四川省成都市某校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年度（上）阶段性考试（二）暨半期考试高2023级数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号．解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式，再根据元素是自然数求出集合内的元素即可.【详解】解不等式，解得，又因为，所以满足的的值有，所以集合为，故选：C2.命题：“，都有”的否定是（）A.，都有B.，有C.，都有D.，有【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.【详解】命题：“，都有”为全称量词命题，其否定为：，有.故选：D 3.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形面积的最大值为（）A.6B.9C.12D.18【答案】B【解析】【分析】设直角三角形两直角边长分别、，则，再利用基本不等式计算可得.【详解】设直角三角形两直角边长分别为、，依题意可得，所以三角形的面积，当且仅当时取等号.故选：B4.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A.9B.3C.D.【答案】A【解析】【分析】设，根据求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得.【详解】设，则，所以，则，所以.故选：A5.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负，分母不为零，零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可.【详解】对于函数，则，解得或，即函数的定义域为.故选：C6.已知函数是增函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意可得，解得即可.【详解】因为为增函数，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B7.定义在R上的偶函数对都有，若，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，并比较的大小，再结合函数是偶函数，即可判断选项.【详解】由题意可知，任意，，所以函数在区间单调递增，因为函数为偶函数，所以在区间上单调递减，，，所以，所以，再根据函数是偶函数，可得.故选：D8.若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得与的图象有两个交点，画出的图象如图，结合图象可得出答案.【详解】关于x的方程有两个不等的实数解，即与的图象有两个交点，画出的图象如图， 由图象可得：.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数在区间上不具有单调性，则a的值可以是（）A.B.C.9D.4【答案】BD【解析】【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到，求出，得到答案.【详解】的对称轴为，由于在区间上不具有单调性，故，解得，所以AC错误，BD正确.故选：BD10.若不等式的解集为或，则（）A.B.不等式的解集为C.D.集合只有1个真子集【答案】ACD【解析】【分析】利用一元二次不等式解集的性质，求出，后，依次代入计算可判断各选项.【详解】因为不等式的解集为或,所以，为方程的两根，所以,，解得，，所以，故正确；将的值代入得，解得，故错误；，故正确；将的值代入可得，解得， 所以只有一个真子集，故正确.故选：.11.下列结论，正确的是（）A.函数的单调增区间是B.函数（且）的图像恒过定点C.函数与是同一函数D.函数的值域为【答案】BC【解析】【分析】求出函数的定义域，参数分离结合反比例函数的性质，即可得出函数的单调区间；解，即可得出函数图象上的顶点；求出的定义域，化简函数解析式，即可判断C项；换元得出，根据二次函数的性质，即可得出函数的值域.【详解】对于A项，因为，定义域为.根据反比例函数的性质，可知在上单调递增，在上单调递增，故A错误；对于B项，由可得，，，所以，函数的图象恒过点.故B正确；对于C项，由可得，，所以定义域为；由可得，，所以定义域为，定义域相同.且，所以，为同一个函数.故C正确；对于D项，令，则，所以，. 根据二次函数的性质可知，当时，该函数在处取得最小值，无最大值.所以，函数的值域为.故D错误.故选：BC.12.已知函数对任意的x，都有，且当时，，则下列说法正确的是（）A.B.为偶函数C.在上有最大值D.的解集为【答案】AC【解析】【分析】令可判断A；令，结合奇偶函数的定义可判断B；由抽象函数的性质结合单调性的定义可判断C；利用奇偶性和单调性解不等式可判断D.【详解】令，则，解得：，故A正确；令，则，所以为奇函数，故B错误；，，，，所以，所以，所以在上单调递增，所以在上有最大值，故C正确；由，为奇函数，可得，又因为在上单调递增，所以，即，解得：或,故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13计算：________．【答案】##【解析】 【分析】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得.【详解】.故答案为：14.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，________．【答案】【解析】【分析】利用奇函数的定义，卡好变量范围，代入解析式中求解即可.【详解】是定义在上的奇函数，且当时，，，故答案为：15.命题，若是假命题，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】得到为真命题，只需，，求出的单调性，得到，得到答案.