新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题13二项分布与超几何分布（附解析）

微专题13　二项分布与超几何分布一、单项选择题1．设随机变量X，Y满足：Y＝3X－1，X～B(2，)，则D(Y)＝(　　)A．4　B．5C．6　D．72．[2023·湖南雅礼中学模拟]若X～B(100，)，则当k＝0，1，2，…，100时(　　)A．P(X＝k)≤P(X＝50)B．P(X＝k)≤P(X＝32)C．P(X＝k)≤P(X＝33)D．P(X＝k)≤P(X＝49)二、多项选择题3．[2023·广东汕头模拟]一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，期望和方差分别为E(X1)，D(X1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，期望和方差分别为E(X2)，D(X2).则(　　)A．E(X1)＝E(X2)B．E(X1)>E(X2)C．D(X1)>D(X2)D．D(X1)<D(X2)三、填空题4．[2023·江苏金陵中学模拟]设随机变量X～H(3，2，10)，则P(X＝1)＝________．5．[2023·山东济南模拟]已知随机变量X，Y，其中X～B(6，)，Y～N(μ，σ2)，E(X)＝E(Y)，P(|Y|<2)＝0.3，则P(Y>6)＝________．6．[2023·河北石家庄模拟]为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．四、解答题7．在2022～2023赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表(注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数)，假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息：(1)从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；(3)在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．解： 8．[2023·安徽合肥模拟]地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况．控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl(导致早起倾向)和PERo(导致晚睡倾向).某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验．以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标：实验鼠编号12345678Sd指标9.959.999.969.9610.019.929.9810.04实验鼠编号910111213141516Sd指标10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重，(1)从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；(2)若编号1～8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？α0.10.050.01xα2.7063.8416.635附：χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d).解：9．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动．(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为α，从学校全体男生中随机选取3人，记X为3人中身高不超过α的人数，以频率估计概率求X的分布列及数学期望；(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有k(k＝1，2，…，30)个男生的概率为P(k)，求使得P(k)取得最大值的k的值．解： 10．[2023·山东济宁模拟]某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的5个问题中随机抽取3个问题作答，在这5个问题中，已知甲能正确作答其中3个，乙能正确作答每个问题的概率都是，甲、乙两名同学作答问题相互独立．记甲答对题的个数为X，乙答对题的个数为Y.(1)求甲、乙恰好答对2个问题的概率；(2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由．解： 微专题13　二项分布与超几何分布1．解析：因为X～B(2，)，则D(X)＝2××(1－)＝，又Y＝3X－1，所以D(Y)＝D(3X－1)＝32D(X)＝32×＝4.故选A.答案：A2．解析：由题意得：化简得：≤k≤，又k为整数，可得k＝33，所以P(X＝k)≤P(X＝33).故选C.答案：C3．解析：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到红球的概率为＝，则X1～B(3，)，故E(X1)＝3×＝，D(X1)＝3××＝，从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为X2，则X2的可能取值是0，1，2，3；则P(X2＝0)＝＝，P(X2＝1)＝＝，P(X2＝2)＝＝，P(X2＝3)＝＝，所以随机变量X2的分布列为：X20123P数学期望E(X2)＝0×＋1×＋2×＋3×＝；D(X2)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝，故E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2).故选AC.答案：AC4．解析：由随机变量X服从超几何分布X～H(3，2，10)，可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10， 根据超几何分布公式可得P(X＝1)＝＝.答案：5．解析：因为X～B(6，)，所以E(X)＝6×＝2，因为Y～N(μ，σ2)，所以E(Y)＝μ，又因为E(X)＝E(Y)，所以μ＝2，因为Y～N(μ，σ2)，所以P(Y<2)＝0.5，且P(Y>6)＝P(Y<－2)，又因为P(|Y|<2)＝0.3，所以P(Y<－2)＝0.2，所以P(Y>6)＝0.2.答案：0.26．解析：设先抽取2道题中多选题的题数为X，则X的可能取值为：0，1，2，可得：P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以最后抽取到的题为多选题的概率为P＝P(X＝0)×＋P(X＝1)×＋P(X＝2)×＝×＋×＋×＝.答案：7．解析：(1)在前10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4，5，6，7，10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率大于0.5的概率是.(2)在前10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是.设甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5为事件A，甲球员命中率超过0.5且乙球员命中率不超过0.5为事件B1，乙球员命中率超过0.5且甲球员命中率不超过0.5为事件B2，则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝×＋×＝.(3)X的可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，)，P(X＝0)＝C×()0×()3＝，P(X＝1)＝C××()2＝，P(X＝2)＝C×()2×＝，P(X＝3)＝C×()3＝，X的分布列如下： X0123P∵X～B(3，)，∴E(X)＝3×＝.8．解析：(1)由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重．X的可能取值有0，1，2，3,P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(2)由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表：GRPE蛋白干预非GRPE蛋白干预合计体征状况严重257体征状况不严重639合计8816零假设H0：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系．利用列联表中的数据得，χ2＝＝≈2.286<2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为H0成立，即认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关．9．解析：(1)X所有可能的取值为0，1，2，3，且X～B(3，0.8).P(X＝0)＝C×(1－0.8)3＝0.008；P(X＝1)＝C×0.81×(1－0.8)2＝0.096；P(X＝2)＝C×0.82×(1－0.8)1＝0.384；P(X＝3)＝C×0.83＝0.512.故X的分布列为X0123P0.0080.0960.3840.512所以E(X)＝3×0.8＝2.4.(2)设事件A为“被选出的人中恰好有k位男生”，则30个人中剩下(30－k)个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为CC， 所以P(k)＝＝·.所以＝>1，解得k<.所以P(12)>P(11)>P(10)…，P(12)>P(13)>P(14)>…，故当k＝12时，P(k)最大．10．解析：(1)设“甲、乙恰好答对2个问题的概率”为事件A，则P(A)＝P(X＝1)·P(Y＝1)＋P(X＝2)·P(Y＝0)＝·C·()2＋·C()0·()3＝×＋×＝.(2)由已知得X所有可能的取值为1，2，3，所以P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为X123P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝，D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝，由已知得Y～B(3，)，所以E(Y)＝3×＝，D(Y)＝3××＝，因为E(X)＝E(Y)，但是D(X)<D(Y)，所以选择甲同学参赛．