四川省南充市顺庆区南充高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

南充高中高2023级第一学期第一次月考(数学)一.单选题1.设集合,若,则的值为（）A.B.-3C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.【详解】由集合中元素的确定性知或.当时,或;当时,.当时,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当时,满足集合中元素的互异性,故满足要求;当时,满足集合中元素的互异性,故满足要求.综上,或.故选:D.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题得到答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为：.故选：B.3.设，则的大小顺序是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.【详解】，，，，.又，故.则.故选：C.4.某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（）A120B.144C.177D.192【答案】B【解析】【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，则，，不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为，即，，由容斥原理： ，解得：，故选：B.5.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.【详解】先考虑充分性.,=，因为，所以，所以“”是“”的充分条件.再考虑必要性.,=，不能推出.如：a=-3,b=-1.所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6.已知集合或，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用并集运算结合数轴即可求出的范围.【详解】因为集合或，，所以.故选：B.7.已知不等式的解集为,则不等式的解集为（）A.或B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】根据给定的解集求出值，再代入角一元二次不等式即可.【详解】因为不等式的解集为,因此的两根为,且，即,解得，所以不等式化为,其解集为或. 故选：A8.已知且，则的最小值为（）A.10B.9C.8D.7【答案】B【解析】【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意得，，令，则，由得，故，当且仅当，结合，即时取等号，也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选：B9.已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论正确的是（）A.UN⊆UPB.NP⊆NMC(UP)∩M=∅D.(UM)∩N=∅【答案】ABC【解析】【分析】由已知条件画出Venn图，如图所示，然后根据图形逐个分析判断即可【详解】因为集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，所以作出Venn图，如图所示， 由Venn图，得UN⊆UP，故A正确；NP⊆NM，故B正确；(UP)∩M=∅，故C正确；(UM)∩N≠∅，故D错误.故选：ABC10.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，则【答案】AD【解析】【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.【详解】对于A，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选项A正确；对于B，当，，，时，有，，但此时，，，故选项B错误；对于C，当，，时，有，，但此时，，，故选项C错误；对于D，∵，∴，∴，∴，∴，由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.故选：AD.11.“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有（） A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.【详解】若关于的不等式对恒成立，当时，不等式为，满足题意；时，则必有且解得，故的范围为，故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，考查选项知满足条件.故选：12.若正数a，b满足，则（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.【详解】A选项：根据基本不等式，，当且仅当时，等号成立，故A对；B选项：因为，所以，所以，，同理，，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故B对；C选项：因为，所以，所以，又因为，，所以，，，，，所以，故C对；D选项：，所以，化简得，当且仅当时，等号成立，故D错误；故选：ABC.二.填空题13.已知集合,用列举法表示为________【答案】【解析】【分析】根据，化简求解即可．【详解】因为,可知，解得，所以.故答案为：.14.已知，设，则的取值范围是________【答案】【解析】 【分析】确定，根据题目条件得到答案.【详解】令，则，，①，，故，得.故答案为：.15.若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________.【答案】【解析】【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论.【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素.当即时，，符合题意.当即时，解得.故答案为：16.若对于任意，不等式恒成立，设，则取值范围为________【答案】【解析】【分析】变换得到恒成立，构造，计算函数值域，得到，换元得到，即，计算范围即可.【详解】对于任意，不等式恒成立，即当时，不等式恒成立， 设，，函数在上单调递减，在上单调递增，，，的值域为，所以原不等式恒成立，等价于，即，设，则，所以，故，当时，，显然当时，而，故，故此时；当时，，显然.综上所述：的范围是.故答案为：.三．解答题17.已知全集.（1）求集合；（2）若集合，求实数的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）解一元二次方程及整数的概念化简即可求解；（2）先求出，再求，利用集合相等建立方程组求解即可.【小问1详解】， 所以，；【小问2详解】由（1）得，又，所以，所以，得.18.如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.（1）若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小?并求出最小值.（2）若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大?并求出最大值.【答案】（1）菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为（2）菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大,最大值为【解析】【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值即可；（2）利用基本不等式求积的最大值即可.【小问1详解】由已知可得，而篱笆总长为.又，当且仅当，即时等号成立.菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为.【小问2详解】由已知得，而菜园面积为，则，当且仅当即时取等号.菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大，最大值为. 19.已知，且.（1）求证：；（2）求的最小值以及此时的的值【答案】（1）证明见解析（2）最小值为，【解析】【分析】（1）变换得到，展开利用均值不等式计算得到证明.（2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.【小问1详解】，则.，当且仅当，时取等号，即.【小问2详解】.当且仅当，即时取等号.于是的最小值为，此时.20.关于不等式.（1）若，求不等式的解集.（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）. 【解析】【分析】（1）将代入不等式，解得答案.（2）考虑和两种情况，解不等式得到答案.【小问1详解】，则，即，故，不等式的解集为：.【小问2详解】当，即时，原不等式为，解集为；当时，由题意，得，解得.综上所述：的取值范围为.21.关于的一元二次方恒有两个实数根.（1）当且两个根皆为负时,求实数的取值范围.（2）不等式恒成立,求实数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）两个根皆为负即；（2）韦达定理的逆运用，转化为关于的式子，再结合因式分解，二次函数的最值进行求解.【小问1详解】当时,方程化为由已知有所以实数的取值范围为 【小问2详解】此时则的最大值为.22.对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定.（1）若，请直接写出集合和中元素的个数.（2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由.（3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由.【答案】（1）有4个元素，有7个元素（2）个，11个（3）13，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知新定义结合条件求解即可.（2）根据已知新定义，分类讨论、列举结合条件进行求解.（3）根据已知新定义,分类讨论、列举进行求解、证明.小问1详解】因为，，所以有4个元素，有7个元素.【小问2详解】 最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素.可能的构造如下：.这个集合的元素均为素数，中最大的元素为，则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同，从而由该数字的所有大于1的因子组成.最小值：不妨设，显然有，则，则至少有11个元素.可能的构造如下：，等比数列即可.【小问3详解】中至少有13个元素，可能的构造如下：，所以证明如下：考虑对集合A进行分类：，，，设，，，.设，再对集合B进行分类：，，，设，，.分析，，与，，关系：对集合中的元素：，则则①对集合中的元素：；②对集合中的元素：，则 则③①+②+③得到注意到：当时，当时，（均值不等式）从而元素个数至少为13.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.