四川省 2023-2024学年高一上学期12月期中数学试题（Word版附解析）

成都第二十中学2023-2024学年高一上期中数学注意事项：1、答题前务必填涂好姓名、座号、班级、考号；2、选择题必须使用2B铅笔认真填涂；3、大题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，并在答题卡规定的方框内答题．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.若集合，则集合（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由并集运算的定义可得.【详解】，，根据并集运算的定义可得，.故选：A.2.“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】找出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】，所以，“”“”，但“”“”，所以，“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.3.已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时， 的解析式为（）A.B.C.D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的性质求时的函数解析式即可.【详解】设，则，又.故选：A4.函数y=对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（）A.m>2B.m<2C.m<0或m>2D.0≤m≤2【答案】D【解析】【分析】解不等式=m2-2m≤0即得解.【详解】由题意知x2+mx+≥0对一切x∈R恒成立，所以=m2-2m≤0，所以0≤m≤2.故选：D5.若函数的定义域为，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出的定义域为，再由可求得的定义域.【详解】因为函数的定义域为，则，可得，所以函数的定义域为，对于函数，则，得，所以的定义域为.故选：C 6.计算的值为A.17B.18C.6D.5【答案】B【解析】【分析】利用指数幂的运算法则结合所给等式整理计算即可求得最终结果.【详解】．故选B.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则与应用，属于中等题.7.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.【详解】，要使得不等式有解，只需有解即可，解得或者，故选：D8.已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】构造，由题意可得为偶函数且在上递增，在上递减，再由等价于或，即可求解集.【详解】由题设，在上递减，又上有，所以，即为偶函数，根据偶函数的对称性知：在上递增，由，即，则上，上，由，则或，可得.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设，则下列不等式中恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】利用作差比较逐一判断即可.【详解】A：因为，所以，因此本选项正确；B：因为，所以，因此本选项正确；C：因为，所以，因此本选项不正确；D：因，所以，因此本选项不正确，故选：AB10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.定义域为B.的值域为 C.为奇函数D.为增函数【答案】ACD【解析】【分析】根据解析式画出草图判断定义域、值域和单调性，应用奇偶性定义判断函数奇偶性.【详解】由函数解析式，定义域为R，且图象大致如下：由图知：值域为，且在定义域上递增，令，则，故，令，则，故，且，所以为奇函数.故选：ACD11.关于定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.时，函数解析式为B.函数在定义域R上为增函数C.不等式的解集为D.不等式恒成立【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用偶函数定义求时，函数解析式为；对于B，研究当时，的单调性，结合偶函数图像关于轴对称，知在上的单调性；对于C，求出，不等式 ，转化为，利用单调性解不等式；对于D，分类讨论与两种情况是否恒成立.【详解】对于A，设，，则，又是偶函数，所以，即时，函数解析式为，故A正确；对于B，，对称轴为，所以当时，单调递增，由偶函数图像关于轴对称，所以在上为减函数，故B不正确；对于C，当时，，解得，（舍去），即，所以不等式，转化为，又在上为偶函数，得，所以不等式的解集为，故C对；对于D，当时，，，不恒小于；当时，，不恒小于0，故D错； 故选：AC.【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为的模型；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；（3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法；（4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；12.函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】分和三种情况讨论，结合对勾函数的单调性确定复合函数单调性判断即可.【详解】当时，，则选项C符合；当，故排除D；当时，的定义域为， 当时，当且仅当时取等号，由于在为减函数，为增函数，则函数在上为增函数，在为减函数，是奇函数，则奇偶性可得在上的单调性，故选项B符合；当时，的定义域为，当，，由于在，为增函数，则在，为减函数，是奇函数，则由奇偶性可得在上的单调性，故A符合.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数的定义域是______【答案】【解析】【分析】依题意可知，根号下的式子为非负且分母不为0，解不等式即可求得结果.【详解】根据题意可知需满足，解得且；所以函数定义域为.故答案为：14.如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为__________. 【答案】【解析】【分析】先由函数解析式，确定二次函数对称轴，以及单调性，再由题意，即可得出结果.【详解】因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在区间上是增函数，因此.故答案为【点睛】本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.15.某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________【答案】10【解析】【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可.【详解】由题意，设该厂月获利为元，则：，当工厂日获利不少于1000元时，即，即，解得：.故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.故答案为：1016.已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】 【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对分类讨论，分别计算可得.【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，且函数在上单调递减，在上单调递增，对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，令，解得或，所以与的两个交点分别为、，则函数与的图象如下所示：当时，当时，当时，显然，此时函数的值域不为，不符合题意；当时，当时，当时，此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；当时，在时，即，此时的值域为，符合题意，当时，当时，当时， 此时，即，此时函数的值域为，符合题意；综上可得.故答案为：四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，，，．（1）求，．（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）直接计算交集并集得到答案.（2）确定得到，解得答案.【小问1详解】，，则，.【小问2详解】，故，故，解得，即18.函数（1）画出函数的图象； （2）当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）．（3）若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程）【答案】（1）图象见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图象即可；（2）根据图象分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域；（3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围.【小问1详解】由解析式得图象如下，【小问2详解】由（1）图象知：在、上递增，在、上递递减，且，，，，综上，在上值域为.【小问3详解】由函数图象知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点，所以.19.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增（1）求的值及函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）且； （2）或.【解析】【分析】（1）由幂函数的区间单调性有求参数范围，结合及对称性确定参数值，并写出解析式；（2）由偶函数的区间单调性有，两边平方并解一元二次不等式求参数范围.【小问1详解】由幂函数在上单调递增知，又，当或，为奇函数，关于原点对称，不合题设；当，为偶函数，关于轴对称，符合；综上，且.【小问2详解】由偶函数在上单调递增，则在上单调递减，由，则，所以，可得或.20.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】（1）900cm（2）选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少【解析】 【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为cm，所以阴影部分的面积，所以，又，故，由图可知cm，cm.海报纸的周长为cm.故海报纸的周长为900cm.【小问2详解】由（1）知，，，，当且仅当，即cm，cm时等号成立，此时，cm，cm.故选择矩形的长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少.21.已知函数为奇函数（1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1），值域为（2）【解析】【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.【小问1详解】 函数为奇函数，定义域为，则，所以，经检验知符合题意；因为，则所以函数的值域为.【小问2详解】由题知：当恒成立；则；令，所以；又，当且仅当时等号成立，而，所以，则.22.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求，的值；（2）用定义法证明函数在上单调递增；（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得.（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增.（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.小问1详解】由于奇函数在处有定义，所以，，，.经检验符合题意；【小问2详解】由（1）知.任取、且，即，则，，所以，，则，所以，函数在上单调递增.【小问3详解】由（2）知，所以对于任意的恒成立,即对于任意的恒成立,所以，解得或,所以的取值范围为.【点睛】在利用函数奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在处有定义，可利用来求参数.