四川省 2022-2023学年高二数学（理）下学期期中试题（Word版附解析）

2022～2023学年度下期高2024届半期考试数学试卷（理科）考试时长：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知复数，为纯虚数，则实数m的值为（）A.B.1C.0D.1或【答案】B【解析】【分析】根据纯虚数的定义求解.【详解】解：因为复数，为纯虚数，所以，解得，故选：B2.在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设点是所求直线上的任意一点，．利用直角三角形的边角关系可得，即可得出．【详解】如图所示，设是所求直线上的任意一点，，，则，．故选：C．3.利用分析法证明不等式成立，只需证明成立即可，则“成立”是“成立”的 （）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】利用分析法证明不等式成立，只需证明成立即可，则，则“成立”是“成立”的充分条件.故选：A.4.已知是圆上一点，则直线与圆相切，且为切点，类似的，点是椭圆上一点，则以为切点，与椭圆相切的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用换元法，设将椭圆转化为圆，先求出过圆上一点圆的切线方程，再转化回椭圆的切线方程.【详解】对于椭圆，设，则椭圆方程变为圆，椭圆上的点的坐标变为，且，因为过圆上点的切线方程为， 所以可得，即过椭圆上点的切线方程为.故选：D5.已知复数（x，）对应的点在第一象限，z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长，若，则双曲线C的焦距为（）A.8B.4C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义和复数模的定义即可求得双曲线C的焦距.【详解】复数（x，）对应的点在第一象限，则，又z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长，，则双曲线C的焦距为故选：B6.函数的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案. 【详解】函数中，，当时,,看图像知B选项错误；函数中，，当时,,看图像知D选项错误；解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，.D选项正确.故选：A.7.将圆经过坐标变换后得到的曲线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先将反解为，再代入，最后得到新曲线的方程即可.【详解】因为，所以，代入，所以得到的新曲线的方程为：.故选：C8.已知函数区间上单调递增，则实数的范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据在上单调递增，有恒成立，参变分离求在区间上最大值， 进而求出的范围.【详解】解：因为函数的导函数为，并且在上单调递增，所以在上恒成立，即，则，即恒成立，，因为在上最大值为，所以.故选：.9.已知，，，则下列不等关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，即可判断大小关系.【详解】由，可得.则，故；，故.综上，.故选：B.10.已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（）A.B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】先利用题给条件列方程组求得的坐标，再利用椭圆定义即可求得椭圆C的长轴长.【详解】椭圆的左右焦点分别为，， 抛物线与椭圆C有相同的焦点，则，，设直线方程为，由，可得①，则，解之得或（舍），由①可得可得，则，则，，则椭圆C的长轴长为.故选：B.11.关于函数的零点，下列说法正确的是（）A.函数有两个零点，，且B.函数有两个零点，，且C.函数有三个零点，，，且D.函数有三个零点，，，且【答案】C【解析】【分析】求出，利用的单调性可得的大致图象，结合图象可得答案.【详解】函数，由可得或，由可得，所以在，上单调递增，在单调递减，且， ，，，可得的大致图象如下，，所以函数有三个零点，且，故AB错误；故只需验证即可，可得，所以，故C正确，D错误.故选：C.12.已知实数a，b满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据均值不等式可得，进而根据立方和公式化简，构造函数，利用导数求解单调性，进而可求值域.【详解】由得， 故，由于将和代入得，不妨设，则，由于当，故在单调递增，故，故，故选:A【点睛】方法点睛：处理多变量不等式或者函数最值问题的方法（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.二、填空题（每小题5分，共20分）13.复数的共轭复数为，则______.【答案】【解析】【分析】现根据复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解.【详解】，所以.故答案为：. 14.在极坐标系中，点，，则线段的长为______.【答案】【解析】【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段的长即可．【详解】由已知，，线段的长为．故答案为：．15.已知定义在R上函数的导函数为，，且，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】首先构造函数，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式.【详解】设函数，，所以单调递增，不等式，即，即，所以不等式的解集为.故答案为：16.已知函数，，有以下四个命题：①对，不等式恒成立；②是函数的极值点； ③函数的图象与x轴及围成的区域面积为；④.