湖北省鄂西南三校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

鄂西南三校高一年级12月联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试题卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式，再根据交集定义计算即可.【详解】因为，所以.故选：B.2.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合抽象函数的定义域的求解方法，以及函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域为，则函数满足，解得或，即函数的定义域为.故选：C.3.已知，则函数的解析式为（）A.B.（）C.（）D.（）【答案】C【解析】【分析】令（），采用换元法求函数的解析式.【详解】设（），则，，所以（），故选：C.4.已知函数，则的图象大致是（）AB.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A选项；由可以判断B、C选项，即可求解.【详解】函数的定义域为，在定义域内有，所以函数在定义域上是偶函数，则A选项错误；又，则B、C选项错误；故选：D.5.碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物组织内的碳14质量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体生物组织内碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（）A.金（公元年）B.元（公元年）C.明（公元年）D.清（公元1616-1911年）【答案】B【解析】【分析】设活体生物组织内碳14的质量，由题意建立方程求解即可.【详解】设活体生物组织内碳14的质量，由题意知：，又，，，所以该生物死亡的朝代为元. 故选：B.6.已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解．【详解】不等式，可化为，当时，不等式的解集为空集，不合题意；当时，不等式的解集为，要使不等式恰有四个整数解，则，当时，不等式的解集为，要使不等式恰有四个整数解，则，综上可得，实数的取值范围是．故选：C．7.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.【详解】因为，，且，所以 ，当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C8.函数的单调区间为（）A.在上单调递减，在上单调递增B.在上单调递减，在上单调递增C.在上单调递增，在上单调递减D.在上单调递增，在上单调递减【答案】D【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减，求得函数的单调区间.【详解】由，解得函数的定义域为.由于开口向下，对称轴为.在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知函数在上单调递增，在上单调递减.故选：D【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列比较大小正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以A正确；对于B，由幂函数在上单调递增，可得成立，所以B不正确；对于C，由指数函数单调递减函数，可得成立，所以C正确；对于D，由，所以，所以D不正确.故选：AC.10.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】BCD【解析】【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不同一个函数；对于B，由得，即的定义域为，由得，即的定义域为，结合，故是同一函数；对于C，因为与的定义域、解析式相同，故是同一函数；对于D，因为与（恒成立）的定义域、解析式相同，故是同一函数；故选：BCD.11.定义函数为实数的小数部分，为不超过的最大整数，则不正确的有（）A.的最小值为0，最大值为1B.在为增函数 C.是奇函数D.满足【答案】ABC【解析】【分析】首先注意到，使得，结合函数新定义先得到是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC选项，最后研究在上的最值情况即可.【详解】对于D，因为，使得，此时，，这表明了，故D正确；对于B，首先，由D选项分析可知，，故B错误；对于C，由D选项分析可知，是周期为1的周期函数，所以，故C错误；对于A，由D选项分析得知，是周期为1的周期函数，所以只需研究它在上的最值情况即可，而当时，，即的最小值为0，没有最大值，故A错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意到，使得，结合函数新定义得出是周期函数.12.已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（）A.B.函数在区间为增函数C.函数在区间为增函数D. 【答案】BD【解析】【分析】令可判断A；不妨设，可得，即，即可判断B；结合选项B，可取判断C；结合选项B及不等式的性质判断D.【详解】令，则有，即，故A错误；不妨设，由，可得，∴，∴函数在区间为增函数，故B正确；由选项B可知，函数在区间为增函数，可取，此时在区间为增函数，而，可知函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误；∵函数在区间为增函数，，∴，∴，∴，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分．13.命题“∀x∈R，<0”的否定是________________．【答案】,使得. 【解析】【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，所以命题“∀x∈R，<0”即为：“∀x∈R，”，所以其否定是：“,使得”.故答案为：,使得.14.已知在定义域内单调，则的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】根据指数函数，二次函数的单调性，结合分段函数单调性的要求即可求解.【详解】由分段函数中当时，，对称轴为，所以，当时，函数在上增函数；当时，函数在上单调递减，上单调递增函数，而在上不单调.综上可知，函数在R上单调递增函数.因此可得，解得.故的取值范围是.15.已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】分类讨论，在时由可得．【详解】时，不合题意，因此且，∴，故答案为：． 16.已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则______；______.附注：.【答案】①.②.【解析】【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期，结合已知条件和周期即可求和.【详解】因为，所以函数的图象关于点对称，且；又的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，即为偶函数，所以，所以以4为周期，所以，，，，所以，因为，所以，同理，，，，，所以.所以.故答案为：；【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值（1） （2）设，的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的计算可得；（2）根据对数和指数的关系，将指数式化成对数，再根据对数的运算及性质计算可得；【详解】解：（1）.（2），，，【点睛】本题考查分数指数幂的运算，对数和指数的关系，以及对数的运算，属于基础题.18.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的交集运算即得答案；（2）由得，分类讨论，根据判别式讨论集合B中元素，判断是否满足题意，确定a的值，即可得答案.【小问1详解】由题意得集合，， 故；【小问2详解】由得，由于，故时，，满足题意；当时，对于，，当时，，此时，满足题意；当时，，，此时，要满足，则，故实数a的取值集合为.19.已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据幂函数，偶函数的定义以及题意可知，，，即可求出，得到函数的解析式；（2）由偶函数的性质以及函数的单调性可得，即，即可解出．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，即或2，∵在上单调递增，为偶函数，∴，即．(2)∵∴，，， ∴，即的取值范围为．20.已知函数是定义在上的奇函数.（1）当时，求，的值：（2）若函数在上单调递减.（i）求实数的取值范围：（ii）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性得到时的解析式，求出，的值；（2）（i）根据函数开口方向，对称轴，得到不等式，求出；（ii）根据函数的奇偶性和单调性得到不等式，转化为恒成立，求出答案.【小问1详解】当时，，当时，，，因为为定义在上的奇函数，所以，故，所以，所以；【小问2详解】（i）在上单调递减，，开口向下，对称轴为，所以，解得，（ii）为定义在上的奇函数， 故，又在上单调递减，故在R上单调递减，故，即恒成立，由于，故，实数的取值范围为.21.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2），万元【解析】【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】当时，，当时，，综上，.【小问2详解】 由（1）知，，当时，，因为，所以，当时，，当时，，当且仅当，即时取等号，此时，又，所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.22.函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为y关于x的奇函数，给定函数．（1）求的对称中心；（2）已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】22.23.【解析】【分析】（1）构造函数，由列方程组，从而求得对称中心.（2）先求得在区间上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得的取值范围.【小问1详解】假设的图象存在对称中心，则的图象关于原点中心对称，因为的定义域为，所以恒成立， 即恒成立，所以，解得，所以的图象存在对称中心.【小问2详解】函数在区间上单调递减，在区间上值域为，由题意可知：对恒成立，因为开口向下，对称轴为，若，即时，则在上单调递减，则，解得，不合题意；若，即时，则在上单调递增，在上单调递减，则，解得；若，即时，则在上单调递增，则，解得，不合题意；