四川省成都市嘉祥教育集团2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

2023－2024学年度高一上学期半期监测试题数学注意事项：1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，请监考人员将答题卡收回．2．选择题部分用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题均无效．4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则集合（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由并集运算的定义可得.【详解】，，根据并集运算的定义可得，.故选：A.2.已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求出每个选项中对应法则中的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，当时，，且，A中的对应法则可以作为从到的函数；对于B选项，当时，，且，B中对应法则可以作为从到的函数；对于C选项，当时，，且，C中的对应法则不能作为从到的函数；对于D选项，当时，，则，且，D中的对应法则可以作为从到的函数.故选：C.3.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】取特殊值可判断ACD，利用不等式的性质判断B.【详解】对A，取，显然不成立，故A错误；对B，由不等式性质知，，则正确，故B正确；对C，取时，由可得，故C错误；对D，时，显然，故D错误.故选：B.4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案. 【详解】解不等式得，不等式化为，所以，因为为的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.函数的最大值为（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】利用配方法整理分母，结合不等式的性质，可得答案.【详解】由，则.故选：B6.若，则最小值为（）A.12B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意确定，且，将变形为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】因为，故，则，故，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为，故选：D7.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.的大小无法确定【答案】C【解析】【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.【详解】甲购买猪肉的平均单价为：，乙购买猪肉平均单价为：，显然，且，当且仅当时取“=”，因为两次购买的单价不同，即，所以，即乙的购买方式平均单价较大.故选：C.8.函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分析得到函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，转化为，恒成立，再转化为，得，恒成立，再分两种情况，得到的范围.【详解】由题得函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，则不等式，恒成立，则，恒成立，得，得，恒成立，则且，或且，恒成立，即当时，且，或且，又当，有，，得.故选：C.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思想，综合能力强，难度大.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A.M={x∣x=2n，n∈Z}，P={x∣x=2（n+1），n∈Z}B.M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}C.M={x∣∈Z，x∈N}，P={x∣x=2k，1≤k≤4，k∈N}D.M={y∣y=x2－1，x∈R}，P={（x，y）∣y=x2－1，x∈R}【答案】ABC【解析】【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.【详解】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M，P都表示所以偶数组成的集合，A正确，对于B，M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}，即B正确，对于C，M，P因此C正确，对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确.故选：ABC10.关于函数，正确的说法是（）A.与x轴仅有一个交点B.的值域为C.在单调递增D.的图象关于点中心对称【答案】ABD【解析】【分析】根据函数求值、值域的定义、函数单调性、对称性，可得答案.【详解】对于A，令，则，由，则，解得，所以函数图象与轴交唯一一点，故A正确；对于B，由函数，显然，则，所以函数的值域，故B正确；对于C，由函数，根据反比例函数的单调性， 可得在和上单调递减，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.11.若，，，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式可判断A正确，B正确，C正确；取特值可判断D错误.【详解】因为，，，对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，取，，得，故D错误.故选：ABC12.设函数，其中表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（    ）A.函数为偶函数B.当时，C.当时，D.当时，【答案】ABD【解析】 【分析】根据给定函数，画出函数图象并求出函数解析式，再逐项分析判断即得.【详解】画出函数的图象，如图所示：对于A，观察图象得，当时，，当时，，，当时，，，因此，，为偶函数，A正确；对于B，当时，，的图象可看做是的图象向右平移两个单位而得，经过平移后，的图象总是在图象的下方，即恒成立，B正确；对于C，当时，的图象可看做是的图象向右平移两个单位而得，而经过平移后，函数的图象有部分在函数的图象下方，C错误；对于D，，，令，，则当时，，当时，，当时，，因此，成立，即当时，，D正确．故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.幂函数在上的单调性是_________．（填“单调递增”或“单调递减”）【答案】单调递增【解析】【分析】根据幂函数的性质求解.【详解】因为，所以幂函数在上单调递增，故答案为:单调递增.14.已知函数是奇函数，当时，，则=_________．【答案】－3【解析】【分析】由奇函数的性质求解即可.【详解】因为函数是奇函数，所以.故答案为：15.已知集合，集合，且为真命题，则实数m的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】利用集合交集的结果求参数的取值范围.【详解】因为为真命题，所以,又因为，，（i）当，即，时，满足题意；（ii）当，即，时，要使，则或，解得，综上所述，或， 故答案为:.16.已知函数，若，且，设，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，由此可得,，进而得=，根据二次函数的性质即可求出的最大值.【详解】解：作出函数的图象如图所示：由题意可得,且有，即，所以=，因为，对称轴为，所以当时，的最大值为.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合，集合．（1）求和；（2）设，若，求实数a的取值范围． 【答案】17.；18.【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案；（2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案.【小问1详解】由题意，可得，所以，．【小问2详解】因为，若，所以解得，所以a的取值范围是．18.已知函数，．（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）在上单调递增；证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）由单调性的定义直接证明即可；（2）结合单调性构造关于m的不等式求解．【小问1详解】证明：，，任取，可知，因为，所以，，，所以，即， 故在上单调递增；【小问2详解】由（1）知：在上单调递增，所以，可得，解得故实数m的范围是．19.已知实数，且，.（1）当时，求的最小值，并指出取最小值时的值；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1），，最小值（2）【解析】【分析】(1)当时，由已知可得，然后利用乘法，结合基本不等式可求.(2)当时，变成，结合基本不等式可求.【小问1详解】因为时，已知等式即为，结合,所以，故，当且仅当时等号成立，并结合,解得，时，等号成立．【小问2详解】 当时，已知等式即为注意到，所以等号取得的条件是.所以的取值范围是.20.目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中v为传感器在静水中行进的速度（单位：km∕h），t为行进的时间（单位：h），k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3km∕h．设该传感器在水中逆流行进10km消耗的能量为E．（1）求E关于v的函数关系式；（2）当v为多少时传感器消耗的能量E最小？并求出E的最小值．【答案】（1）（v＞3）（2）v=6km∕h，最小值120k．【解析】【分析】（1）求出传感器在水中逆流行进10km所用的时间，表达出所消耗的能量；（2）变形后，利用基本不等式求出最小值，得到答案.【小问1详解】由题意，该传感器在水中逆流行进10km所用的时间（），则所消耗的能量（）．【小问2详解】有 当且仅当，即v=6km∕h时等号成立，此时取得最小值．21.已知命题满足，命题满足．（1）若存在，p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，解不等式，结合不等式性质，可得答案；（2）根据必要不充分条件，将题意写成集合，利用分类讨论思想，可得答案.【小问1详解】当时，由，得，所以．而，，∴，故实数a的取值范围是．小问2详解】设集合，．若p是q的必要不充分条件，则真包含于．当时，，满足题意；当时，，且，解得；当时，，且，解得． 综上所述，实数a的取值范围是．22.对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，（1）求函数的“稳定点”；（2）求证：；（3）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1）“稳定点”为；（2）见解析；（3）【解析】【分析】本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数的“稳定点”只需求方程中的值，即为“稳定点”若，有这是不动点的定义，此时得出，，如果，则直接满足.先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.【详解】（1）由有，得：，所以函数的“稳定点”为；（2）证明：若，则，显然成立；若，设，有，则有，所以，故（3）因为，所以方程有实根，即有实根，所以或，解得又由得：即由（1）知，故方程左边含有因式 所以，又，所以方程要么无实根，要么根是方程的解，当方程无实根时，或，即，当方程有实根时，则方程的根是方程的解，则有，代入方程得，故，将代入方程，得，所以.综上：的取值范围是.【点睛】作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题.需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.