统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练14不等式选讲理（附解析）

(选考)不等式选讲(14)1．[2023·四川德阳三模]已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1].(1)求m的值；(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.2．[2023·陕西宝鸡中学模拟预测]已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x＋b|(a>0，b>0).(1)求函数f(x)的最小值m；(2)若f(x)的最小值m＝2，求＋的最小值． 3．[2023·山西太原三模]已知函数f(x)＝|x＋2|－m，m∈R，且f(x)<0的解集为[－3，－1].(1)求m的值；(2)设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝m，求＋＋的最大值．4．[2023·全国乙卷(理)]已知f(x)＝2＋.(1)求不等式f(x)≤6－x的解集；(2)在直角坐标系xOy中，求不等式组所确定的平面区域的面积． 5．[2023·安徽模拟预测]已知f(x)＝|x＋4|－|x－m|.(1)若m＝2，求f(x)<m的解集；(2)若a>0，b>0，c>0，abc＝1，对于∀x∈R，(a＋b)2＋(a＋c)2＋(b＋c)2≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．6．[2023·全国甲卷(理)][选修4－5：不等式选讲]设a>0，函数f(x)＝2|x－a|－a.(1)求不等式f(x)<x的解集；(2)若曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积为2，求a.（选考）不等式选讲（14）1．解析：（1）不等式f（x＋2）≥0，即m－|x|≥0，即|x|≤m，解得－m≤x≤m，又f（x＋2）≥0的解集是[－1，1]，所以m＝1，综上，m＝1.（2）证明：由（1）知＋＋＝1，a、b、c∈（0，＋∞），所以a＋2b＋3c＝（a＋2b＋3c）（＋＋）＝＋＋＋＋＋＋3 ≥2＋2＋2＋3＝2＋2＋2＋3＝9.当且仅当a＝2b＝3c即a＝3，b＝，c＝1时等号成立．综上，a＋2b＋3c≥9.2．解析：（1）根据绝对值的三角不等式有f（x）＝|x－2a|＋|x＋b|≥|x－2a－x－b|＝|2a＋b|＝2a＋b，当且仅当（x－2a）（x＋b）≤0，即－b≤x≤2a时等号成立，故m＝2a＋b.（2）由（1）知，2a＋b＝2，故2a＋1＋b＋2＝5，＋＝（＋）（2a＋1＋b＋2）＝（2＋＋）≥（2＋2）＝，当且仅当＝，即b＋2＝2a＋1，a＝，b＝时取等号．故＋的最小值为.3．解析：（1）由f（x）≤0，得|x＋2|≤m，所以.又f（x）≤0的解集为[－3，－1]，所以，解得m＝1.（2）由（1）知a＋b＋c＝1，由柯西不等式得（＋＋）2≤[（）2＋（）2＋（）2]·（12＋12＋12），所以（＋＋）2≤3[3（a＋b＋c）＋3]＝18，所以＋＋≤3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立，所以＋＋的最大值为3.4．解析：（1）f（x）＝当x<0时，－3x＋2≤6－x，得－2≤x＜0；当0≤x≤2时，x＋2≤6－x，得0≤x≤2；当x＞2时，3x－2≤6－x，得x≤2，与x＞2矛盾．综上，不等式f（x）≤6－x的解集为{x|－2≤x≤2}．（2）如图所示，作出不等式组 即所确定的平面区域（图中阴影部分），为△ABC，其中A（－2，8），B（0，2），C（2，4），直线y＝－x＋6与y轴交于点（0，6），所以S△ABC＝×（6－2）×[2－（－2）]＝8.5．解析：（1）若m＝2，则f（x）＝|x＋4|－|x－2|<2，当x≥2，（x＋4）－（x－2）<2时，无解；当－4<x<2时，（x＋4）－（2－x）<2，解得－4<x<0；当x≤－4时，（－x－4）－（2－x）＝－6<2，解得x≤－4.综上所述：m＝2时，f（x）<m的解集为{x|x<0}．（2）由（a＋b）2＋（a＋c）2＋（b＋c）2≥4ab＋4ac＋4bc＝4（ab＋ac＋bc），又因为abc＝1，所以4（ab＋ac＋bc）≥4×3×＝12，当且仅当a＝b＝c，ab＝bc＝ac时，即a＝b＝c＝1等号成立，所以（a＋b）2＋（a＋c）2＋（b＋c）2的最小值为12；因为∀x∈R，（a＋b）2＋（a＋c）2＋（b＋c）2≥f（x）恒成立．即f（x）＝|x＋4|－|x－m|≤|4＋m|≤12.当且仅当（x＋4）（x－m）≥0时等号成立，解得－16≤m≤8；故实数m的取值范围为[－16，8].6．解析：方法一　（1）求不等式f（x）<x的解集，即求不等式2|x－a|－a<x的解集，整理得2|x－a|<x＋a，不等式两边同时平方，得4（x2－2ax＋a2）<x2＋2ax＋a2，整理得3x2－10ax＋3a2<0，因式分解得（3x－a）（x－3a）<0，因为a>0，所以可得<x<3a，故不等式的解集为（，3a）. （2）设曲线y＝f（x）与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，x1>x2.令f（x）＝0，得2|x－a|＝a，即2x－2a＝a或2x－2a＝－a，得x1＝，x2＝，故曲线y＝f（x）与x轴的两个交点之间的距离d＝|x1－x2|＝a，易得三角形不在x轴上的顶点的坐标为（a，－a），所以三角形的面积S＝d·|－a|＝a2＝2，即a2＝4，解得a＝2或a＝－2（舍去），故a＝2.方法二　（1）若x≤a，则f（x）＝2a－2x－a<x，即3x>a，解得x>，得<x≤a；（注：a>0）若x>a，则f（x）＝2x－2a－a<x，解得x<3a，得a<x<3a.综上，不等式的解集为（，3a）.（2）f（x）＝，作出f（x）的大致图象如图，曲线y＝f（x）与x轴围成的图形即△ABC，易得A（，0），B（，0），C（a，－a），所以|AB|＝a，△ABC的底边AB上的高为a，所以S△ABC＝|AB|·a＝a2＝2，解得a＝2或a＝－2（舍去），故a＝2.