四川省德阳市什邡中学2023-2024学年高二平实班上学期期中数学试题（Word版附解析）

四川省什邡中学高2022级平实班第三学期期中考试数学试题卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数的四则运算、共轭复数及复数的几何意义即可得解.【详解】由，得，则，故在复平面内对应的点为，在第一象限．故选：A．2.在△ABC中，，，，则（）A.2B.C.3D.【答案】C【解析】【分析】根据题意利用余弦定理直接求解即可.【详解】因为△ABC中，，，，所以由余弦定理知，，即，化简整理得，解得或（舍去）.故选：C3.已知点和点，则以线段为直径的圆的标准方程为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】求圆心与半径可得标准方程.【详解】因为点和点为直径端点，所以中点，即为圆心，由，则圆的半径，故圆的标准方程为.故选：C.4.国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩单位：环，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（）A.7B.8C.D.9【答案】C【解析】【分析】由百分位数的概念和计算公式可直接求解.【详解】将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因为，所以第70百分位数为，故选：.5.若，，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据两直线垂直得到a和b之间的关系：；再利用基本不等式即可求出ab的最大值.【详解】由直线与直线互相垂直， 所以，即.又，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以ab的最大值为．故选：C．6.过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题设条件可得四边形为矩形，设，，根据双曲线定义和△ABF的面积可得，故可求的值.【详解】如图，因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，所以AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以．设，，则，所以．因为，所以．因为△ABF的面积为，所以，得，所以，得，所以，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为．故选：D． 7.已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆的对称性，及，得四边形为矩形，设，利用椭圆的定义，及条件所给出的长度关系，可表示出，，，利用勾股定理，求出m，推断出点P的位置，求出离心率.【详解】如图，设左焦点为，连接，，，由题，，关于原点对称，所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形.设，则，又因为，则，，，在中，，即， 解得或（舍去），故点P为椭圆的上顶点.由，所以，即，所以离心率.故选：B.【点睛】解题时注意数形结合，抓住椭圆的对称性，将图形关系用含a，b，c的代数式表示出来，即可求解离心率.8.在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接，可证为三棱锥的外接球的球心，利用解直角三角形可求，据此可求球心到以为直径的截面的距离.【详解】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接.因三角形为直角三角形，故，同理，故，所以为三棱锥的外接球的球心，而，因为，平面，平面平面，平面平面，故平面，而平面，故.在直角三角形中，，故， 故，在直角三角形中，，故，故.设球心到以为直径的截面的距离为，则，故选：B.【点睛】思路点睛：三棱锥外接球的球心，可根据球心的定义来判断（即球心到各顶点的距离相等），而球面截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径可构成直角三角形.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.圆和圆的交点为，，则有（）A.公共弦所在直线方程为B.线段中垂线方程为C.公共弦的长为D.为圆上一动点，则到直线距离的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计算弦长判断C；求出圆到直线的距离的最大值判断D．【详解】圆的圆心，半径，的圆心，半径，显然，即圆与圆相交，对于A，将方程与相减， 得公共弦AB所在直线的方程为，即，A正确；对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为，而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确；对于C，点到直线距离为，因此，C错误；对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为，因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确．故选：ABD10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于对称C.函数在的值域为D.要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位【答案】ACD【解析】 【分析】先由图象信息求出表达式，从而即可判断A；注意到是的对称中心当且仅当，由此即可判断B；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即可判断C；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.【详解】如图所示：由图可知，又，所以，所以，又函数图象最高点为，所以，即，所以，解得，由题意，所以只能，故A选项正确；由A选项分析可知，而是的对称中心当且仅当，但，从而函数的图象不关于对称，故B选项错误；当时，，，而函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以函数在值域为，故C选项正确；若将函数的图象向左平移个单位，则得到的新的函数解析式为，故D选项正确.故选：ACD.11.如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的中点，，则（）A.平面B.平面平面C.三棱锥的体积为D.异面直线和所成的角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】A项，通过证明线线平行即可得出结论；B项，通过证明平面，即可得出结论；C项，通过等积法即可求出三棱锥的体积；D项，将异面直线和所成的角转化为同一个平面上两条直线的夹角，即可求出异面直线和所成的角的余弦值.【详解】由题意，在四棱锥中，连接交于点，连接，过点作于点， 在中，，点为中点，在中，为中点，∴∥,∴异面直线和所成的角即为（或其补角），∵面，平面，∴平面，A正确；在四棱锥中，平面，又，∴，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，B正确；在中，，，∴∥，，∴是等腰直角三角形，，∵平面，∴平面平面，∵平面平面，平面，∴平面.∵为的中点，∴三棱锥的体积为：，C错误； 在Rt中，，∴，在Rt中，，在Rt中，为的中点，∴，在Rt中，，D正确.故选：ABD.12.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（）A.C的渐近线方程为B.若直线与双曲线C有交点，则C.