四川省资阳市雁江区资阳中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

资阳中学高2023级第一学期期中检测数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，，则是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】全称与特称命题的否定分两步，第一步：改写符号（与互改）；第二步：否定后半部分，据此回答即可.【详解】第一步：改写符号，由改成；第二步：对进行否定得；所以为：，.故选：A.2.满足的集合M共有（）A.16个B.15个C.8个D.7个【答案】C【解析】【分析】根据集合满足的条件，列举出所有情况即可.【详解】集合M满足，所以集合M可以为：共有8个.故选：C3.图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（） ①②③④A.②B.①④C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】根据函数的定义，每个都有一个对应的唯一确定的函数值，故只有③④符合条件.故选：D.4.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用作差比较大小即可.【详解】由题意可得，则.故选：D.5.已知函数，则（）A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.0【答案】A【解析】【分析】根据分段函数定义域的区间范围直接代入，即可得解.【详解】， 所以，故选：A.6.已知，则的最小值等于（）A.6B.8C.4D.5【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】由基本不等式可得：，即，所以，解得或（舍），当且仅当即时等号成立，所以的最小值等于4，故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7.若，则下列式子一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用函数单调性求解即可. 【详解】若，则，设，因为都是增函数，所以是增函数，所以，即.故.故选：D8.定义在上的函数满足：①；②函数对任意的都有．则（）A.0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】确定函数单调递增，设，代入计算得到，解得，计算得到答案.【详解】，故函数在上单调递增，，故存在唯一值满足条件，即，，当时满足，又函数在上单调递增，故是唯一解，，.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.的一个充分不必要条件是（） A.或B.或C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法和充分不必要条件的定义逐项判断即可.【详解】即或,所以或是的充要条件，故A错；或和是的充分不必要条件，故BC正确；是的不充分不必要条件，故D错.故选：BC10.已知函数值域为，则的定义域可以是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据的图象求得正确答案.【详解】画出的图象如下图所示，由解得，的图象是函数的图象的一部分，依题意，的值域为，由图可知，的定义域可以是、.故选：AB11.给出下列结论，其中错误的结论有（） A.已知函数是定义域上的减函数，若，则；B.函数在定义域内是减函数C.函数，则D.若函数的定义域为，则函数的定义域为；【答案】BD【解析】【分析】利用函数的单调性判断AB选项，利用整体代入法判断C选项，利用函数定义域的求法判断D选项即可.【详解】对于A，函数是定义域上的减函数，若，则，故A正确；对于B，函数在和是减函数，但是在定义域内不是减函数，故B错误；对于C，函数，则，故，故C正确；对于D，若函数的定义域为，则函数定义域为，不等式的解集为：，的定义域为，故D错误；所以错误的结论有BD.故选：BD12.函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）A.B.若在上有最小值，则在上有最大值1C.若在上为增函数，则在上为减函数D.若时，，则时，【答案】ABD【解析】【分析】利用奇函数的性质逐项判断即可.【详解】对于A，是定义在R上的奇函数，所以，故A正确； 对于B，图像关于原点对称，若在上有最小值，则在上有最大值1，故B正确；对于C，的图像关于原点对称，若在上为增函数，则在上也为增函数，故C错误；对于D，若时，，则时，,故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数（且）的图象恒过定点________.【答案】【解析】【分析】令，此时，从而求出函数图象恒过的定点坐标.【详解】当，即时，，所以函数图象恒过定点.故答案为：14.设则a，b，c大小关系是_______________．【答案】【解析】【分析】利用中间数0和1比大小即可.【详解】且同时所以，即.故答案为：15.函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是________________．【答案】【解析】 【分析】利用二次函数的单调性和对称轴的联系求解即可.【详解】函数的对称轴为，在区间上是单调函数，所以或者，解得或者.故答案为：16.定义在R上的函数满足：①在内单调递增；②为偶函数；③．则不等式的解集为______________．【答案】【解析】【分析】利用函数的对称性和单调性求解即可.【详解】为偶函数，所以，即.所以关于对称；在内单调递增，所以在内单调递减.，且关于对称，所以，所以的解集为；的解集为.若，则或，即或，解得或.故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）5（2）2【解析】【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；【小问2详解】．18.已知全集集合，．（1）求，；（2）若求实数的取值范围.【答案】（1）；或.（2）【解析】【分析】（1）利用集合的运算求解即可；（2）利用集合的包含关系求解即可.【小问1详解】集合，,且全集或，或.【小问2详解】 ,若当时，;当时，，解得；综上得，实数的取值范围是19.已知函数（1）求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；（2）求不等式的解集．【答案】（1）;奇函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用函数定义域的求法和奇偶性的定义求解即可；（2）利用对数函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】，所以，即，故定义域为.判断为奇函数，，所以为奇函数.【小问2详解】,即，且定义域为， 故.所以不等式的解集为.20.我校艺术体育节将在11月29-12月2日进行，艺体节的主题为“魅力与和谐”，学校宣传部拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．（1）当时，求海报纸的面积；（2）当为多少时，可使海报纸面积最小（即矩形的面积最小）？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定海报的长和宽，得到面积的解析式，代入计算得到答案.（2）利用均值不等式计算最值得到答案.【小问1详解】设海报的面积为，海报的长为，海报的宽为，，【小问2详解】，当且仅当，即时等号成立.故当时，可使海报纸面积最小. 21.已知函数．（1）若的解集为，求的值；（2）当时，解关于x的不等式．【答案】（1），（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将不等式的解转化为对应方程的解，根据根与系数的关系解得答案.（2）变换得到，考虑，，，，几种情况，解不等式得到答案.【小问1详解】，的解集为，则的解为和，故，解得，.【小问2详解】，即，①当时，不等式的解为：；②当时，不等式的解为：；③当时，若，不等式解为：或；若，不等式解为：；若，不等式解：或；综上所述：时，不等式的解为； 时，不等式的解为；时，不等式的解为；时，不等式的解为；时，不等式的解为22.已知函数（1）若，定义域为，求函数的值域；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用换元法求值域即可；（2）利用换元法结合二次函数的性质进行分类讨论即可.【小问1详解】，若，，设，，所以.此时,.故函数的值域为. 【小问2详解】当时，,设，对称轴，所以恒成立，即在恒成立.当时，，即，此时符合条件；当时,,即，不满足，舍去；当时，，即，此时符合条件；