四川省成都市嘉祥教育集团2021-2022学年高二数学（文）下学期期中质量监测试题（Word版附解析）

绝密启用前2021-2022学年度高二下学期质量监测试题数学（文科）注意事项：1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存.2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效.4.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数的虚部为（）A.－2B.1C.iD.2i【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法法则进行化简，得到，求出虚部.【详解】,所以的虚部为1.故选：B2.某品牌商店为了解店内毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x（℃）181282月销售量y（件）24324060 由表中数据算出线性回归方程，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A.50B.49C.48D.47【答案】D【解析】【分析】由图表求得坐标中心点的坐标，代入线性回归方程求得，得到线性回归方程，取为6求得商场下个月毛衣的销售量.【详解】由表求得，，∵，解得，∴线性回归方程，当时，，即估计该商场下个月毛衣销售量约为47件，故选：D.3.如果函数在点x=x0处的瞬时变化率为－1，那么的值为（）A.1B.－1C.±1D.±2【答案】C【解析】【分析】函数在处的瞬时变化率为曲线在该点的导数，求导代入计算即可.【详解】∵，∴，∵在点处的瞬时变化率为，∴，解得，故选：C.4.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=4，则输出的n等于（） A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析】安排流程图的循环结构，求出.【详解】，输出结束.故选：D5.函数在[0，3]上的最大值为（）A.－2B.C.－1D.1【答案】B【解析】【分析】求导，由导函数求出单调性，从而确定极大值，再求出端点值，比较得到最大值.【详解】，令得：或，令得：，故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，，又，故在[0，3]上的最大值为.故选：B6.若函数f（x）=2cosx，则f（x）在点处的切线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求导，根据切线斜率等于切点处的导数即可求解．【详解】，由导数的几何意义可知，切线的斜率，设切线的倾斜角为，即，所以.故选：B．7.函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（）A.B.CD.【答案】A【解析】 【分析】根据函数图象，确定导函数的正负，进而求出的解集.【详解】由函数图象与导函数大小的关系可知：当时，，当时，，故当时，；当时，；当时，，故的解集为.故选：A8.函数的一个增区间是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求导后，分别判断每个选项中导函数的正负，由此可确定单调性，进而得到结论.【详解】.对于A，当时，，则，在上单调递增，A正确；对于B，当时，，，在上单调递减，B错误；对于C，当时，，，在上单调递减，C错误； 对于D，当时，，，在上单调递减，D错误.故选：A.9.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．【答案】C【解析】【分析】根据给定的的值，结合附表，即可得到结论.【详解】由，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关.故选：C. 10.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用欧拉公式，化简的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．【详解】因为欧拉公式为虚数单位），所以，因为，，，，所以表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查欧拉公式的应用，三角函数的符号的判断，考查是基本知识，属于基础题．11.定义在（0，+∞）的函数f（x）满足，，则不等式的解集为（）A.（－∞，0）B.（－∞，1）C.（0，+∞）D.（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据题干条件构造函数，，得到其单调递减，从而求解不等式.【详解】设，则，所以在上单调递减， 因为，所以，且，所以由得：结合单调性可得：，解得：，故选：C12.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算将a,b,c化简，然后构造函数，判断该函数的单调性，由此判断a,b,c的大小关系.【详解】由题意可得，令，x＞0，则f（x）在（0，＋∞）上是单调增函数，又，所以，即,故选:A第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.一般来说，数学问题不胜枚举，解题的方法千差万别，但是我们解决数学问题的过程却是类似的，可以用流程图表示为： 这种求解数学问题六步骤具有较强的科学性和适用性，其中第一步：分析问题，第二步：是否存在现成的解题方法？第三步：选择解题策略，第四步：是否能够转换为熟悉的问题？第五步：解答，第六步被污染了，请你补充出第六步是___________．【答案】检验【解析】【分析】根据题意填写出第六步.【详解】第六步是：检验.故答案为：检验14.已知函数f（x）=x3－3x，则过点（1，－2）切线方程为__________．【答案】和【解析】【分析】讨论当点为切点时与当点不是切点时，利用导数的几何意义即可求解．【详解】由函数，则，当点为切点时，则，即切线的斜率，所以切线的方程为，当点不是切点时，设切点，则，即， 解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即．故答案为：和．15.已知；；．通过观察上述等式的规律，写出一个一般性的命题：____________．【答案】【解析】【分析】根据所给示例，发现三个角为公差是的等差数列，形式为平方和等于定值．【详解】已知；；发现三个角为公差是的等差数列，形式为平方和等于定值所以证明：等式左边可化为原式得证 故答案为：16.已知直线y=a分别与曲线y=3x+2，y=2x+lnx交于A，B两点，则∣AB∣的最小值为____________．【答案】1【解析】【分析】设，，则，令，通过导函数分析其单调性即可求解最小值．【详解】设，，则，所以令，则当时，，当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴时函数的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17.在复平面内，由复数，，所对应的点分别为，作出，并求的值．