重庆市渝北区松树桥中学2023-2024学年高一上学期第三次诊断数学试题（Word版附解析）

重庆市松树桥中学高2026届高一数学第三次诊断试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各角，与330°角的终边相同的角是（）A.510°B.150°C.-150°D.-390°【答案】D【解析】【分析】根据终边相同角的表示即可求解.【详解】与330°角的终边相同的角为，当时，，故选：D2.设，，则（      ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对数的运算公式直接求解.【详解】.故选：A.3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数、幂函数、对数函数、正切函数的性质一一判断.【详解】对A，，在单调递减，单调递增， 且为偶函数，A错误；对B，根据幂函数的性质可知，函数既是奇函数又是增函数，B正确；对C，在定义域单调递增，为非奇非偶函数，C错误；对D，函数是奇函数，在区间上单调递增，D错误；故选:B.4.若，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数单调性分析判断.【详解】因为在上单调递减，且，则，又因为在上单调递增，且，则，所以，即.故选：D.5.已知，则=（）A.B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可求得的值.【详解】因为，解得.故选：A.6.已知，，，则的最小值为（）A.8B.13C.12D.9【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为9.故选：D.7.若定义在R的偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性即单调性解不等式.【详解】因为定义在R的偶函数在单调递增，且，所以在单调递减，且，由可得或，解得，或，所以满足的x的取值范围是故选：B8.函数的部分图象大致为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数奇偶性排除D，再根据时，，故排除AB即可得答案.【详解】解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数，故排除D，由于，故当时，，故排除AB，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法中，正确的是（）A.是第二象限角B.第三象限角大于第一象限角C.若角为第三象限角，那么为第二象限角D.若角与角的终边在一条直线上，则【答案】AD 【解析】【分析】根据象限角的范围可以判断ABC，根据终边相同的角的范围可判断D.【详解】对于A，，，是第二象限角，故A正确；对于B，是第三象限角，是第一象限角，但，故B错误；对于C，是第三象限角，是第四象限角，故C错误；对于D，若角与角的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差的整数倍，故D正确；故选：AD10.下列命题中是真命题的是（）A.已知，则的值为11B.若，则函数的最小值为C.函数是偶函数D.函数在区间内必有零点【答案】AD【解析】【分析】代入求值判断A，利用基本不等式求最值判断B，根据偶函数的定义判断C，根据零点存在性定理判断D.【详解】对于A，由函数，令，可得，正确；对于B，若，由，当且仅当时，即时，等号显然不成立，错误；对于C，由函数，则满足，解得，即函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，错误；对于D，由函数，可得，所以，且函数连续不间断，所以函数在内必有零点，正确.故选：AD.11.下列说法正确的是（） A.“”的否定为“”B.函数的单调递增区间是C.已知扇形的面积是，半径是，则扇形的圆心角的弧度数为4D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】BCD【解析】【分析】利用命题的否定，复合函数的单调性，定义域，扇形等相关知识逐个分析即可.【详解】对于A，命题的否定为，故A错，对于B，定义域为，且的单增区间为，故的单调递增区间是，故B正确，对于C，由扇形弧长与面积之间的公式得：扇形弧长为，设圆心角为，故，故C正确，对于D,的定义域为，，解得，故的定义域为，，解得，函数的定义域为，故D正确，故选：BCD12.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的值域为B.方程有两个不等的实数解C.不等式的解集为D.关于的方程的解的个数可能为【答案】ACD【解析】【分析】画出函数的图象，通过图象即可确定函数的值域求解A，根据与函数图象 的交点个数即可求解B,根据时确定或，即可由或求解C，结合二次函数的性质即可求解D.【详解】画出的图象，如下图所示：令，解得或，所以的图象与轴交于，对于A，由图象可知，函数的值域为A对；对于B，由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点，故方程有三个不等的实数解，B错；对于C，由图象可知，当或时，，所以，由，可得或.令，解得或；令，解得或，由图象可知，不等式解集为C对；对于D，令，则，则，当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个，当时，即时，，则，故，，当时，则有两解， 当时，若，则有三解，若，则有两解，故方程解的个数为4或5个，综上方程解的个数可能为个.故选：ACD.【点睛】方法点睛：函数零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．13.