四川省南充市南充高级中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

南充高中高2023级高一上学期第二次月考数学试题（时间：120分钟总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）.1.已知是4与6的公倍数，，则（）A.P⫋QB.C.D.Q⫋P【答案】C【解析】【分析】根据题意得到.【详解】因为4与6的最小公倍数为12，故，故，ABD错误，C正确.故选：C2.已知，则下列选项错误的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质判断AC选项，由指数函数的性质判断B选项，由幂函数的性质判断D选项.【详解】因为，所以，即A正确；当时，，当时，，则，所以，故C正确； 对于B，因为是R上的递增函数，所以，故B正确；对于D，是R上的增函数，所以，故D错误；故选：D.3.存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部；命题的否定是（）A.有的三角形的垂心在其内部.B.任意三角形的垂心在其内部.C.有的三角形的垂心在其内部或边上.D.任意三角形的垂心在其内部或边上.【答案】D【解析】【分析】利用量词命题的否定即可得解.【详解】量词命题的否定步骤为：改量词，否结论，所以存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部，其否定为：任意三角形的垂心在其内部或边上.故选：D.4.已知是幂函数，满足，则（）A.3B.27C.81D.243【答案】B【解析】【分析】设出，根据条件求出，故，求出答案.【详解】设，则，即，解得，故，所以.故选：B5.函数的大致图象为（）AB. C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数的定义域，排除D，再判断出函数不是偶函数，选出正确答案.【详解】的定义域为，排除D；又，故，所以不是偶函数，排除BC；A正确.故选：A6.已知，，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据求出，作差比较出.【详解】因为，所以，故，，，故，，故，所以.故选：B7.酒驾是严重危害交通安全违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了（单位：）.停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（）个小时才能驾驶？（）. A.12B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，列不等式，即可解得.【详解】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则，即，由于在定义域上单调递减，所以，故C项正确.故选：C.8.已知函数（），在区间上单调递增，则实数b的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用定义法得到时，函数单调递减，时，单调递增，从而得到.【详解】任取，，故.当时，，，故，故，，故函数单调递减；当时，，，故，故， 函数单调递增；又在区间上单调递增，所以.故选：A二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.9.已知，且，则下列结论正确的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】BD【解析】【分析】根据得到，结合，得到且或，得到答案.【详解】因为，又，所以，故，又，所以或，故选：BD10.已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】A选项，将指数式化为对数式，得到A正确；BC选项，由对数运算法则进行判断；D选项，由换底公式进行求解.【详解】A选项，因为，所以，A正确；B选项，因为，所以，B错误； C选项，，C正确；D选项，由A选项得，D错误.故选：AC11.已知函数，且正实数满足，则下列结论可能成立的是（）A.B.的最小值为0C.D.的最小值为【答案】ABCD【解析】【分析】根据题意分四种情况讨论，结合对数函数和基本不等式相关知识判断答案即可.【详解】①当，时，，则，故A正确；②当，时，，则，此时，当且仅当时，即时等号成立，不符合；③当，时，，，则，故C正确；④当，时，，，则，，当时，有最小值为，故D正确，此时成立，当时等号成立，故B正确.故选：ABCD12.已知函数，函数，其中，若函数恰有两个零点，则函数的零点可以是（）A.B.C.1D.2【答案】AD 【解析】【分析】求出函数的表达式，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当时，，；当时，，.，所以的大致图象为当时，有零点0，4；当时，由解得，所以有零点，2.故选：AD.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设且，若函数的反函数的图像过点，则__________．【答案】##0.5【解析】【分析】利用反函数的概念可得在函数的图像上，即求.【详解】∵函数的反函数的图像过点，∴在函数的图像上，∴，即，故答案为：. 14.函数图象与平行线，，有且仅有三个交点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出的图象，不妨设，则由图可知，，从而可求出的取值范围.【详解】的图象如图所示，不妨设，因为的图象与平行线，，有且仅有三个交点，所以由图可知，，所以，即实数的取值范围是，故答案为：15.