四川外语学院重庆 校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

重庆第二外国语学校2023-2024学年上期高2026级半期质量监测数学试题（全卷共四个大题满分：150分考试时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若集合,集合,,则A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据补集和并集的定义直接求出即可.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查补集和并集的求法，属于基础题.2.不等式的解集是（）A.或B.或C.D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，即不等式的解集是.故选：D.3.已知，，则是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充要也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为Ü，所以，是的充分而不必要条件.故选：A4.设函数，则A.0B.2C.D.1【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】由函数的解析式可得：，则.本题选择B选项.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．5.函数的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由函数的性质结合图象的特征，逐一判断即可得解.【详解】设，易得的定义域为，由，所以该函数为偶函数，可排除A；由可排除D；当时，，，可排除B.故选：C.6.定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性与单调性比较大小.【详解】由函数图象关于轴对称，则，，又函数在区间是单调递减函数，所以，即，故选：B. 7.已知定义在上的函数，如果满足：对任意两个不相等的实数，都有，则称函数具有“下凸性”．则下列函数：①；②；③；④.其中具有“下凸性”函数的个数是（）A.1B.C.3D.【答案】C【解析】【分析】结合幂函数的的图象根据“下凸性”定义判断．【详解】的几何含义是：在区间上，图象上任意两点连线的中点，位于中点对应的函数值之上，幂函数、在第一象限的图象符合此性质，所以正确选项为C．故选：C．【点睛】本题考查新定义，考查幂函数的性质，正确理解新定义是解题关键．8.已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用指数函数与一次函数的单调性，分段讨论的单调性，从而得到，再由在上的单调性得处有，从而得到，由此得解.【详解】因为在上单调递增，当时，在上单调递增，所以；当时，在上单调递增，所以，即；同时，在处，，即，即，因为，所以，即，解得或（舍去），综上：，即.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）9.若，，，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.命题“，”的否定是“，”【答案】ACD【解析】【分析】根据不等性质分别判断ABC选项，再根据命题的否定可判断D选项. 【详解】A选项：，，即，A选项正确；B选项：，若，则，若，则，若，则，B选项错误；C选项：，，所以，C选项正确；D选项：命题“，”的否定是“，”，D选项正确；故选：ACD.10.设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.是偶函数B.是偶函数C.是奇函数D.是奇函数【答案】BC【解析】【分析】根据奇偶性定义判断．【详解】由题意，为奇函数，A错；，B正确；，C正确；，D错误．故选：BC．11.给出以下四个判断，其中正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域是B.函数的图象与直线的交点最多有1个C.函数与函数是相同函数D.函数的值域为【答案】B【解析】【分析】由复合函数定义域求法求的定义域判断A；根据函数的定义判断B；根据同一函数的概 念判断C；由指数函数的性质求得值域判断D.【详解】对于A，由已知得，即的定义域是，A错；对于B，由函数定义：定义域上任意自变量对应唯一函数值，定义域外没有对应函数值，故函数的图象与直线的交点最多有1个，B对；对于C，的定义域为，的定义域为，所以函数与函数不是相同函数，C错；对于D，的定义域为，且，所以，即值域为，D错.故选：B12.已知a，b都是正实数，且.则下列不等式成立的有（）A.B.+C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，利用均值不等式即可判断每个选项【详解】，且，对于A，，当且仅当时取等号，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，B错误；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，由选项A知，，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.