四川省成都市嘉祥教育集团2022-2023学年高二数学（文）下学期期中监测试题（Word版附解析）

嘉祥教育集团2022－2023学年度高二下学期半期监测试题文科数学注意事项：1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存．2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.【详解】改量词：改为，否结论：否定为，所以，的否定形式为：，.故选：A.2.已知复数，则的虚部为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求其共轭复数，即可求解.详解】，故，故的虚部为，故选：C3.设，“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：当时，为纯虚数，故充分；当复数为纯虚数时，，解得或，故不必要，故选：A4.函数的单调递增区间为（）A()B.(1，+)C.(1，1)D.(0，1)【答案】D【解析】【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.【详解】∵函数，，∴，由，，解得，即函数的单调递增区间为.故选：D.5.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（　　） ①（）是三角函数：②三角函数是周期函数；③（）是周期函数A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①【答案】B【解析】【分析】按照三段论的形式：大前提，小前提，结论的形式排序即可.【详解】解：三段论为：大前提，小前提，结论，所以排序为：②三角函数是周期函数；①（）是三角函数；③（）是周期函数.故选：B.6.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；故选A．考点：导数及其性质.7.年初，新型冠状病毒（）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第周治愈人数（单位：十人） 由上表可得关于的线性回归方程为，则此回归模型第周的残差（实际值减去预报值）为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，用减去所得结果即可得解.【详解】由表格中的数据可得，，由于回归直线过样本的中心点，则，解得，回归直线方程为，将代入回归直线方程可得，因此，第周的残差为.故选：A.8.设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】当时，，当时，，当时，，根据函数的单调性即可判断.【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；当时，,函数单调递减；当时，,函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.9.若函数不存在极值点，则实数m的取值范围是（）A.（，+∞）B.（－∞，）C.[，+∞）D.（－∞，]【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立不等式，即可求解作答.【详解】函数不存在极值点,s由函数求导得：，因函数是R上的单调函数，而抛物线开口向上，因此有，恒成立，于是得，解得，所以实数m的取值范围是.故选：C. 10.设某程序框图如图所示，则输出的s的值为A.102B.410C.614D.1638【答案】B【解析】【详解】解：因为s=2,i=3;s=6,i=5;s=32-6=26,i=7;s=128-26=102,i=9s=512-102=410,i=11;此时输出．11.设双曲线（）的半焦距为c，直线l过两点，且原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率（）A.2B.C.2和D.2和【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用直角三角形面积公式列式，结合双曲线离心率定义求解作答.【详解】令，依题意，在中，，且，如图， 显然，由，得，整理得，而，解得，所以双曲线的离心率.故选：A12.芯片制作的原料是晶圆，晶圆是硅元素加以纯化，晶圆越薄，生产的成本越低，但对工艺要求就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立个科研小组，用、、三种不同的工艺制作芯片原料，其厚度分别为，，（单位：毫米），则三种芯片原料厚度的大小关系为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用函数在上的单调性可得出、的关系，利用余弦函数的单调性可得出与的大小关系，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出与的大小关系，综合可得出、、的大小关系.【详解】令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，则当时，，即，所以，函数在上为减函数， 因为，则，所以，，即，即，因为在上单调递减，且，所以，，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，则，即，所以，，则，综上所述，故选：A.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.若方程的图形是双曲线，则实数m的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程的特点求解.【详解】由于是双曲线方程，；故答案为：14.能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.【答案】【解析】【详解】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．15.甲､乙､丙､丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表： 甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则________同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性.【答案】丁【解析】【分析】根据数据直接判断即可.【详解】解：越大，越小，线性相关性越强，易知丁同学的试验结果体现A，B两变量的线性相关性较强.故答案为：丁.16.已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为______.【答案】【解析】【分析】由已知条件得出，，进而可知与是关于的方程的两根，构造函数，分析该函数的单调性，可得出，化简整理可求得的值.【详解】解：因实数、满足，，所以，，，即，所以，与是关于的方程的两根，构造函数，该函数的定义域为，且该函数为增函数，由于，所以，，，即，即，解得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用指数与对数的互化求代数式的值，解题的关键在于由已知等式化简得出与是关于的方程的两根，转化利用函数的单调性来得出 ，同时也要注意将根代入方程，得出关系式进而求解.