其中正确的命题有______.【答案】①③④【解析】【分析】，确定函数单调递增，计算最值得到①正确，函数单调递增，得到②错误，求积分得到③正确，根据①得到④正确，得到答案.【详解】对①：，即，设，则恒成立，函数单调递增，故，正确；对②：恒成立，函数单调递增，无极值点，错误；对③：，面积为，正确；对④：根据①知：在上恒成立，则，故，则，正确.故答案为：①③④三、解答题（共70分）17.已知曲线C的极坐标方程为，A，B是曲线C上不同的两点，且，其中O为极点.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求点B的极径.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C的直角坐标方程；（2）利用题给条件列方程组即可求得点B的极径.【小问1详解】 由，，得：，所以曲线C的直角坐标方程为；【小问2详解】设，则由题意可知，将A，B坐标代入方程得：，∴，得(负值舍去)，∴B的极径为.18.某企业生产的某种乳制品的蛋白质含量x（%）与生产成本y（元）之间的数据如下表：x00.691.391.792.402.562.94y19324044525354已知生产成本y与产品蛋白质含量x之间具有线性相关关系.（1）求生产成本y关于蛋白质含量x的回归方程；（2）根据（1）的结果，若公司准备将生产成本提高到60至70元，则判断生产的乳制品蛋白质含量的取值范围.（精确到小数点后两位）参考公式：.参考数据：，，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将和代入（1）中回归直线方程求解.【小问1详解】解：由题中数据可得， 设生产成本y关于蛋白质含量x的回归方程为，∵，∴，所以回归方程为，【小问2详解】当时，由（1）得.解得，当时，由（1）得.解得，所以生产的乳制品蛋白质含量的取值范围为.19.函数.（1）若是函数的极值点，求a的值，并判断是极大值点还是极小值点；（2）求函数的单调区间.【答案】（1），极小值点；（2）当时，函数在R上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.【解析】【分析】（1）利用，求得，再根据在两侧的正负，可确定是极大值点还是极小值点；（2）由题意可得，分、和三种情况讨论的正负，从而即可确定函数单调区间.【小问1详解】解：因， ∵是函数的极值点，∴，解得，当时，，∴在上递减，当时，，∴在上递增，∴是函数的极小值点；【小问2详解】解：∵，①当时，在R上恒成立，所以函数在R上单调递增，②当时，令，解得或，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，③当时，令，解得或，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，函数在R上单调递增，当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.20.在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为边长为2的正三角形，且平面平面ABCD，E为线段AD的中点，PE与平面ABCD所成角为45°.（1）求证：平面平面PBC； （2）求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量证明垂直的方式即可证明；（2）结合（1）的结论，利用空间向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】取AB中点O，连接PO、OE，由题知平面ABCD∴，∴又，∴，，如图建立空间坐标系，，，，，，，设平面PCE法向量为则，令，，所以，，，设平面PBC的法向量为， 则，令，，，可得，又所以平面平面PBC，【小问2详解】由（1）知，，平面的法向量，所以，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.21.已知过点的直线与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，过M作x轴的垂线与抛物线交于点N.（1）若抛物线在N点处切线的斜率等于2，求直线AB的方程；（2）设，求与面积之差的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设直线方程，联立抛物线，韦达定理求出中点横坐标，即可求出N点坐标，利用导数几何意义即可求出直线斜率，即可求解；（2）利用弦长公式求出弦长AB，利用距离公式及面积公式列出面积差的关系式，换元，构造函数，利用导数研究最值即可.【小问1详解】设直线AB方程为，，，联立，消y得，所以，，所以，所以，代入抛物线得，又函数的导函数为， 所以抛物线在N点处的切线的斜率为，所以所以直线AB方程为；【小问2详解】由（1）问可得，又点到直线AB距离为，点到直线AB的距离为，所以，令，所以，即函数，，则，令得令得，令得，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，所以，函数取到最大为，即时，与面积之差取得最大值.22.已知函数.（1）求函数的最小值； （2）证明不等式.【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值；（2）结合（1）的结论，得到当时，成立，用数学归纳法证明.【小问1详解】对函数求导可得，令函数，则，所以函数在区间上单调递增，又∵，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，∴，【小问2详解】由（1）问知，即，所以当时，成立，现用数学归纳法证明：当时，成立， 假设当时，不等式成立，则当时，，要证明，，，，令，则，∵，，，∵，∴，成立，∴成立，综上，对，均有不等式成立.【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.