四川省成都市嘉祥教育集团2022-2023学年高二数学（理）下学期期中监测试题（Word版附解析）

嘉祥教育集团2022－2023学年度高二下学期半期监测试题理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.【详解】改量词：改为，否结论：否定为，所以，的否定形式为：，.故选：A.2.已知复数，则的虚部为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求其共轭复数，即可求解.【详解】，故，故的虚部为，故选：C3.函数的单调递增区间为（）A.()B.(1，+)C.(1，1)D.(0，1)【答案】D【解析】【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【详解】∵函数，，∴，由，，解得，即函数的单调递增区间为.故选：D.4.用数学归纳法证明“≥(N*）”时，由到时，不等试左边应添加的项是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据数学归纳法的证明过程求解.【详解】数学归纳法的证明过程如下：当时，左边，原不等式成立；设当时，原不等式成立，即…①成立，则当时，左边，即要证明左边也成立，即证，由①知即证；故选：D.5.已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（）A.B.C.D.【答案】B第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为四个选项中，只有，，所以平面，交线的方向向量可以是故选：B6.设，“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：当时，为纯虚数，故充分；当复数为纯虚数时，，解得或，故不必要，故选：A7.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（　　）①（）是三角函数：②三角函数是周期函数；③（）是周期函数A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①【答案】B【解析】【分析】按照三段论的形式：大前提，小前提，结论的形式排序即可.【详解】解：三段论：大前提，小前提，结论，所以排序为：②三角函数是周期函数；①（）是三角函数；③（）是周期函数.故选：B.8.函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（）第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 A.是的零点B.是的极大值点C.在区间上单调递增D.在区间上不存在极小值【答案】B【解析】【分析】由函数图像判断的符号，进而判断的单调性和极值情况，即可得答案.【详解】当时，，而，故；当时，，而，故；当时，，而，故；所以上递减；上递增，则、分别是的极小值点、极大值点.故A、C、D错误，B正确.故选：B9.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；故选A．考点：导数及其性质.10.设双曲线（）的半焦距为c，直线l过两点，且原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率（）A.2B.C.2和D.2和【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用直角三角形面积公式列式，结合双曲线离心率定义求解作答.【详解】令，依题意，在中，，且，如图，显然，由，得，整理得，而，解得，所以双曲线的离心率.故选：A11.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3+y3－3axy=0.某同学对a=1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（）A.曲线不经过第三象限B.曲线关于直线y=x对称C.曲线与直线x+y=－1有公共点D.曲线与直线x+y=－1没有公共点【答案】C【解析】【分析】对于A：当时，判断是否可能成立即可；对于B：将点代入方程，判断与原方程是否相同即可；对于C、D：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.【详解】当，则方程为对于A：若，则，所以，即曲线不经过第三象限，故A正确；对于B：将点代入方程得，所以曲线关于直线y=x对称，故B正确；对于C、D：联立方程，由可得，将代入方程可得，所以方程组无解，即曲线与直线x+y=－1没有公共点，故C错误，D正确；故选：C.12.芯片制作的原料是晶圆，晶圆是硅元素加以纯化，晶圆越薄，生产的成本越低，但对工艺要求就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立个科研小组，用、、三种不同的工艺制作芯片原料，其厚度分别为，，（单位：毫米），则三种芯片原料厚度的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】构造函数，利用函数在上的单调性可得出、的关系，利用余弦函数的单调性可得出与的大小关系，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出与的大小关系，综合可得出、、的大小关系.【详解】令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，则当时，，即，所以，函数在上为减函数，因为，则，所以，，即，即，因为在上单调递减，且，所以，，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，则，即，所以，，则，综上所述，故选：A.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.若方程的图形是双曲线，则实数m的取值范围是__________.【答案】第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据双曲线方程的特点求解.【详解】由于是双曲线方程，；故答案为：14.在平面上，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得：在空间中，点到平面的距离为______.【答案】【解析】【分析】通过类比推理可知,空间中点到平面的距离为,进而代入求解即可.【详解】通过类比推理可知,空间中点到平面的距离为,所以点到平面的距离为,故答案为:【点睛】本题考查类比推理,考查运算能力.15.如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是__________.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ①线段的最大值是②③与一定异面④三棱锥的体积为定值【答案】①④【解析】【分析】过点作出与平面平行的平面，找出其与面的交线，从而确定点在线段上.选项①中线段的最大值可直接得到为；选项②通过建系求向量数量积来说明与平面不垂直，从而不一定成立；选项③通过构造平面来确定位置关系；选项④通过证明平面，来说明三棱锥即的体积为定值.【详解】如图，延长至，使得，则有取的中点，连接，则有，连接并延长交于点，则点为的中点.因为，平面，平面所以平面.同理可得平面.又，在平面内，且相交于点，所以平面平面.故点在线段上.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 由图知，，故选项①正确；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，.，，.因为，所以与不垂直，而点在线段上，所以条件不一定成立，故选项②错误；如图，连接，，，则有，且，故四边形为梯形，与为相交直线，故选项③错误；因为点，分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.故线段上的点到平面的距离都相等.又点在线段上，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项④正确.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：①④.【点睛】立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑：(1)先作辅助线，找出动点所在的线段或轨迹.(2)判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹，利用线线、线面、面面位置关系求解，或线线、线面、面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.16.