已知函数，任意给定一个非零常数t，均有，试写出一个满足条件的解析式______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】可设，得为奇函数，再结合可得也为奇函数，从而可求解.【详解】由题意知对于任意的非零常数都有，设，，所以为奇函数，即 所以，由，即，、得，所以应为一个奇函数，故，且答案不唯一.故答案为：.16.已知是函数的零点，则______.【答案】1【解析】【分析】首先由可得，然后构造函数，由的单调性以及得，则的值可求.【详解】令，，由于，所以，即，令，则，因为在上均大于0，且单调递增，所以在上单调递增，所以，，所以.故答案为：1.三、解答题（本题共6小题，共计70分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合，.（1）若，则是的什么条件？（2）若，求实数取值范围.【答案】（1）既不充分也不必要条件（2）【解析】 【分析】（1）求出集合A，根据充分必要条件可判断；（2）根据并集运算的定义可列式计算得解.【小问1详解】由题知，即，解得，所以；由知，，所以是既不充分也不必要条件.【小问2详解】因为，，所以，解得，所以实数的取值范围为.18.（1）已知，求的值；（2）方程的两根分别为，求的值.【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）化对数式为指数式，进而求出；（2）方法一：变形为，是方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，从而计算出答案；方法二：解方程得到，，代入计算即可.【详解】（1）由知，，，所以；（2）方法一：，，是方程的两根，由根与系数的关系知，，， ；方法二：，解得，，所以.19.已知，，集合.（1）若，求的取值范围；（2）若A中含有无穷多个元素，且函数在区间内恰有一个零点，求实数t的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，且，再根据基本不等式求解最值即可；（2）由题意，进而将题意转化为在有唯一解，再分情况讨论的值，根据零点存在定理求解即可.【小问1详解】，无解，所以，且，故，当且仅当时取等号，又因为，且，所以的取值范围为.【小问2详解】中含有无穷多个元素，所以，且，即. 函数在区间内恰有一个零点，即在有唯一解.当时，，成立.当时，，解得，由，解得，成立.当时，，解得且.特别地，当时，的零点为满足；当时，的零点为满足；综上所述，实数的取值范围为.20.已知函数，满足.（1）求a的值，证明：函数在区间单调递增；（2）解关于x的不等式.【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由可解得a的值，再由定义法可求在区间单调性；（2）由知，的图象关于对称，将转化为或利用换元法令，，则，解出t的范围即可得解.【小问1详解】，，由，解得.任取，，，则，，，由，，，知，，即，所以函数在区间单调递增. 【小问2详解】由知，的图象关于对称，由，知，，所以的取值范围为.另解：，，则，即，解得，所以，即，即，所以的取值范围为.21.假设某学习小组对家庭每月用水的收费提供了如下两种模型：模型一：若用水量不超过基本月用水量，则只付基本费8元和损耗费c元（）；若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按元进行付费；模型二：用函数模型（其中k，m，n为常数，且）来模拟说明每月支付费用y（元）关于月用水量的函数关系.已知该市某家庭1—3月的用水量x分别为，和，支付的费用y分别为9元，19元和31元.（1）写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式；（2）写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模型哪个更合理？【答案】（1）（2），，模型一与生活中的实际情况更接近【解析】【分析】（1）分析出第2，3月份用水量和均大于最低限量，列出方程组，求出，，不妨设，推出矛盾，故，得到，求出答案；（2）得到方程组，求出，，，得到解析式，并用三个方面说明模型一与生活中的实际情况更接近.【小问1详解】由题意得， 第2，3月份水费均大于13元，故用水量和均大于最低限量，于是有，解得，从而，再考虑1月份用水量是否超过最低限量，不妨设，将代入中，得，故，与矛盾，舍去，故，即，解得，故，所以每月支付费用（元）关于月用水量的函数解析式.【小问2详解】，由题意知，，即由得，由得，所以，解得，所以，代入，解得，又，所以，所以，.模型一与生活中的实际情况更接近（言之有理即可）.建议从以下三方面考虑：原因一：惠民政策，生活中，比如：打车，交税，交气费等都是与模型一接近，百姓缴费少；原因二：指数爆炸，由知，关于x是快速增长，但模型一在上匀速增长，更符合实际意义； 原因三：当时，，由于，，，所以，故，不符合实际意义.22.若奇函数.（1）求，的值；（2）记函数，求函数的单调递减区间（不需要证明）；（3）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得、的值；（2）根据对数函数的单调性结合复合函数的单调性可求；（3）首先分离参数得，然后令，，则，代入可得，根据基本不等式求最值即得.【小问1详解】由，，，化简得，即， 得，解得，解得，.【小问2详解】由（1）知，.当时，，令，则在单调递减，又，所以在单调递减；同理：当时，单调递减；【小问3详解】，其中，所以，即，所以，令，，，所以恒成立，只需求，的最小值，由知，，当且仅当，即时，等号成立.所以，即.综上，的取值范围为.