已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据得出指数型函数恒过定点.【详解】令，得，则.所以函数（且）的图象恒过定点.故答案为：.14.已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行__________次函数值的计算.【答案】4【解析】【分析】根据二分法求零点的方法，计算一次，区间精度变为上一次的，根据精度要求即可求解.【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1，第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为； 第3次计算后区间长度为；第4次计算后区间长度为；故至少计算4次故答案为：4.15.函数，的值域是______．【答案】【解析】【分析】由题意，，可知，再根据正切函数的单调性，即可求出结果.【详解】．∵，∴．由函数在上单调递增，所以，故函数，的值域为．故答案为：.16.已知，且为第四象限角，则______．【答案】【解析】【分析】先求出，再求的值.【详解】因，且为第四象限角，所以是第三象限角， 所以，所以．故答案为【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题：本大题6个小题，共70分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．17.设函数的定义域为，集合（）.（1）求集合；（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义域及根式有意义列出不等式组，求出集合；（2）根据p是q的必要不充分条件，得到是的真子集，分与两种情况，进行求解.【小问1详解】要使得函数有意义，只需要解得，所以集合.【小问2详解】因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，当时，，解得；当时，解得， 综上可知，实数的取值范围是.18.已知的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）求的单调递增区间；（3）求在区间上的最大值.【答案】（1）（2）单调递增区间，（3）2【解析】【分析】（1）由周期公式，即可求参数值；（2）应用整体法，根据正弦函数的单调性求增区间；（3）首先求得，再由正弦函数性质求值域，即可得最大值.【小问1详解】由，可得.【小问2详解】由（1）知：，令，，则，，所以的单调递增区间，.【小问3详解】由题设，，故，所以，故最大值为2.19.已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点.（1）求的值； （2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上点的坐标得到，，然后计算即可；（2）利用诱导公式化简原式得到，然后根据角的终边上点的坐标求即可.【小问1详解】因为角的终边上有点，所以，，所以.【小问2详解】.20.已知点在幂函数的图象上，.（1）求的解析式；（2）若，且方程有解，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式.【答案】（1）（2）或（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可求得的解析式；（2）根据一元二次方程有解，，解出即可；（3）结合条件把不等式化为，分类讨论的取值范围，即可得到不等式的解集.【小问1详解】设幂函数，由点在幂函数图象上，所以，解得，所以；【小问2详解】时，，由方程有解，可得，解得或；【小问3详解】由得，即，所以，当即时，的解集为，当即时，的解集为，当即时，的解集为.21.华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023 年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完（1）求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）2023年产量100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元【解析】【分析】（1）由题意得到，从而根据求出（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（2）时，配方求出的最大值，时，利用基本不等式求出的最大值，比较后得到结论.【小问1详解】由题意得：，故当时，，当时，，故（万元）关于年产量（千部）的函数关系式为：.【小问2详解】当时，，故当时，取得最大值，最大值为万元；当时，由基本不等式得： （万元），当且仅当，时，等号成立，因为，所以2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元.22.已知函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2），关于方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围；（3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1），从而求解；（2）由题意得化简得，则恒成立，从而可求解；（3）由题意得在上恒成立，得，然后令并结合基本不等式从而求解.【小问1详解】当时，则，由，则，解得或；所以不等式的解集为.【小问2详解】由题意得在总有两个不同实数解，即在总有两个不同实数解， 由解得或，所以，则，因为对时在总有两个不同实数解恒成立，所以，故的取值范围为.【小问3详解】由即在上恒成立，得，令，则，当且仅当，即时取等号，所以.故实数的取值范围为.