四川省雅安中学2022-2023学年高二数学（文）下学期期中试题（Word版附解析）

高二第二次月考数学试卷（文科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.已知命题，则为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.【详解】含有量词的命题的否定步骤为：替换量词，否定结论.所以为.故选:C2.用反证法证明命题“设，，为实数，若是无理数，则，，至少有一个是无理数”时，假设正确的是（）A.假设，，不都是无理数B.假设，，至少有一个是有理数C.假设，，都是有理数D.假设，，至少有一个不是无理数【答案】C【解析】【分析】反证法中“，，至少有一个是无理数”的假设为“假设，，都不是无理数”，对照选项即可得到答案.【详解】依题意，反证法中“，，至少有一个是无理数”的假设为“假设，，都不是无理数”,即“假设，，都是有理数”.故选：C.3.已知函数的导函数则的极值点的个数为（） A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】求出的根，确定变号根的个数即可得．【详解】由得，，，或时，，不是极值点，或时，，时，，因此都极值点．极点点有2个．故选：C．4.极坐标的直角坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直角坐标与极坐标转化的规则计算.【详解】设点A的直角坐标为，极坐标为，则有，，并且点在第三象限，解得；故选：C.5.若复数满足，则（）A.2B.C.3D.5【答案】D【解析】【分析】利用复数除法法则和复数的模长公式计算即可.【详解】，.故选：D. 6.将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可得，代入曲线整理即可得出答案.【详解】由可得，代入曲线中，得，即，故选：A.7.关于线性回归描述，下列命题错误的是（）A.回归直线一定经过样本点的中心B.残差平方和越小，拟合效果越好C.决定系数越接近1，拟合效果越好D.残差平方和越小，决定系数越小【答案】D【解析】【分析】根据线性回归的性质判断即可【详解】对A，回归直线一定经过样本点的中心正确；对B，残差平方和越小，拟合效果越好正确；对C，决定系数越接近1，拟合效果越好正确；对D，残差平方和越小，拟合效果越好，决定系数越接近1，故D错误；故选：D8.已知曲线在点处的切线方程为,则（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果.【详解】根据导数的运算公式,当时,,,即.满足方程,即,.故选:A.9.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.【详解】A：，即在定义域上递增，不符合；B：，在上，在上，在上，所以在、上递减，上递增，符合； C：由且定义域为，为偶函数，所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；D：由且定义域为R，为奇函数，研究上性质：，故在递增，所以在R上递增，不符合；故选：B10.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】AB选项一组，CD选项一组，分别构造函数，利用函数的单调性进行比较即可【详解】对于AB选项:；构造函数，A项可变成；B项可变为求导得，令即所以，函数单调递减；，函数单调递增，因为，且，所以无法判断的大小关系，故AB错误对于CD选项：;构造函数，C项变为；D项变为求导得，令即所以，单调递增；，单调递减；因为，根据单调性可得，即 故选：C11.函数恰有两个零点，则实数k的范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】注意到，，结合函数单调性，可知当时函数恰有两个零点.【详解】.当时，，则在R上单调递增，不合题意；当时，令，则，则在上单调递减，在上单调递增.又注意到，则当函数恰有两个零点时，，则.故选：C12.已知函数，若函数（a为常数）有三个零点，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分段函数，利用导数研究函数单调性，逐段分析函数单调性及极值、端点值；原题意等价于与有三个交点，结合的图象分析，即可求解. 【详解】当时，则，可得，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，且时,函数值为正，故；当时，则，则在上单调递增，在上单调递减，故；综上所述：的图象如下图所示：令，则，原题意等价于与有三个交点，由图象可得：实数a的取值范围为.故选：B.二、填空题13.下列三句话：①陈某打人；②陈某犯法；③打人犯法.若按照演绎推理的“三段论”排列，属于小前提的是___________.（填序号）【答案】①【解析】【分析】按照“三段论”排列即可得到小前提；【详解】解：该演绎推理按照“三段论”排列，大前提是“打人犯法”，小前提是“陈某打人”，结论是“陈某犯法”.故答案为：①. 14.已知函数，则在处的切线方程是__________．【答案】【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程点斜式得到答案.【详解】由，得，，又，在处的切线方程为，即.故答案为：.15.在研究两个变量的线性相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条曲线的周围，令，求得回归直线方程，则该模型的回归方程为______________【答案】【解析】【分析】由回归直线方程可得：，解出，问题得解．【详解】由回归直线方程得：，整理得：，所以该模型的回归方程为【点睛】本题主要考查了方程思想及计算能力，属于基础题．16.在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值_________________【答案】【解析】 【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设，，,即，化简整理可得，复数的对应点的轨迹，对应的点为点，点与点之间距离的最小值为，故答案：三、解答题17.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为， （2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则.A家公司长途客车准点的概率为；B家公司长途客车准点的概率为.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500=，根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 18.设集合，，.（1）若，求和；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求出集合、，再根据集合的交、并、补运算即可求解；（2）由充分不必要条件知，再求出的取值范围即可.【小问1详解】，则或，当时，，所以，.【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围为.19.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈(0,π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.【答案】（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0；（2）.【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的关系，即可写出圆O和直线l的直角坐标方程； （2）联立圆O和直线l方程求交点，将其转化为极坐标即可.【详解】（1）圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，∴圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：，即ρsinθ－ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.（2）由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.20.已知函数在处取得极值2.（1）求a，b的值：（2）求函数在上的最值.【答案】（1）的值为，的值为2；（2）最小值为2，最大值为.【解析】【分析】（1）利用极值的定义列方程求解；（2）利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.【小问1详解】，，在处取得极值2，且，即，解得，此时，由，可得，在上单调递减， 由，可得，在上单调递增，所以在处取得极值，符合题意，所以的值为，的值为2；【小问2详解】由（1）有，，由，可得，在上单调递减，由，可得，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极小值，即为最小值，，，，，在处取得最大值，综上所述，在上的最小值为2，最大值为.21.已知圆：经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，直线：与椭圆交于两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数．（1）求椭圆的标准方程；（2）求的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据题意找出，，利用即可； （2）设，，联立直线与椭圆方程消元，写出韦达定理，然后表示出直线与直线的斜率、，由题意得，将条件代入化简即可.【小问1详解】由题意知：椭圆的焦点在轴上，圆：与轴交点为，即为椭圆的焦点，圆：与轴交点为，即为椭圆的上下顶点，∴，，∴，∴椭圆的标准方程为：．【小问2详解】设，，由，得，则，，又，∴直线的斜率，直线的斜率，∴，解得，故所求的值为1．22.已知函数． （1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）当时，求函数的极值点；（3）若函数有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）极小值点为，极大值点为（3）【解析】【分析】（1）对函数求导，结合导数的几何意义求解；（2）对函数求导，然后结合导数的正负及极值点的定义求解；（3）由，采用参变分离等价转化，“函数有两个零点”等价于“直线与曲线有两个交点”，然后结合函数的图象与性质求解．【小问1详解】当a＝2时，函数，，则，∴，又∵，∴的图象在处的切线方程为，即．【小问2详解】，，当a＜－4时，由可得，且，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则函数在处取得极小值，在处取得极大值， 故函数的极小值点为，极大值点为．【小问3详解】，，由，得，所以“函数有两个零点”等价于“直线与曲线有两个交点”，对函数求导，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故时，函数取得极小值，又；当时，，根据以上信息作出函数的大致图象，如图，所以当时，直线与曲线有两个交点．所以当时，函数有两个零点．