重庆二外高2024级高三第二次质量检测（数学）试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．的虚部为（）A．B．C．D．2．已知集合，则（）A．B．C．D．3．已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．4．剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次．记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（）A．B．C．D．5．已知则（）A．0B．1C．2D．36．已知二次函数的值域为，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．67．已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．8．设函数，不等式对恒成立，则实数的最大值为（）A．B．1C．D．0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量满足，则正确的是（）A．B．与的夹角为C．D．在上的投影向量为10．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（）A．B．函数在上为增函数C．直线是函数图象一条对称轴D．点是函数图象的一个对称中心11．如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，．．．构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等．在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列．斐波那契数列的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（）A．B．C．D．12．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，则下列选项正确的是（）
A．在内单调递增B．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为－4C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是D．和之间存在唯一的“隔离直线”三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，且，则______．14．若对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则______．15．已知数列满足，则数列的前项和为______．16．将方程的所有正数解从小到大组成数列，记则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题10分）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．记的内角的对边分别为，的面积为，已知______．（1）求；（2）若，求．18．（本小题12分）已知等差数列的前项和，且．（1）求；（2）设，设的前项和为，若恒成立，求的取值范围．19．（本小题12分）重庆市第二外国语学校在83周年校庆时组织了“校史”知识竞赛，有两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，
若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分。已知小王同学能正确回答类问题的概率为0.7，能正确回答类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小王先回答类问题，记为小王的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小王应选择先回答哪类问题？并说明理由．20．（本小题12分）如图，已知四棱锥，底面是边长为4的菱形，平面，，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．21．（本小题12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆的方程：（2）动直线交椭圆于两点，是椭圆上一点，为坐标原点，直线的斜率为，且．是线段延长线上一点，且的半径为，直线，是的两条切线，切点分别为，求的最大值．22．（本小题12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设是函数的两个极值点．证明：．答案选择题1－8 C A C C C B D D 9－12BCDBDBCDABD
6．∵的对称轴为：∴，∴∴当且仅当，即时，最小值为4．7．∵，，∴，，，，∴∵∴，∵∴，∵，，∴8．法1：隐零点为R上的奇函数，在R上单调递增，，，
令，，令．则在上↑，，，使，即，，时，时，，在上↓，法2：同构对恒成立，令，，∴t在，∴，令，∴令，则；令，则9-12：BCD、BD、BCD、ABD11．教材改编A：B：C：∵∴∴D：
∴12．猜1个走人A：，∴∴，，∴在上↑B：[相当于求上的公切线，也可以直接恒成立]设切点，，，，∴—①，∴AB方程组：∴—②，—③，由①③知：，∴∴，由①②知，∴C：由图像及B选项知：D：令，∴，∴在↓，↑
∵，∴与在处相切，仅1条隔离线∴，∴直线方程为：13-16：，，（）、16．，，∵最小正周期为：，，：令17．（1）（2）18．（1），，（2）
19．（1）X040100P0.30.350.35（2），，，先回答A20．（1）省（2）21．（1）（2）的最大值为，此时详解：（1），，，，，∴相向圆方程为：（2）设，则，∴AB：，∴OD：∴，，
，，在↑令令，则∴∴，即时，最大为，此时最大为22．（1）①．↑②．、↑、↓③．、↑、↓详解：（1）时，①若，则时，，∴在↑②若，则时，；时，
∴在、↑，在↓③若，则时，，时，∴在，↑，在↓（2），，在上的两根为，，，其余方法：此值，差值换元快速办法，，，由．，知：，令，，则，
—①，令，[应用：用的活需证明再用]Þ自闭3：题目应该有更简单的做法，∵①，∴
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