四川省成都市嘉祥教育集团2021-2022学年高二数学（理）下学期期中质量监测试题（Word版附解析）

2021-2022学年度高二下学期质量监测试题数学（理科）命题人：张路燕审题人：外聘专家一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数的虚部为（）A.－2B.1C.iD.2i【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法法则进行化简，得到，求出虚部.【详解】,所以的虚部为1.故选：B2.已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称特点求解作答.【详解】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.故选：D3.在极坐标系中，已知两点A（2，），B（3，），则线段AB的长为（）A.19B.C.7D.【答案】B【解析】【分析】根据极坐标与直角坐标的转换：，可得A、B两点坐标． 【详解】根据题意可得：在直角坐标中，∴故选：B．4.若在R上可导，则=（）A.16B.54C.－25D.－16【答案】D【解析】【分析】先求导函数，即可求出，再根据导函数即可求解.【详解】解：，则，解得：，，故选:D.5.函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象，确定导函数的正负，进而求出的解集.【详解】由函数图象与导函数大小的关系可知：当时，，当时，， 故当时，；当时，；当时，，故的解集为.故选：A6.函数的一个增区间是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求导后，分别判断每个选项中导函数的正负，由此可确定单调性，进而得到结论.【详解】.对于A，当时，，则，在上单调递增，A正确；对于B，当时，，，在上单调递减，B错误；对于C，当时，，，在上单调递减，C错误；对于D，当时，，，在上单调递减，D错误.故选：A.7.函数，当x=m时函数取得极大值n，则m+n的值为（）A.－2B.2C.0D.1【答案】C【解析】【分析】利用导数探讨函数的极值点、求出极大值即可计算作答. 【详解】函数的定义域为，求导得，由得，当时，，当时，，因此，函数在处取得极大值，所以，则.故选：C8.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用欧拉公式，化简的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．【详解】因为欧拉公式为虚数单位），所以，因为，，，，所以表示复数在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查欧拉公式的应用，三角函数的符号的判断，考查是基本知识，属于基础题．9.用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可．【详解】从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是，故选：C 10.直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（）A.B.1C.D.2【答案】B【解析】【分析】设，，，，得到，用导数法求解.详解】解：设，，，，则，，，令，则，函数上单调递减，在上单调递增，时，函数的最小值为1，故选：B11.已知，且，，，则（）A.c＜b＜aB.b＜c＜aC.a＜c＜bD.a＜b＜c【答案】D【解析】【分析】变形给定的各个等式，构造函数，借助函数的单调性比较大小作答.【详解】依题意，，，，令，求导得：，当时，，当时，，因此，函数在上单调递增，在上单调递减，显然，，则，又，于是得，又，所以.故选：D12.在棱长为1的正方体A1B1C1D1－ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且，l∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题： ①CN与QM共面；②三棱锥A－DMN的体积跟l的取值无关；③当时，AM⊥QM；④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为．其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④【答案】B【解析】【分析】对于①可得，可判断；对于②N到平面ABCD的距离为定值，且的面积为定值可判断；③分别求出的长，验证是否满足勾股定理，从而判断;对于④先将过A，Q，M的截面分析做出，再求周长可判断.【详解】解：在中，因为M，N为AC，AQ的中点，所以，所以CN与QM共面，所以①正确；由，因为N到平面ABCD的距离为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以②正确；当时，,可得，，取的中点分别为，连接,则在直角三角形中,则，所以不成立，所以③不正确．当时，取,连接,则,又所以所以共面,即过A，Q，M三点的正方体的截面为ACHQ，由,则ACHQ等腰梯形,且所以平面截正方体所得截面的周长为，所以④正确；所以正确的命题是①②④，故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.把直角坐标方程化为极坐标方程为______．【答案】【解析】【分析】变形给定方程，利用极坐标与直角坐标互化公式，化简作答.【详解】方程，即，把代入得：，则，所以所求极坐标方程为.故答案为：14.已知曲线C的参数方程为则曲线C的直角坐标方程为______．【答案】，【解析】【分析】由三角恒等变换消元可得．利用两角差的正弦公式及正弦函数性质得的范围．【详解】，又，所以曲线方程为：． 故答案为：．15.如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．【答案】【解析】【分析】利用空间直角坐标系可知，平面A′C′D内的P满足，PM=PD的P满足，则可得，P是△A′C′D内（包括边界），则，点P的轨迹线段．【详解】如图建立空间直角坐标系，则设平面的法向量则有，令，则则设，则∵，则又∵PM=PD，则整理得： 联立方程，则可得，可得当时，，当时，在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D，则故答案为：．16.若函只有一个极值点，则k的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】求出导函数，只有一个变号零点，然后对分类讨论，不是根，采取分离变量法分离参数，引入新函数，由导数确定函数的单调性、极值，由函数图象交点个数分类得结论． 【详解】只有一个极值点只有一个变号零点．