计算的结果为________．【答案】##1,5 【解析】【分析】根据指数幂的运算法则及指数幂的性质计算即可.【详解】原式.故答案为：14.函数的定义域是________．【答案】【解析】【分析】依题意可得，求解即可.【详解】依题意可得，解得且，所以函数的定义域是.故答案为：.15.请写出一个同时满足以下条件的函数：___________.①的定义域是；②是偶函数且在上单调递减；③的值域为.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】从常见的偶函数来思考即可.【详解】符合题意，显然的定义域为，，是偶函数，，值域为，根据二次函数的性质可知，在上单调递减.故答案为：（答案不唯一） 16.函数，当时的最大值为M，最小值为N，则________．【答案】【解析】【分析】求出的奇偶性即可得出的值.【详解】由题意，在中，，函数是奇函数，，在中，当时的最大值为M，最小值为N，故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合，，，全集．（1）求；；（2）如果，求a的取值范围．【答案】（1）；．（2）．【解析】【分析】（1）根据集合并集、补集、交集运算求解；（2）根据集合交集的运算结果求参数即可. 【小问1详解】∵，，∴，．【小问2详解】∵，，，．18.已知关于x的不等式.（1）若该不等式的解集为，求实数a；（2）若该不等式的解集为，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到和为方程的两根，根据韦达定理，即可得出结果；（2）根据题意，得到恒成立，分别讨论和两种情况，即可得出结果；【小问1详解】因为不等式的解集为，所以和为方程的两根，因此，解得；【小问2详解】因为不等式的解集为，①当时，原不等式化为，符合题意；②当时，只需，解得；综上，实数的取值范围是；19.已知二次函数，．（1）若，写出函数的单调增区间和减区间，并求出函数的值域． （2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围．【答案】（1）单调增区间为，减区间为，（2）【解析】【分析】（1）代入，利用配方法求单调区间，进而求得最值，即可求得值域；（2）由二次函数的性质求实数的取值范围.【小问1详解】若，则则函数的单调增区间为，减区间.所以当时，，又当时，，当时，，即，所以函数的值域为；【小问2详解】因为，即抛物线的对称轴为，若函数在上是单调递增函数，则，则；若函数在上是单调递减函数，则，则.所以实数的取值范围为.20.某研究性学习小组为探究学校附近某路口在上班高峰期（8:00至10:00）的车流量问题，经过长期的观察统计，建立了一个简易的车流量与平均车速之间的函数模型.模型如下，设车流量为（千辆/时），平均车速为（千米/时），则.（1）若要求在高峰期内，车流量不低于5千辆/时，则汽车行驶的平均速度应该在那个范围？（2）在上班高峰期，汽车的平均车速为多少时，车流量最大？最大车流辆是多少？【答案】（1）（2）当时，【解析】【分析】（1）根据条件解不等式即可； （2）利用基本不等式求解即可.【小问1详解】由，由题意可知，，则，化简得，所以；【小问2详解】因为，则，当且仅当时，取最大值，即，.21.已知函数的图像经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交．（1）求的解析式；（2）函数，，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意易得，结合图像经过原点可得的值，进而得结果；（2）通过（1）得的表达式，令，结合二次函数性质即可得结果.【小问1详解】∵函数的图像无限接近直线但又不与该直线相交∴， 又∵函数的图像经过原点，∴，即，∴的解析式为.【小问2详解】由（1）易得，，令，即，，故当，即时，的最小值为.22.已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，且时，有成立．（1）判断在上的单调性，并证明；（2）解不等式：；（3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数在上为增函数，证明见解析；（2）；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据定义法即可证明函数的单调性； （2）利用函数的单调性得到，解不等式组可得结果；（3）不等式先对恒成立，得到，再由对所有的恒成立，可求出的取值范围.【小问1详解】函数在上为增函数，证明如下：设任意，且，在中，令，，可得，又∵是奇函数，∴，∴，∵，∴，∴，即，故函数在上为增函数.【小问2详解】由(1)知函数在上为增函数且为奇函数，∴不等式可化，有，由，得，由，得，得，得或，得或， 所以由，得，由以及得，，即，得，得或，综合得，所以原不等式的解集为.【小问3详解】由（1），得函数在上为增函数，，且最大值为，因为对所有的恒成立，所以对所有的恒成立，即对所有的恒成立，令，则对所有的恒成立，所以，即，解得或或.所以取值范围是或或.