四川省南充高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

高2023级高一上期期中考试数学试题（考试时间：120分钟；总分150分）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（非选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（）A.，B.，C.，D.，2.设集合，，则=（）A.B.C.D.3.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　）A.B.C.D. 4.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.或B.或C.或D.6.已知且，则的取值范围（）A.B.C.D.7.若函数满足对任意实数都有成立，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.8.若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，则下列表示正确的是（）A.B.C.D.10.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3 ）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（）A.图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B.图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C.图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D.图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本11.下列命题正确的是（）A若，，则；B.若正数a、b满足，则；C.若，则的最大值是；D.若，，，则的最小值是8；12.已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（）AB.函数在上单调递增C.D.满足不等式的的取值范围为第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是______．14.不等式的解集是，则______．15.已知函数，且，则、的大小关系是________．16.设定义域为R的函数，且，则x的值所组成的集合为______.四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，第18－22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设集合，，．（1），求；（2）若，求实数的取值集合．18.已知函数，且.（1）判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明；（2）求在上的值域.19.已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．（1）分别求函数和的解析式；（2）设，，求的最小值．20.某公司生产一类电子芯片，且该芯片年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定 成本－流动成本）（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？21.已知函数.（1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围；（2）当时，解不等式.22.设，函数.（1）若，在直角坐标系中作出函数图像，并根据图像写出函数的单调区间.（2）若函数的图象关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的范围. 高2023级高一上期期中考试数学试题（考试时间：120分钟；总分150分）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（非选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“，”的否定是：，.故选：C2.设集合，，则=（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，，.故选：A 3.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依次判断各选项中的函数是否满足定义域和值域要求即可.【详解】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误；对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确；对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误；对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误.故选：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过求出两不等式的解，即可得出结论.【详解】由题意，在中，或，在中，或， ∴“”是“”的充分不必要条件，故选：A.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.或B.或C.或D.【答案】A【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，解得，或.故选：A．6.已知且，则的取值范围（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】变换，利用均值不等式计算最值即可.【详解】，当且仅当，即，时等号成立，故选：C.7.若函数满足对任意的实数都有成立，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，需要保证每段函数在对应区间为增函数，且在分割点处需要满足函数值对应的关系即可，列出不等式求解，则问题得解.【详解】因为函数满足：对任意的实数，都有成立，所以函数在（-∞，+∞）上是增函数，所以在（-∞，1），（1，+∞）上均单调递增，且-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6，故有，解得1≤a≤2．所以实数a取值范围是[1，2]．故选：B．【点睛】本题考查根据函数单调性求参数范围的问题，属基础题.8.若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】确定函数是上的减函数，且为偶函数，考虑和两种情况，根据 函数的单调性和奇偶性解不等式得到答案.【详解】对任意的，且，都有，即对任意两个不相等的正实数，，不妨设，都有，所以有，所以函数是上的减函数，又因为为奇函数，即有，有所以有，所以为偶函数，所以在上单调递增.①当，即时，有，由，得，所以，解得，此时无解；②当，即时，由，得，所以，解得或.综上所述：不等式的解集为.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，则下列表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】 【分析】先求得集合，集合元素与集合的关系，集合与集合的关系，即可求解.【详解】由方程，解得或，所以集合可表示为，所以C正确，根据元素与集合的关系，可得，，所以A正确，B不正确，D不正确.故选：AC.10.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（）A.图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B.