四川省资阳市 2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

安岳中学高2023级第一学期半期考试数学试题满分：150分；考试时间：120分钟；出题人：覃永飞；审题人：陈兰一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.下列各组对象不能构成集合的是（）A.参加杭州亚运会的全体乒乓球选手B.小于5的正整数C.2023年高考数学难题D.所有无理数【答案】C【解析】【分析】根据集合的意义，逐项判断即可.【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合；对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合；对于C，2023年高考数学难题模棱两可，给定一个2023年高考数学题不能判断其是否是难题，不能构成集合；对于D，无理数明确可知，可以构成集合.故选：C2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.【详解】命题“”否定是“”.故选：A.3.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依次判断各选项中的函数是否满足定义域和值域要求即可.【详解】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误；对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确；对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误；对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误.故选：B.4.对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（）A.若，，则B.若，，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】采用举反例的方法，可判断,利用不等式性质可判断D.【详解】若，当,则,A错误；若，，取，满足条件，但，B错误；若，取，则，C错误；若，则必有，故，则，D正确，故选：D 5.已知命题：为假命题，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题设为真命题，讨论、，结合一元二次不等式恒成立列不等式求参数范围.【详解】由题设，为真命题，当时，恒成立，满足；当时，.综上，故选：D6.设奇函数在上为增函数，且，则不等式解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性、单调性分析运算即可得解.【详解】解：∵奇函数在上为增函数，且，∴在上增函数，，则不等式等价为不等式，即.∴当时，，由函数在上为增函数，得：；当时，，由函数在上为增函数，得：；∴不等式的解集为.故选：B. 7.已知是上的增函数，那么的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据是R上的增函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案．【详解】因为函数是上的增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：C.8.已知，若，则的最小值为（）A5B.6C.7D.9【答案】D【解析】【分析】由乘“1”法将变形为，结合基本不等式即可求解.【详解】由题意，且，所以由基本不等式可得，当且仅当即时，等号成立，综上所述：的最小值为9.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在下列函数中，最小值是2的函数为（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】对于A、D：直接利用基本不等式进行计算即可；对于B、C：利用基本不等式取等号的条件不满足可以判断；【详解】对于A：因为，所以（当且仅当即时等号成立）.故A正确；对于B：取等号的条件为，但是不能取得.故B错误；对于C：，取等号的条件为，此时无解，所以选项C错误；对于D：，（当且仅当即时等号成立）.故D正确；故选：AD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．10.下列说法正确的有（）A.不等式的解集是B.若，则的最小值为3 C.若，则的最小值为4D.“”是“”的必要不充分条件【答案】CD【解析】【分析】A解分式不等式求解集判断；B、C利用基本不等式求目标式的最值，注意取值条件是否成立；D由充分、必要性定义判断即可.【详解】A：，解集为，错；B：，当且仅当时等号成立，显然，等号不成立，故最小值不为3，错；C：，当且仅当时等号成立，即最小值为4，对；D：必有，但反之不一定成立，故“”是“”的必要不充分条件，对.故选：CD11.对任意集合，记且，则称为集合的对称差，例如，若，，则，下列命题中为真命题的是（    ）A.若且，则B.若且，则C.存在，使得D.若且，则【答案】ABC【解析】【分析】根据对称差的定义及交、并、补运算，逐项判断即可．【详解】对于A，因为，所以且，即与是相同的，所以，故本选项符合题意；对于B，因为，所以且，所以AB，且B中的元素不能出现在中，因此，故本选项符合题意； 对于C，时，，，故本选项符合题意；对于D，因为，所以且，所以BA，故本选项不符合题意．故选：ABC．12.已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（）A.为奇函数B.C.，D.若的值域为，则【答案】BCD【解析】【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.【详解】，，，，关于对称，，，，，，故C正确；关于对称，，，为偶函数，，，，，，为偶函数，故A错误；，图象关于点中心对称，存在一对最小值点与最大值点也关于对称，，故D正确； 由得，又，所以，由得，所以，故B正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质.