江苏省镇江地区2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

高一10月质量检测卷数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用存在量词命题的否定求解即可.【详解】命题：是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题：的否定是：.故选：D2.已知集合，，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式把集合用列举法表示出来，然后根据交集的定义即可求解.【详解】因为，所以，又，所以. 故选：B.3.若，则函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分离常数后求其值域即可.【详解】，因为，所以，所以，所以，所以函数值域为.故选：A.4.甲、乙分别解关于不等式.甲抄错了常数，得到解集为；乙抄错了常数，得到解集为.如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，则原不等式解集应为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据甲乙解不等式的信息求出，再求解不等式即得.【详解】依题意，由甲求得的解集得，由乙求得的解集得，解得，于是不等式，即，解得，所以原不等式解集应为.故选：A5.已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先讨论当时是否满足题意，其次当时，由题意可得 ，解不等式组即可.【详解】当时，不等式为即不等式无解，满足题意；当时，若不等式的解集为空集，即不等式恒成立，则当且仅当，解不等式组得；综上所述，实数的取值范围是.故选：C.6.设，则“”是“”成立的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解出不等式，根据必要不充分条件判定即可得到答案.【详解】，解得或，，解得或，显然或Ü或，则“”是“”的必要而不充分条件，故选：B.7.若实数满足：，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式性质求解即得.【详解】由，得，由，得，而 ，因此，所以的取值范围为.故选：B8.已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出当时，的取值范围为，所以若函数的值域是，则当时，，即恒成立。即可求出的取值范围.【详解】对称轴为，∴在单调递增，在，单调递减.∴当时，的取值范围为，若函数的值域是，则当时，，即恒成立，∴即.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可.【详解】对于A，函数的定义域均为R，且，A是；对于B，函数的定义域为，而的定义域为R，B不是；对于C，函数的定义域均为，而，C是；对于D，函数的定义域均为R，而当时，，当时，，因此，D是.故选：ACD10.命题“”为真命题的一个充分条件是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】求出给定命题为真命题时k的范围，再利用充分条件的定义判断即得.【详解】因为，则当时，恒成立，于是；当时，，解得，于是，所以命题“”为真命题时，k的取值范围是，显然，，，而真包含，ABD是，C不是.故选：ABD 11.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质，验证各选项的结论是否成立.【详解】时，若，则有，A选项错误；若，有，则，得，B选项正确；若，有，若，得，所以，C选项错误；若，则有，由，有，D选项正确.故选：BD12.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（）A.B.C.D.（其中且） 【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的函数图象，结合二次函数的性质用表示，再逐项判断得解.【详解】观察图象知，二次函数图象对称轴为，过点，由对称性得该图象还过点，于是，即，显然，因此，，，，C错误，AB正确；当时，，而，即，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】利用函数有意义，列式求解即得.【详解】函数有意义，则有，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：14.命题“”为假命题，则实数的范围为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，“”为真命题，进而求出的范围即可.【详解】命题“”为假命题，等价于命题“”为真命题，所以，所以，则，所以.故答案为：. 15.已知，集合，则图中阴影部分所表示的集合是__________.【答案】【解析】【分析】解出集合，根据集合交并补即可得到答案.【详解】，解得或，则或，，则或，则图中阴影部分所表示的集合是.故答案为：.16.关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的对称性可得出不等式的解集中的整数，再求出实数的取值范围即可.【详解】因为的对称轴为，开口向上，所以若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则分别为，则，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得集合，，再求结果即可；（2）由集合是集合的真子集，列出关系式，求解即可.【小问1详解】当时，，则或，又，故；【小问2详解】由题可得：集合是集合的真子集；显然，集合不为空集，故：且，解得且，即，故实数的取值范围为.18.已知函数.（1）若，求函数的值域；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）根据给定的分段函数，分段求出函数值集合即可.（2）分段解不等式即得.【小问1详解】当时，，当时，，则当时，，当时，，即，所以函数的值域为.【小问2详解】由，得或，解得或，所以的取值范围是.19.已知集合，集合.（1）若集合仅有唯一的元素，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，分类讨论求解.（2）利用集合的包含关系求解即可.【小问1详解】集合仅有唯一的元素，当时，，，符合题意，当时，，解得，此时，符合题意，所以实数的值是或.【小问2详解】由，得， 当时，，解得，此时，则；当时，，无解；当时，，无解；当时，，解得，所以实数的取值范围.20.某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是（单位：万元）和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式.今将4万元资金投入生产甲、乙两种产品，其中对甲种产品投资（单位：万元）.（1）试建立总利润（单位：万元）关于的函数关系式；（2）如何安排投入资金使得该企业所获利润最大？并求出获利润的最大值.【答案】（1）（2）甲产品投资2万元，乙投资2万元，此时利润最大，最大利润为2万元.【解析】【分析】（1）通过设出甲投资以及乙投资的数目，设立函数表达式，根据函数式直接写出定义域；（2）对于（1）中的函数解析式，利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题．【小问1详解】甲投资万元，则乙投资万元，则；【小问2详解】令，则，，当时，，此时的最大值为万元. 则甲产品投资万元，乙投资2万元，此时利润最大，最大利润为2万元.21.已知函数，其中.（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）当时，求不等式的解集.【答案】（1）或（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可以先求出的值，然后直接解一元二次不等式即可.（2）当时，不等式变为了，首先讨论当时的情形，然后再分别讨论时的情形，在讨论时，还要继续对进行分层讨论，由此即可得解.【小问1详解】由题意若不等式的解集为，则当且仅当，即，解得，此时不等式变为了，即，解得或，所以不等式的解集为或.【小问2详解】当时，不等式变为了，当时，不等式变为了，解不等式得，此时不等式的解集为；当时，分以下两种情形来讨论： 情形一：令，得，此时有，此时方程有两个不相等的实数根，而此时二次函数开口向上，又，所以当时，不等式的解集为.情形二：令，得，此时只需即可，此时方程有两个相等的实数根或者无解，而此时二次函数开口向上，即不等式恒成立，所以此时不等式无解，即此时不等式的解集为.当时，分以下两种情形来讨论：情形一：令，得，此时只需即可，此时方程有两个不相等的实数根，而此时二次函数开口向下，又，所以此时不等式的解集为.情形二：令，得，又，故产生矛盾,即此种情形不可能成立.综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是求出参数的值，至于第二问的关键是在对时的讨论中，还需对继续进行分层讨论.22.已知函数，其中.（1）若不等式对于一切实数均成立，求实数的取值范围；（2）当时，若函数的最大值为，求实数的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）将不等式化简为，再结合一元二次不等式在恒成立问题，可联系一元二次函数图象，即可解决.（2）讨论给定区间与对称轴的关系，找出在不同情况下的最大值，再与题干最大值为建立等式，解出符合题意的即可.【小问1详解】∵不等式对于一切实数均成立，∴即对于一切实数均成立，∴即，∴解得或，∴的取值范围为.【小问2详解】对称轴为，①当时，在单调递减， ∴，又∵当时，函数的最大值为，∴解得或，∴；②当时，单调递增，在单调递减，∴，显然，不符合题意；③当时，在单调递增，∴，又∵当时，函数的最大值为，∴，解得或，∴；综上所述，或.