四川省德阳市 2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

德阳中学高2026届高一上期第二次月考数学试题考试时间：2023年11月14日第I卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解出集合，根据并集的运算法则求得结果.详解】由，得，得即，则故选：A.2.函数的零点所在的大致区间是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在定理，计算求解即可【详解】根据条件，，，，可得，，所以，函数的零点所在的大致区间是故选：B【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题 3.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数对数函数单调性计算，，，得到答案.【详解】，，，故.故选：A4.下列函数既是偶函数又在上为增函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合偶函数定义与函数的单调性判断即可得.【详解】A中定义域为，故错误；B中定义域为，令，则，为奇函数，故错误；C中定义域为，故错误；D中定义域为，令，则，为偶函数，且在上为增函数，故正确.故选：D.5.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）A.y=xB.y=lnxC.y=D.y=【答案】D【解析】 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【详解】解：函数的定义域和值域均为，函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域和值域均为，满足要求；故选：．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．6.已知的值城为，且在上是增函数，则的范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数定义域及复合函数单调性，可将问题转化在上恒成立，且在上是减函数，计算即可得.【详解】设，由为定义在上的减函数，故在上恒成立，且在上是减函数，则， ，故.故选：A.7.为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（）A.关于y轴对称，再向左平移3个单位长度B.关于y轴对称，再向右平移3个单位长度C.向左平移3个单位长度，再关于x轴对称D.向右平移3个单位长度，再关于x轴对称【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算性质可得，结合函数图象的对称性和平移变换即可求解.【详解】A：函数，关于y轴对称得，再向左平移3个单位长度得，故A错误；B：函数，关于y轴对称得，再向右平移3个单位长度得，故B正确；C：函数，向左平移3个单位长度得到，再关于x轴对称得，故C错误；D：函数，向右平移3个单位长度得到，再关于x轴对称得，故D错误；故选：B.8.已知是定义在上的单调函数，满足，且，若，则与的关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由题意，设，可得，代入，解得，从而得函数，所以可得，可得，得，然后求解的值，即可得.【详解】解：∵是定义在上的单调函数，满足，∴是一个常数，设，则，由，得.令，得，解得，∵，∴，∴，∵，∴，解得或（舍去），∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的解析式求解和单调性的应用，以及对数运算性质的应用，计算的过程中注意：（1）根据题意，设，求得的值，确定出函数的解析式；（2）根据的单调性判断出的大小关系，推导出；（3）利用对数的运算性质和换底公式，列式求解出.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列结论中不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据等式性质得到A正确，取特殊值得到BCD错误，得到答案.【详解】对选项A：，不等式两边除以，则，正确； 对选项B：取，，满足，，错误；对选项C：取，满足，，，错误；对选项D：取，满足，，错误.故选：BCD10.在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）AB.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题中“不动点”函数所给定义，只需判断是否有解即可【详解】对于A：由题意，所以，此方程无解，所以A中函数不是“不动点”函数；对于B：由题意，即，记，因为，，，，由零点存在性定理知，函数在区间和区间上有零点，即方程有解，故B中函数是“不动点”函数；对于C：由题意，解得：，所以C中函数是“不动点”函数；对于D：，在同一直角坐标系下画出函数以及的图像，可确定两个函数的图像有交点，即方程有解，所以D中函数是“不动点”函数； 故选：BCD.11.给出下列说法，正确的有（）A.函数单调递增区间是B.已知的定义域为，则的取值范围是C.若函数在定义域上为奇函数，则D.若函数在定义域上为奇函数，且为增函数【答案】BCD【解析】【分析】计算对数函数的定义域可得A；借助对数函数的定义域可将问题转化为，可得，计算即可得B；运用奇函数的定义计算即可得C；运用奇函数的定义及复合函数单调性判断即可求解D.【详解】A选项，由，得，故A错误；B选项，定义域为，则恒成立，则，∴，故B正确；C选项，定义域为，且为奇函数，∴，∴，当时，，满足题意，故C正确；D选项，∵，∴的定义域为，且，∴为奇函数，又时，，均为增函数，∴也是增函数，而为增函数，∴为增函数，故D正确. 故选：BCD.12.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定成立的有（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于原点对称C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用函数的奇偶性，运用赋值法可得出该函数的对称性与周期性，结合对应性质，运用赋值法可求出特定点的值.