点P到C的两条渐近线的距离之积为D.当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2【答案】AC【解析】【分析】由双曲线渐近线方程可判断A，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B，结合点到直线的距离公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D可判断.【详解】双曲线，则，对于A，C的渐近线方程为，A正确；对于B，由双曲线的渐近线方程为可知，若直线与双曲线C有交点，则，B错误； 对于C，设点，则，点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确；对于D，易得，，设，则，所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误．故选：AC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则__________．【答案】##【解析】【分析】首先求的值，再用表示齐次分式，即可求解.【详解】，.故答案为：14.已知，，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是__________________【答案】【解析】【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出和的值，解不等式求出直线的斜率的取值范围．【详解】如图所示： 由题意得，所求直线的斜率满足或，即，或，或，故答案为：．15.已知命题：，使得，若是真命题，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】分离变量可得，结合能成立的思想和二次函数最值的求法可求得结果.【详解】由得：；，使得，；为开口方向向上，对称轴为的抛物线，当时，，的取值范围为.故答案为：.16.已知为单位向量，若，则的取值范围为__________.【答案】【解析】 【分析】由题设以为x、y轴构建平面直角坐标系，，令结合已知有，又，将问题转化为求点到上点距离的范围，即可得结果.【详解】由为单位向量，且，故，以为x、y轴构建平面直角坐标系，如下图示，则，令，则，又，所以，即，故的终点在圆心为，半径为1的圆上，而，故，所以，只需确定点到上点距离的范围即可，而到的距离为，故，则.故答案为：【点睛】关键点点睛：构建平面直角坐标系，将问题化为求定点到圆上点距离的范围，进而求目标式的范围.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量与的夹角为60°，＝1，．（1）求及；（2）求. 【答案】（1）2，1；（2）.【解析】【分析】（1）利用模长坐标公式求，再由数量积的定义求；（2）应用向量数量积的运算律求即可.【小问1详解】由题设，则【小问2详解】由，所以.18.夜幕降临，华灯初上，丰富多元的夜间经济，通过夜间商业和市场，更好满足了民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富了购物体验和休闲业态．打造夜间经济，也是打造城市品牌、促进产业融合、推动消费升级的新引擎．为不断创优夜间经济发展环境，近朋，某市商务局对某热门夜市开展“服务满意度大调查”，随机邀请了100名游客填写调查问卷，对夜市服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中为非常不满意，为不满意，为一般，为基本满意，为非常满意，为完美．（1）求的值及估计分位数：（2）调查人员为了解游客对夜市服务的具体意见，对评分不足60分的调查问卷抽取2份进行细致分析，求恰好为非常不满意和不满意各一份的概率．【答案】18.；分位数为.19. 【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，求出；判断出分位数所在区间，再设出分位数，列出方程即可求解；（2）列举出基本事件的所有样本点即所求事件样本点，按古典概型即可求解.【小问1详解】由，解得；由低于90分的频率为，则分位数在内，设样板数据的分位数约为分，则，解得,即分位数为.【小问2详解】非常不满意的游客有人，设编号为,不满意的游客有人，设编号为，则基本事件的总数有：工15种，事件“恰好为非常不满意和不满意各一份”有：工8种，故.19.已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，．（1）求实数的值；（2）当时，求过点并与圆相切的直线方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于的方程即可求解出结果；（2）分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解.【小问1详解】 因为圆的半径，，所以圆心到直线的距离，所以，所以，所以或.【小问2详解】因为，所以，当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到的距离为，所以与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以，所以，所以直线方程为，所以过点并与圆相切的直线方程为或.20.已知向量．（1）若，求的值；（2）记，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．且满足，求函数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合二倍角公式转化求解即可；（2）利用正弦定理，结合三角形的内角和通过的范围，转化求解函数值的范围即可．【详解】解：（1） 所以；（2），由正弦定理得，，．，．，，，．．又，． 故函数的取值范围是．21.如图，平面，.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）两种方法，一是通过题意，得到平面的法向量，然后结合，通过计算可得，从而得到平面；二是通过证明、，得到平面平面，进而推出平面；（2）通过建立空间直角坐标系，设出平面和平面的法向量，并结合题意条件，求解出的长，然后根据平面，求解出，即可.【小问1详解】依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，.设，则.（1）法一：证明：依题意，平面，，平面，，又，，平面，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面， 所以平面.法二：，平面，平面，平面.同理平面，，平面平面，又平面，所以平面.【小问2详解】设为平面的法向量，则即不妨令，可得.同理可得平面的一个法向量为由题意，有，解得..平面，为直线与平面所成角，.22.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于，，的方程即可求解；（2）设直线方程（有两种方法，一种设；另一种设），与椭圆方程联立，结合韦达定理及基本不等式即可求出面积的最大值.【小问1详解】因为，所以，则，所以的标准方程为，因为点在上，所以，解得，从而，.所以的标准方程为.【小问2详解】易知点在的外部，则直线的斜率存在且不为0，设，，，联立方程组消去得，由得，由根与系数的关系知所以， 化简得.设点到直线的距离为，则，所以的面积令，得，所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.因为满足，所以的最大值为.评分细则：第二问另解：（2）设，，，联立方程组，消去得.由得，由根与系数的关系知.所以，化简得.设点到直线的距离为，则，所以的面积. 令，得，所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.因为满足，所以的最大值为.