三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17.设F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若线段AB的中点D的横坐标为1，.求点D到抛物线C的准线的距离和抛物线C的方程.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义结合几何性质可得点D到抛物线C的准线的距离.解法一：根据抛物线的定义分析求解p=1；解法二：利用弦长公式结合韦达定理分析运算.【详解】由题意可得抛物线C的焦点，准线，过A、B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为E、H，则根据抛物线的定义，有AF=AE，BF=BH，所以AE+BH=AF+BF=AB=3.因此在直角梯形ABHE中，点D到抛物线C的准线的距离.解法一：设，根据抛物线的定义有，，∴，而x1+x2=2，∴p=1，故抛物线C的方程y2=2x.解法二：显然直线l的斜率k存在且不为0，设方程为，，联立方程，消去y整理得，∴，，于是， 代入整理得，①注意到，②所以由①②解得，因此抛物线C的方程为y2=2x.18.某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据x24568y3040605070（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；（2）根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y与x的回归方程；（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．参考公式:回归方程为其中，【答案】（1）具有相关关系；（2）；（3）15【解析】【详解】试题分析：（1）根据表格中所给的数据，写出对应的点的坐标，在直角坐标系中描出这几个点，得到散点图；（2）首先做出这组数据的横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，求出a的值，写出线性回归方程；（3 ）根据上一问做出的线性回归方程，当y的值是一个确定的值时，把值代入做出对应的x的值试题解析：（1）散点图如图由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．（2），========∴线性回归方程为（3）由题得：，，得19.如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到．（1）与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S ，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）；（2）若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径．【答案】（1）R内（2）内切球的半径，外接球半径．【解析】【分析】（1）类比等面积法，由等体积法可推出结果；（2）根据（1）中的结果求出；将三棱锥补形成正方体，可求出.【小问1详解】解题方法类比：三角形内切圆半径的求法是利用等面积法，那么三棱锥内切球半径的求法是等体积法.设三棱锥的内切球的球心为，半径为，三棱锥的体积为，表面积为，则，，所以.所以三棱锥的内切球的半径公式R内．【小问2详解】因为PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=1，所以△PAB的面积为，于是，三棱锥P－ABC的体积为，三棱锥P－ABC的表面积为，所以，由（1）中的公式可得三棱锥的内切球的半径，将三棱锥补形成正方体，如图： 则三棱锥与正方体共外接球，则球的直径是长方体的对角线，所以.20.已知函数.（1）当时，求在点处的切线方程；（2） 时，求证：.【答案】（1）y=2x－2ln2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将代入的解析式，求出和，再运用点斜式直线方程求解；（2）运用导数求出的最小值，只要证明最小值即可.【小问1详解】当a=1时，，x＞0，则，，而，所以在点处的切线方程为，即；【小问2详解】对求导得，x＞0，当a＞0时，令得，当时，f（x）单调递减；当时，f（x）单调递增，所以， 只需证明≥，即≥0恒成立；设，，则，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以是的最小值，故，表明≥0（a＞0）恒成立，故.21.设函数，．（1）求的单调区间；（2）若存在极值点，且，其中，求证：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分和讨论，其中时易知函数单调，当时，求出导函数的零点，根据导数和函数单调性的关系即可得到答案.（2）根据题意得，从而得到，再对和化简即可证明.【小问1详解】由求导，可得．下面分两种情况讨论：①当时，有恒成立，所以的单调递增区间为；②当时，令，解得．当x变化时，，的变化情况如下表：x00 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．综上：当时，的单调递增区间为，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．【小问2详解】因为存在极值点，所以由（1）知，且，由题意，得，即，，进而．又，且．由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以．22.如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.（1）若，轴，求椭圆C的方程； （2）若椭圆C的离心率为，，求直线PA的倾斜角q的正弦.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）首先得，将点代入椭圆方程，结合关系即可得到答案；（2）设点P的坐标为，写出相关向量，利用其数量积为0得到，结合点在椭圆上以及椭圆第二定义即可求出直线倾斜角的正弦值.【小问1详解】由已知可得，所以.又点在椭圆C：上，所以.联立，解得，，因此椭圆C的方程为.【小问2详解】解法一：由题意知，，，.设点P的坐标为，，则，，∵，∴，则△PAF是直角三角形，于是，∴.① ∵P是椭圆C上在第一象限内的点，∵，即.②将①代入②得，即，∴，由于，∴只有，得.∵，，∴.③根据椭圆的定义，有，而，∴中，有.④将③代入④得.解法二：由题意知，，，，则直线PA的方程为，.（*）将直线PA的方程与椭圆方程联立，消去y后，得.（**）因为点和的坐标满足方程（*）和（**），所以，有，即，.若，则，表明△PAF是直角三角形，从而有， ∴，∴.将、代入上式，得++.去分母，整理，得，将代入，得ÛÛ，于是.解法三：过P作轴于Q，设，则有.∵，∴，得，.由，得，∴a+x0=（a+c）cos2qÞx0=（a+c）cos2q－a.根据椭圆的定义有，，而，∴，即，∴由，得代入上式，整理得，显然，所以，得. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法或是设线法，方法一和方法三采用的设点法，均利用了椭圆的第二定义，而方法二采用的设线法，通过设直线的方程，将其与椭圆联立，解出坐标，再利用向量点乘为0，即垂直关系解出.