【答案】图形见解析，.【解析】【分析】根据复数运算及几何意义可求得坐标，由此可作出图形；利用两点间距离公式可求得，利用余弦定理可求得. 【详解】，，，对应的点的坐标分别为，，，则可作出如下图所示，，，，18.已知函数．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；【答案】（1）1（2）的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.【解析】【分析】（1）求导，求出即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值.【小问1详解】因为，所以，因此曲线y=f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；【小问2详解】 令，解得：x=0或2．x02－0+0－↘极小值↗极大值↘所以f（x）在，内是减函数，在内是增函数．因此函数f（x）在x=0处取得极小值f（0），且f（0）=0，函数f（x）在x=2处取得极大值，且f（2）=；综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.19.已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N，均满足．（1）计算a1，a2，a3的值；（2）试根据（1）的计算，利用合情推理归纳出{an}的通项公式．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）直接将代入即可得结果；（2）通过，，的值即可得结果.【小问1详解】因为对任意n∈N，an＞0，当n=1时，，解得； 当n=2时，，解得；当n=3时，，解得．【小问2详解】根据（1）所计算出a1，a2，a3的值，利用合情推理可归纳出{an}的通项公式为．20.为打造“四态融合､产村一体”望山､见水､忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了景区农家乐在2012—2018年中任选5年接待游客人数(单位：万人)的数据如表：年份20122013201520172018年份代号23578接待游客人数33.546.58（1）根据数据说明变量，是正相关还是负相关；（2）求相关系数的值，并说明年份与接待游客数相关性的强与弱；（3）分析2012年至2018年该景区农家乐接待游客人数的变化情况，利用最小二乘法求该景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测该景区农家乐2020年接待游客人数约为多少万人(精确到小数点后2位数).附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，，一般地，当的绝对值大于0.75时认为两个变量之间有很强的线性关系.【答案】（1）与之间是正相关；（2），年份与接待游客量相关性很强；（3）回归直线方程为，预测2020年该景区农家乐接待游客人数约为9.04万人.【解析】 【分析】（1）先算，，再计算，看其正负即可；（2）代入公式计算即可；（3）代入，，求出，即可得到回归方程，再代入数据即可预测.【详解】（1）由表中数据可得，，则，由于变量的值随的值增加而增加()，故与之间是正相关.（2），故年份与接待游客量相关性很强.（3）∵，∴景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程为，当时，，∴预测2020年该景区农家乐接待游客人数约为9.04万人.【点睛】回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈 线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．另外根据回归方程进行预测，仅是一个预测值，而不是真实发生的值．21.某人事部门对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制的频率分布直方图如图所示．规定80分以上者晋级成功，否则晋级失败(满分为100分)．(1)求图中的值；(2)估计该次考试的平均分(同一组中的数据用该组的区间中点值代表)；(3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．晋级成功晋级失败合计男16女50合计参考公式：，其中0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.024【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ）分；(Ⅲ)见解析.【解析】 【分析】（1）由频率和为1，列方程求出a的值；（2）利用直方图中各小组中点乘以对应的频率，求和得平均分；（3）根据题意填写，计算观测值K2，对照临界值得出结论．【详解】(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故.(2)由频率分布直方图知各小组依次是，其中点分别为对应的频率分别为，故可估计平均分（分）(3)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，故晋级成功的人数为（人），故填表如下晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题;条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.22.设函数f（x）=ex－ax－3，a∈R，其导函数为．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，，求k的最大值．【答案】（1）答案见解析 （2）2【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求出对应的单调区间；（2）参变分离得到在x＞0上恒成立，构造函数，求导得到其最小值的取值范围，从而求出k的最大值.【小问1详解】f（x）的定义域为R，．当时，则，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，则，解得：x=lna．当x变化时，，f（x）变化如下表：xlna－0+f（x）单调减极小值单调增综上，当时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）单调减区间是（－∞，lna），增区间是（lna，+∞）．【小问2详解】由于a=1，∴．故当x＞0时，等价于①，令，则．由（1）知，函数在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，∴h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点，故在（0，+∞）存在唯一的零点．设此零点为m，则．当时，＜0；当时，＞0， ∴g（x）在（0，+∞）的最小值为g（m）．又由，可得：，∴．由于①式等价于，故整数k的最大值为2．【点睛】对于求解参数的取值范围问题，参变分离是一种很重要的方法，适合于容易参变分离且分离后的函数容易求导，容易研究其单调性等性质.