四川省遂宁市射洪中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

射洪中学高2023级高一上期半期考试数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题（本题共8小题共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的运算，即可得出答案.【详解】根据交集的运算可得，.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】比较两个不等式表示范围的大小，即可得出答案.【详解】因为所表示的范围要小于所表示的范围，所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.命题“”的否定是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用全称量词命题的否定写出结论，即可判断得解.【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“”的否定是：.故选：B4.已知幂函数的图象过点，则（）A.5B.6C.8D.9【答案】D【解析】【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值【详解】由题意令，由于图象过点，得，，所以，得故选：D5.已知，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】直接由基本不等式运算即可.【详解】因为，所以，即的最小值为4，当且仅当时，等号成立.故选：D.6.下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数的定义域，代入，判断奇偶性；然后根据函数的形式，判断得出单调性，即可得出答案.【详解】对于A项，设，定义域为R，且，所以为奇函数.当时，在上单调递增，且；当时，在上单调递增，且.所以，在定义域上为增函数.故A项正确；对于B项，设，定义域为R，且，所以，不是奇函数.故B项错误；对于C项，设，定义域为R，且，所以，为偶函数，不是奇函数.故C项错误；对于D项，设，定义域为，且，所以为奇函数.又在上单调递减，上单调递减，故D项错误.故选：A.7.已知是定义在上的单调递减函数，且，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围.【详解】∵是定义在上的单调递减函数，且， 则，解得故选：D..8.已知为定义在上的偶函数，对于且，有，，，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，结合函数单调性及奇偶性即可解不等式【详解】设，因为，所以，即，令，则有时，，所以在上为增函数，由题知为定义在上的偶函数，易知为奇函数且在上为增函数，因为，，所以，所以当时，，不等式不成立，当时，等价于，即，则， 当时，等价于，即，则综上所述：等式的解集为，故选：C.二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．9.设，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据不等式性质判断A、B；C、D选项举出反例即可.【详解】对于A，由，故A对；对于B，，因为，所以，得，故B对；对于C，若，，，故C错；对于D，当时，，故D错.故选：AB10.与表示同一个函数的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样得到答案.【详解】定义域为，且.对于A：，定义域也为，故A正确；对于B：的定义域为，定义域不一样，故B错误； 对于C：，定义域与解析式都相同，故C正确；对于D：的定义域为，定义域不一样，故D错误；故选：AC.11.下列说法正确的是（）A.函数的单调递增区间为B.函数的值域为C.若定义在R上的幂函数，则D.若是奇函数，则一定有【答案】BC【解析】【分析】求出的定义域即可判断A；利用分离常数法求值域判断B；利用幂函数的性质求值判断C；利用奇函数的定义结合举例判断D.【详解】由，解得，可知当时，函数无意义，故A错误；，∵，∴，∴，即函数的值域为，故B正确；若定义在R上的幂函数，则，得，故C正确；若是奇函数，令，是奇函数，但函数在处无意义，故D错误.故选：BC.12.已知函数，下面四个结论中正确的是（）A.的值域为B.是偶函数 C.在区间上单调递增D.的图像与的图像有4个不同的交点【答案】BD【解析】【分析】根据函数的性质逐个判定即可.【详解】易得的定义域为，因为，所以为偶函数，B正确；对于A：当时；当时，由对勾函数性质可知时，当且仅当取到等号，所以，因为为偶函数，所以时，所以的值域为，A错误；对于C：由A可知时，由对勾函数性质可知在上单调递增，在单调递减，所以C错误；对于D：当时，令，则，此时，所以方程有两个不同的根，又因为，所以方程有两个不同的正根，因为为偶函数，所以当时也有两个负根， 所以图像与的图像有4个不同的交点，D正确，故选：BD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，且，则实数______．【答案】【解析】【分析】根据元素与集合的关系即得【详解】因为，且，所以得，当时，符合互异性.所以.故答案为：14.若，则________．【答案】【解析】【分析】利用换元法结合条件即得.【详解】令，则，所以，即.故答案为：.15.已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据真命题得到不等式恒成立，求出参数的取值范围即可.【详解】因为命题“”是真命题，所以恒成立，①当时不等式恒成立，所以符合要求；②当时，要使得恒成立，则， 解得，综上可知，故答案为：16.已知函数，若，使得有解，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据题意先构造，可得为奇函数，且在上单调递增，即可由得，将看作为关于的一次函数，结合，有解，根据一次函数的单调性分类可得的取值范围.【详解】由得，设则故为奇函数，由得，即，当时，，根据在单调递增，在单调递增，故在单调递增，又为奇函数，故在上单调递增，故由得即， 由题意使得有解，当时，，不符合题意；当即时，，解得或，故；当即时，，解得或，故，综上可得实数的取值范围为，故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数的定义域为集合，集合．（1）求集合；（2）求．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接根据二次根式、分式有意义条件即可求解.（2）先求出集合，再根据补集、并集的定义即可求解.【小问1详解】因为函数的定义域为集合，则，解得，即集合．【小问2详解】因为或，，所以，或，则或． 18.已知函数的解析式，（1）求；（2）若，求a的值；【答案】（1）5；（2）0或.【解析】【分析】（1）根据自变量的范围选择相应的解析式可求得结果;（2）按照三种情况,选择相应的解析式代入解方程可得结果.【小问1详解】，,故.【小问2详解】当时,,解得,成立;当时,,解得或(舍);当时,,解得,不成立，的值为0或.19.已知集合，从以下两个条件中任选一个，补充到第（2）问的横线处，求解下列问题．①；②“”是“”的充分不必要条件；（1）当时，求；（2）若______，求实数的取值范围．【答案】19. 20.选①②，答案均为【解析】【分析】（1）根据并集概念求出答案；（2）若选①，根据并集结果得到，从而得到不等式组，求出实数的取值范围；若选②，得到⫋，得到不等式，求出实数的取值范围.【小问1详解】当时，集合，所以；【小问2详解】若选择①，则，因为恒成立，故，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则⫋，因为恒成立，故，又，所以或，解得，所以实数取值范围是．20.已知函数.（1）若为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，试判断在上的单调性并用定义法给出证明，写出此时的值域.【答案】（1）1（2）单调递增，证明见解析，【解析】【分析】（1）利用函数为奇函数的性质求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明并利用单调性求值域.【小问1详解】因为，定义域为，且为奇函数，所以，所以，即，解得.【小问2详解】由（1）知，，在上单调递增，证明如下：设，且，则，因为，所以，，，所以，即，所以在上单调递增.由的单调性可知，，即，所以的值域为.21.已知函数.（1）当时，求关于x不等式的解集；（2）若在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1），1）（2，.（2）.【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）原不等式等价于在上恒成立，分离参数得，令，利用基本不等式和不等式恒成立思想可得答案.【小问1详解】解：当时，则，由，得，令，解得，或，原不等式的解集为，1）（2，；【小问2详解】解：由即在上恒成立，从而有：，令，则，当且仅当时取等号，，故实数的取值范围是.22.若在函数定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质．（1）当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由；（2）若定义在上的函数具有性质，求的取值范围．【答案】（1）函数具有性质M，（2）．【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得，解得即可； （2）首先将写出分段函数，再分和两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为在上单调递增，所以在上的函数值的取值范围是，即，显然，所以，故函数具有性质．【小问2详解】解：，因为在上单调递减，在上单调递增，当时，单调递减，∴，得，整理得，∵与矛盾，∴当时，不合题意．当时，在单调递增，∴，知在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根， 令，，由，，，知，