对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.不等式的解集是__________________.【答案】【解析】【分析】利用分式不等式的解法进行求解即可.【详解】，，解得，不等式的解集为.故答案为：.14.已知集合，集合，若，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由题意，若，则，求解即可【详解】由题意，集合，集合若 则，解得故实数的取值范围为故答案为：15.已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则___________．【答案】【解析】【分析】由题可得，然后利用奇偶性的定义即求，，最后计算即可；【详解】∵，∴.由是奇函数，是偶函数，可有，，代入上式，，则有，；则.故答案为：.16.已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列命题：①；②函数图象关于直线对称；③函数在上有5个零点；④函数在上为减函数．则以上结论正确的是___________．【答案】①②【解析】【分析】由题意分析的对称性、单调性、周期性，对结论逐一判断.【详解】根据题意，函数是上的奇函数，则； 由得，即所以是函数的一条对称轴；又由为奇函数，则，变形可得，则有，故函数是周期为4的周期函数，当，且时，都有，则函数在区间上为增函数，又由是上的奇函数，则在区间上单调递增；据此分析选项：对于①，，则，，故①正确；对于②，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确；对于③，函数在上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6，故③错误；对于④，在区间上为增函数且其周期为4，函数在上为增函数，故④错误；故答案为：①②．四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简集合AB，再利用并集的运算求解；（2）根据，由求解.【小问1详解】 解：，或，，即的取值范围是.【小问2详解】，，即取值范围是.18.已知二次函数图象的对称轴为直线，且.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.【答案】18.；19..【解析】【分析】（1）设且，结合已知，应用待定系数法求解析式；（2）由在上递减，在上递增，结合二次函数的对称性即可确定上的值域.【小问1详解】由题设，令且，则，故.【小问2详解】由在上递减，在上递增，结合二次函数对称性，在上，最小值，且， 所以在上的值域为.19.解关于的不等式：．（1）若，解上述关于的不等式；（2）若，解上述关于的不等式．【答案】（1）（2）答案见详解【解析】【分析】（1）将代入不等式，然后求解即可；（2）把化简得，，然后分四种情形：①，②，③，④，最后逐个进行讨论并求解即可．【小问1详解】由，则，所以，解得，或，故不等式的解为【小问2详解】把化简得，，①当时，，不等式的解为；②当，即，即时，不等式的解为；③当，即，即或，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，④当，即时，，解得， 综上所述，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为．20.已知函数（1）若关于的不等式的解集为，求和的值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解集，根据对应方程根与系数关系求参数；（2）问题化为时恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围.【小问1详解】由题意，的解集为，所以是的两根，由根与系数的关系知且，所以；【小问2详解】由题意，对任意的恒成立，当时，问题等价于恒成立，即 由，则，当且仅当，即时取等号，故，综上，的取值范围为.21.函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有.（1）求的值；（2）判断单调性并证明；（3）若，解不等式.【答案】（1）（2）是上的增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】(1)令代入即可.(2)证明单调性的一般思路是取,且再计算,故考虑取,代入,再利用当时,总有即可算得的正负,即可证明单调性.(3)利用将3写成的形式,再利用前两问的结论进行不等式的求解即可.【详解】(1)令,得,∴.(2)是上的增函数,证明：任取,且,则,∴,∴,即, ∴是上的增函数.(3)由及,可得,结合（2）知不等式等价于,可得,解得.所以原不等式的解集为.【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量,再计算，若，则为增函数；若，则为减函数．计算化简到最后需要判断每项的正负，从而判断的正负．(2)利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成的形式,若在区间上是增函数,则,并注意定义域.若在区间上是减函数,则,并注意定义域.22.根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．（1）求出k的值，并写出年利润（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【答案】（1），（2）当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．【解析】【分析】（1）根据利润的定义，结合所给函数的含义即可求解，（2）利用二次函数的性质求解最值，以及基本不等式求解最值，即可比较大小求解.【小问1详解】由题意可得， 当时，，所以，解得．所以【小问2详解】当时，，其图象开口向下，对称轴为，所以当时，取得最大值750万元；当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值850万元，因为，所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．