案.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，易得，则，故，解得或（舍去），又，故，又，则，在中，由余弦定理得，又，所以.【小问2详解】由（1）知，因为，所以，即，整理得到，两边平方后有，所以，即，整理得到，则，因为，当且仅当时，等号成立，所以，则，所以的最大值．【点睛】关键点睛：本题第2小问解决关键是利用条件与平面向量的知识得到，进而利用数量积的运算法则得到，从而利用基本不等式即可求得，即的最大值.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司,第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司