，易知，，首先必有一个解，时，由，显然不是方程的解，因此，令，，或时，，时，，在和上都递减，在上递增，时，，（即从原点有右侧逼近，，（即从原点有左侧逼近，，大致图象如图所示：时，的图象与直线都有一个交点，与仅有零点矛盾，舍去，当时，，时，，递减，时，递增，只有一个极值点，时，与直线无交点，因此函数只有一个零点，时，，有两个解和，时，，时，，时，，不是函数的极值点，只有一个极值点． 时，的图象与直线有两个交点，方程有两个解，有一个解，要使得仅有一个极值点，则必为的重根，所以，综上，的范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17.已知函数．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；【答案】（1）1（2）的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.【解析】【分析】（1）求导，求出即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值.【小问1详解】因为，所以，因此曲线y=f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；【小问2详解】令，解得：x=0或2．x02－0+0－↘极小值↗极大值↘所以f（x）在，内是减函数，在内是增函数．因此函数f（x）在x=0处取得极小值f（0），且f（0）=0，函数f（x）在x=2处取得极大值，且f（2）= ；综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.18.已知数列各项均为正数，满足．（1）求，，的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】（1），，；（2）猜想：；证明见解析.【解析】【分析】（1）分别代入，根据，解方程可求得结果；（2）猜想，验证时成立；假设时成立，则时，利用假设可证得结论成立，从而证得结果.【详解】（1）当时，，又当时，，解得：当时，，解得：(2)猜想：证明：（1）当时，由（1）可知结论成立；（2）假设当时，结论成立，即成立，则当时，由与得：又成立 根据（1）、（2）猜想成立，即：【点睛】本题考查数列中的项的求解、利用数学归纳法证明问题.利用数学归纳法证明时，要注意在证明时结论成立时，必须要用到时假设成立的结论，属于常规题型.19.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）已知点，直线和曲线相交于、两点，求的值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）消去参数得普通方程，利用公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线方程化为标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，利用参数几何意义计算．【小问1详解】由得利用，得，即为的普通方程，由，得，即，即，直线的直角坐标方程为；【小问2详解】 点在直线上，可得其参数方程为（为参数），把代入得，，所以，，不同号．．20.设函数f（x）=ex－ax－3，a∈R，其导函数为．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，，求k的最大值．【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求出对应的单调区间；（2）参变分离得到在x＞0上恒成立，构造函数，求导得到其最小值的取值范围，从而求出k的最大值.【小问1详解】f（x）的定义域为R，．当时，则，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，则，解得：x=lna．当x变化时，，f（x）变化如下表：xlna－0+f（x）单调减极小值单调增 综上，当时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）的单调减区间是（－∞，lna），增区间是（lna，+∞）．【小问2详解】由于a=1，∴．故当x＞0时，等价于①，令，则．由（1）知，函数在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，∴h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点，故在（0，+∞）存在唯一的零点．设此零点为m，则．当时，＜0；当时，＞0，∴g（x）在（0，+∞）的最小值为g（m）．又由，可得：，∴．由于①式等价于，故整数k的最大值为2．【点睛】对于求解参数的取值范围问题，参变分离是一种很重要的方法，适合于容易参变分离且分离后的函数容易求导，容易研究其单调性等性质.21.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，CF=2．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面BCF所成锐二面角的平面角为q，满足？若不存在，请说明理由；若存在，求出FM的长度． 【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】(1)分析图中的几何关系，求出AB，即可证明；(2)建立空间坐标系，用空间向量求二面角.【小问1详解】依题意做ABCD的平面图如下：在底面四边形ABCD中，过点D作交AB于G，则四边形BCDG为平行四边形（实质上是一个内角为60°的菱形），△ADG为等边三角形，∴，在△ABC中，，∴，于是有，，又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AC，平面ABCD，∴ACFE；【小问2详解】如上图所示，建立空间直角坐标系，则，，，设，于是，，设平面ABM的法向量，则即，于是，取，取平面BCF的法向量， 由，及，解得，因此在线段EF上存在点，使得平面MAB与平面BCF所成锐二面角的平面角为，且满足，；综上，存在M点，使得，.22.已知函数，其中.（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）若，证明对任意，恒成立.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导后可判断在区间为单调递增函数，从而可求出其最大值，（2）对函数求导，可判断出在内是减函数，不妨设，则，等价于，令，所以只要判断在内是减函数即可【小问1详解】当时，则函数，其定义域为则在上恒成立，所以在区间为单调递增函数，所以当时有最大值为：；【小问2详解】 由函数，则，令，，，又，，当时，，所以在内是减函数，因为，不妨设，则.于是，等价于，即，令，因在内是减函数，故，从而在内是减函数，∴对任意，有，即，∴当时，对任意，恒成立.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数判断函数的单调性，第（2）问解题的关键是由导数可得在内是减函数，不妨设，从而将问题转化为成立，构造函数，只要能说明此函数在内是减函数即可得结论，考查数学转化思想，属于较难题