图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C.图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D.图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本【答案】BC【解析】【分析】由图（1）可设关于的函数为，，，分析出为票价，为固定成本，根据图（2）和图（3）图像的变化，即可分析出正确答案．【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价，当时，，则为固定成本；由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误；故选：BC．11.下列命题正确的是（） A.若，，则；B.若正数a、b满足，则；C.若，则的最大值是；D.若，，，则的最小值是8；【答案】BD【解析】【分析】举反例得到A错误，根据函数的单调性计算最值得到C错误，利用均值不等式计算最值得到BD正确，得到答案.【详解】对选项A：取，，，则，，错误；对选项B：，则，，当且仅当，即时等号成立，正确；对选项C：在上单调递减，故函数的最大值为，错误；对选项D：，，，故，，，当且仅当，即，时等号成立，正确；故选：BD12.已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（）A.B.函数在上单调递增 C.D.满足不等式的的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】令求出值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明单调性可判断B；由以及可判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：令，得，所以，故选项A正确；对于B：令，得，所以，任取，，且，则，因为，所以，所以，所以在上单调递增，故选项B正确；对于C：，故选项C不正确；对于D：因为，由可得，所以，所以不等式等价于即，因为在上单调递增，所以解得：， 所以原不等式的解集为，故选项D正确；故选：ABD．【点睛】利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是______．【答案】3【解析】【分析】根据幂函数的定义求得，再由单调性确定最终结论．【详解】由题意，解得或，时，在上递减，时，在上递增，所以．故答案为：3.14.不等式的解集是，则______．【答案】【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得求a、b，即可确定目标式的结果. 【详解】由题设，，可得，∴.故答案为：15.已知函数，且，则、的大小关系是________．【答案】【解析】【分析】，两边平方，化简得到答案.【详解】，故，即，故，即，即.故答案为：.16.设定义域为R的函数，且，则x的值所组成的集合为______.【答案】【解析】【分析】首先换元，令求出的范围，从而对进行分类讨论求方程的根即可.【详解】令，当时，有单调递增，所以此时，当时，有，当时，有单调递增， 所以此时，综上所述，将方程转化成，由以上分析可知当且仅当，或时，，即当且仅当或，由以上分析可知：当时，有，此时方程无解，当时，有，此时存在使得恒有解，即此时的解集为，当时，有，所以，又，所以.综上所述：满足题意的x的值所组成的集合为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是换元，令求出的范围，从而分类讨论即可顺利求解.四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，第18－22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设集合，，．（1），求；（2）若，求实数的取值集合．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）确定得到或，再计算交集得到答案.（2）根据得到，解得答案.【小问1详解】当时，，故或，又，故；【小问2详解】，所以需满足，解得，故的取值集合为.18.已知函数，且.（1）判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明；（2）求在上的值域.【答案】（1）函数在上是单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；（2）根据单调性即可得出函数在上的值域.【小问1详解】单调递增，由题意证明如下，函数，且，有，解得，所以的解析式为：.设，且，有. 由，得，则，即.所以在区间上单调递增.【小问2详解】由（1）知在上是增函数，所以在区间上的最小值为，最大值为，所以在上的值域为.19.已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．（1）分别求函数和的解析式；（2）设，，求的最小值．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）通过构造方程组的方法求得，设，根据已知条件可得的解析式；（2）求出，分、、讨论可得答案.【小问1详解】定义在上的函数满足①， 可得②，由①②可得；设二次函数，因为的最小值为，且，所以，解得，可得；【小问2详解】，当时，在上单调递增，所以，当时，在上单调递减，所以，当时，所以，所以．20.某公司生产一类电子芯片，且该芯片年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时， ；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？【答案】（1）（2）公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片【解析】【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【小问1详解】根据题意得，当时，，当时，，故【小问2详解】当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，此时．当时，，当且仅当时，等号成立．因为，故当时，取得最大值24，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片． 21.已知函数.（1）若不等式解集是空集，求m的取值范围；（2）当时，解不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对二次项系数分类讨论，与，当时，，求解不等式组即可得解；（2）分，和三种情况解不等式.【小问1详解】①，即时，解集不是空集，舍去，②时，即时，，即，∴，解得，∴的取值范围是；【小问2详解】∵化简得：，①时，即时，解集为，②时，即时，，，解集为或， ③时，即时，解集为，∵，∴，∴，∴解集为.综上，时，解集为或；时，解集为；时，解集为22.设，函数.（1）若，在直角坐标系中作出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间.（2）若函数的图象关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的范围.【答案】（1）图象见解析，单调递减区间为，；单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）确定函数的解析式，根据解析式画出函数图像，根据图像得到单调区间；（2）确定函数为奇函数，计算，变换，构造，根据函数的单调性计算最值得到范围.【小问1详解】 ，的图象如下：由图知：在，上递减，在上递增，故单调递减区间为，；单调递增区间为.【小问2详解】的图象关于点对称，即关于原点对称，所以奇函数，则，所以，即在上恒成立，所以，故，则，故，所以，则恒成立，即，由，令，构造函数.任取，且，因为，所以，函数在上递增.所以，故，综上所述：，即.