【详解】由定义域为，且为偶函数，∴①，∴关于直线对称，故A正确；又为奇函数，∴，即，用替换上式中，得②，∴关于点对称，又关于直线对称，故关于轴对称，即为偶函数，无法确定的图象是否关于原点对称，故B错误；由①②得③，∴④，∴，∴，所以函数周期为4，在②式中，令得，解得， ①式中令得，②式中令得，∴，故C正确，无法判断结果，故D错误.故选：AC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数，则__________.【答案】7【解析】【分析】根据分段函数求出，代入根据对数的运算性质即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以.故答案为：7.14.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】由题意可得函数需满足，解得，故函数的定义域为，故答案为：.15.若，则的最小值是__________.【答案】【解析】 【分析】根据对数的运算找出之间的关系，再利用基本不等式求出最值.【详解】即：则，于是当且仅当时等号成立.故答案为：.【点睛】灵活使用对数的运算法则，以及掌握基本的基本不等式题型.16.已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】根据零点的定义分别求解出，代入中可得到，根据的范围得到的最小值，从而得到结果.【详解】由得：，则，，则，由得：，则，，则，由得： 本题正确结果：【点睛】本题考查函数零点的具体应用，关键是通过零点的定义求得零点的坐标，从而可将所求式子化简为关于变量的函数，根据对数型函数最值得求解方法求得结果.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.求下列各式的值.（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式.18.已知集合，，全集（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代入得到，根据补集的运算求出.然后解可求出 ，进而根据交集的运算，即可得出结果；（2）显然成立.时，解即可得出实数取值范围.【小问1详解】当时，，所以或.由以及指数函数的单调性，可解得，所以.所以.【小问2详解】当时，有时，即，此时满足；当时，由得，，解得，综上，实数的取值范围为.19.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，t分钟后物体的温度可由公式：（k为常数，e为自然对数的底数）得到，现有的物体，放在的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是.（1）求常数k的值：（2）该物体冷却多少分钟后物体温度是.（精确到1）（参考数据：，，）【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）由题意列出方程，结合指数式和对数式的互化解之即可；（2）由（1）知，结合对数的运算性质计算即可求解.【小问1详解】由题意可知，∴可列：， 解得：，∴，∴；【小问2详解】由已知可知：，即，∴，∴，∴物体冷却4分钟后物体温度是.20.已知指数函数（，且）的图象过点.（1）求的解析式：（2）若函数，且在区间上有零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据指数函数的概念直接求出参数即可；（2）由（1）可得，令，利用换元法可知在上有解，分类参数可得，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由题意，的图象过点，∴，解得， 故函数的解析式为；【小问2详解】∵，∴，令，由于，则，∴，，函数在上有零点，等价于方程在上有解，∴，，当且仅当即时等号成立，∴，即，故实数m的取值范围为.21.已知函数（且）的定义域为或，.（1）求实数m的值：（2）判断在区间上的单调性，并用定义法证明；（3）若函数在区间上的值域为，求的值.【答案】（1）；（2）证明见解析（3）或.【解析】【分析】（1）根据对数函数定义域要求，结合一元二次不等式即可求解，（2）根据对数的运算，结合单调性的定义即可求解,（3）根据函数的单调性，即可求解值域作答.【小问1详解】由已知，即：的解集为或，∴. 【小问2详解】当时，在区间上为增函数；当时，在区间上为减函数；证明：任取，，且，∵∴，∵，∴，∴，∴当时，，即，∴在区间上为增函数，当时，，即，∴在区间上为减函数.【小问3详解】，由（2）可知①若，在上单调递增∴，又，∴，∴，或（舍去）∴；②若，上单调递减∴∴，，∴，∴. 综上所示，或.22.已知函数.（1）若为偶函数，求实数m的值；（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；（3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.【答案】（1）-1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数解得：m=-1，再用定义法进行证明；（2）记，判断出在上单增，列不等式组求出实数a的取值范围；（3）先判断出在R上单增且，令，把问题转化为在上有两根，令，，利用图像有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围.【小问1详解】定义域为R.因为为偶函数，所以，即，解得：m=-1.此时，所以所以为偶函数，所以m=-1.【小问2详解】 当时，不等式可化为：，即对任意恒成立.记，只需.因为在上单增，在上单增，所以在上单增，所以，所以，解得：，即实数a的取值范围为.【小问3详解】当时，在R上单增，在R上单增，所以在R上单增且.则可化为.又因为在R上单增，所以，换底得：，即.令，则，问题转化为在上有两根，即，令，，分别作出图像如图所示： 只需，解得：.即实数m的取值范围为.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．