已知，，若不等式对恒成立，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】易得，分和两种情况讨论，当时，由恒成立，得，利用导数求出函数的最小值，分析即可得出答案.【详解】解：显然，若，当时，有，而，矛盾，∴，令，则恒成立，即，，因为与在都是增函数，所以函数在是增函数，又，当时，，所以存在使得，在上，，单调递减，在上，，单调递增，且，，∴，，∴，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 当且仅当，即时取等号，所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立的问题，考查了利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论思想及隐零点问题，有一定的难度.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17.设F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若线段AB的中点D的横坐标为1，.求点D到抛物线C的准线的距离和抛物线C的方程.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义结合几何性质可得点D到抛物线C的准线的距离.解法一：根据抛物线的定义分析求解p=1；解法二：利用弦长公式结合韦达定理分析运算.【详解】由题意可得抛物线C的焦点，准线，过A、B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为E、H，则根据抛物线的定义，有AF=AE，BF=BH，所以AE+BH=AF+BF=AB=3.因此在直角梯形ABHE中，点D到抛物线C的准线的距离.解法一：设，根据抛物线的定义有，，∴，而x1+x2=2，∴p=1，故抛物线C方程y2=2x.解法二：显然直线l的斜率k存在且不为0，设方程为，，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 联立方程，消去y整理得，∴，，于是，代入整理得，①注意到，②所以由①②解得，因此抛物线C的方程为y2=2x.18已知函数.（1）当，求证；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，之后对函数求导，得到其单调性，从而求得其最小值为，从而证得结果.（2）通过时，时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解的取值范围，也可以构造新函数，结合函数图象的走向得到结果.【详解】（1）证明：当时，，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 得，知在递减，在递增，，综上知，当时，.（2）法1：，，即，令，则，知在递增，在递减，注意到，当时，；当时，，且，由函数有个零点，即直线与函数图像有两个交点，得法2：由得，，当时，，知在上递减，不满足题意；当时，，知在递减，在递增.，的零点个数为，即，综上，若函数有两个零点，则.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，应用导数研究函数的最值，以及研究其零点个数的问题，属于中档题目.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 19.已知函数.（1）当时，求在点处的切线方程；（2） 时，求证：.【答案】（1）y=2x－2ln2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将代入的解析式，求出和，再运用点斜式直线方程求解；（2）运用导数求出的最小值，只要证明最小值即可.【小问1详解】当a=1时，，x＞0，则，，而，所以在点处的切线方程为，即；【小问2详解】对求导得，x＞0，当a＞0时，令得，当时，f（x）单调递减；当时，f（x）单调递增，所以，只需证明≥，即≥0恒成立；设，，则，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以是的最小值，故，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 表明≥0（a＞0）恒成立，故.20.已知四棱锥中，.（1）求证：平面平面；（2）若，线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；（2）以A为坐标原点，分别为轴，建立如图所示坐标系，设线段上存在一点，即满足条件，利用向量法对二面角的余弦值列式求解即可判断.【小问1详解】由已知可知，，所以因为，所以，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】因为，所以，所以，故两两垂直，所以以A为坐标原点，分别为轴，建立如图所示坐标系，则：，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 设线段上存在一点，即，使二面角的余弦值为，因为，则，所以，所以，因为平面，所以平面的法向量为方向的单位向量，设平面的法向量，则，令，得，因为二面角的平面角为锐角，所以，解得舍去故线段上存在一点使二面角的余弦值为，此时.21.设函数，，其中、.（1）求的单调区间；（2）若存在极值点，且，其中，求的值.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求出，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）由极值点的定义可得出，再由以及结合作差法可第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 求得的值.【小问1详解】解：因为函数，，其中、，则，则.①当时，对任意的，且不恒为零，此时，函数的递增区间为；②当时，，由可得，由可得或，此时函数的增区间为、，减区间为.综上所述，当时，函数的递增区间为；当时，函数的增区间为、，减区间为.小问2详解】解：因为函数存在极值点，由（1）可知，且，由题意可得，可得，由且，可得，即，即，所以，.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 22.如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.（1）若，轴，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的离心率为，，求直线PA的倾斜角q的正弦.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先得，将点代入椭圆方程，结合关系即可得到答案；（2）设点P的坐标为，写出相关向量，利用其数量积为0得到，结合点在椭圆上以及椭圆第二定义即可求出直线倾斜角的正弦值.【小问1详解】由已知可得，所以.又点在椭圆C：上，所以.联立，解得，，因此椭圆C的方程为.【小问2详解】解法一：由题意知，，，.设点P的坐标为，，则，，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，则△PAF是直角三角形，于是，∴.①∵P是椭圆C上在第一象限内的点，∵，即.②将①代入②得，即，∴，由于，∴只有，得.∵，，∴.③根据椭圆的定义，有，而，∴中，有.④将③代入④得.解法二：由题意知，，，，则直线PA的方程为，.（*）将直线PA的方程与椭圆方程联立，消去y后，得.（**）因为点和的坐标满足方程（*）和（**），第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 所以，有，即，.若，则，表明△PAF是直角三角形，从而有，∴，∴.将、代入上式，得++.去分母，整理，得，将代入，得ÛÛ，于是.解法三：过P作轴于Q，设，则有.∵，∴，得，.由，得，∴a+x0=（a+c）cos2qÞx0=（a+c）cos2q－a.根据椭圆的定义有，，而，∴，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 即，∴由，得代入上式，整理得，显然，所以，得.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法或是设线法，方法一和方法三采用的设点法，均利用了椭圆的第二定义，而方法二采用的设线法，通过设直线的方程，将其与椭圆联立，解出坐标，再利用向量点乘为0，即垂直关系解出.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司