【详解】若是假命题，则为真命题，故，只需，其中，故上单调递减，在上单调递增， 其中，，故，所以，故答案为：16.已知函数的最大值为m，若正数a，b满足，则的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】设，，求出，结合函数的单调性作出函数的图象，结合图象，即可得出，.根据“1”的代换，推得，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】设，，根据指数函数的性质可知，函数在上单调递增，且；根据二次函数的性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，且.作出函数的图象，可知的最大值为A点的纵坐标，即，所以，，则. 又因为，所以，.当且仅当，且，即，时等号成立.所以，的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合．（1）设全集，若，求﹔（2）若______（请从①，②是的充分条件，③这三个条件中选一个填入），求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，由交集和补集的定义求解即可；（2）选①②③，可得出，即，解不等式即可求出答案.【小问1详解】由得：，故所以或由得：，故故当时，故【小问2详解】 选①，∵，∴∴解得：，故a的取值范围是，选②，因为是的充分条件，∴，选③，因为，所以，注：选②或③，解法及其结果同①，具体过程同上．18.已知函数是奇函数，且．（1）求a，b的值：（2）判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的判断．【答案】（1）（2）函数上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知结合奇函数的性质得出，列出方程组，求解得出的值，代入函数解析式，求出函数的定义域，检验即可得出答案；（2），且，作差整理得出，进而判断符号，即可推得.【小问1详解】因为函数是奇函数，且，所以，所以，，解得， 所以，，定义域为.，都有，所以，是奇函数，满足题意，故.【小问2详解】函数在上单调递减．由（1）知，，且，则.因为，且，所以，，，，故，所以，所以，函数在上单调递减．19.已知函数是二次函数，且满足．（1）求函数的解析式：（2）求函数在区间的最小值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设，利用待定系数法求函数的解析式.（2）根据二次函数的性质讨论单调性即可得到最小值.【小问1详解】由题意设，则，，∴由得，∴，即.故函数的解析式为.【小问2详解】由（1）知函数的对称轴为直线，开口向上，①当，即时，在区间上单调递减，此时；②当，即时在区间上先减后增，此时；③当时，在区间上单调递增，此时.综上所述，.20.已知函数（，且）在上的最大值比最小值大2． （1）求的值；（2）设函数，求证：为奇函数的充要条件是．【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对参数分类讨论分别求出最大值和最小值，然后代入求出的值即可；（2）先将代入证明奇函数得到充分性，再由奇函数求出得到必要性即可.【小问1详解】当时，此时单调递增，，此时有，解得或（舍）；当时，此时单调递减，，此时有，方程无解，所以的值为2；【小问2详解】由（1）知先证充分性：当时，，所以，所以此时为奇函数；再证必要性：因为为奇函数，且的定义域为，所以，即，所以， 综上可知为奇函数的充要条件是．21.某地区上年度居民生活水价为2.8元/，年用水量为，本年度计划将水价降到2.3元/到2.6元/之间，而用户期望水价为2元/．经测算，下调水价后新增用水量和实际水价与用户的期望水价的差成反比（比例系数为k），已知该地区的水价成本价为1.8元/（1）写出本年度水价下调后水务部门的收益y（单位：元）关于实际水价x（单位：元/）的函数解析式：（收益=实际水量×（实际水价一成本价））（2）设，当水价最低定为多少时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%？（3）设，当水价定为多少时，本年度水务部门的收益最低？并求出最低收益．【答案】（1）（2）2.4元/（3）当水价定为2.4元/时，本年度水务部门的收益最低，最低收益为1.8a元【解析】【分析】（1）由题意分析得到实际水量为进而求解即可；（2）表示出本年度最低收益为，列出不等式进行求解即可；（3）令，将函数化成，运用基本不等式求解即可.【小问1详解】由题意知，新增水量为：所以实际水量为：所以：.【小问2详解】由题意值：即，化简得：， 解得：或，又∵，∴，故当水价最低定为2.4元/时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%．【小问3详解】由题意知：令，则，由均值不等式有：（当且仅当时，等号成立）∴当，即时，y取得最小值，最小值为1.8a，故当水价定为2.4元/时，本年度水务部门的收益最低，最低收益为1.8a元．22.已知函数的定义域为，其中．（1）求的取值范围．（2）当时，是否存在实数满足对，都使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）不等式在上恒成立.分类讨论即可得出答案；（2）由题意，根据题意可得即可，令，分类讨论求解即可.【小问1详解】由题知：不等式在上恒成立.当时，不等式变为，显然在上恒成立，符合题意.当时，要不等式在上恒成立，则， 解得：.综上：a的取值范围是.【小问2详解】假设存在实数满足题意．∵，∴.令，则，∵对，都使得成立.∴不等式，即在区间恒成立，①当时，不等式显然组成立，此时：②当时，不等式可化为，，由均值不等式有：（当且仅当时，等号成立），∴，即，由不等式恒成立有：.③当时，不等式可化为：，由均值不等式有：（当且仅当时，等号成立），∴即，由不等式恒成立有：：