统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练2平面向量三角函数与解三角形文（附解析）

平面向量、三角函数与解三角形(2)1．[2023·全国甲卷(文)]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2.(1)求bc；(2)若－＝1，求△ABC面积．2．[2023·辽宁省建平县实验中学模拟]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，已知该函数相邻两条对称轴之间的距离为，最大值与最小值之差为4，且对于任意的x∈R都有f(x)≤f.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在区间上的减区间；(3)当x∈时，f(x)＝k恰有两个不等的实根，求k的取值范围． 3．[2023·陕西西安模拟预测(文)]在①cos2A＝cos(B＋C)，②asinC＝ccosA这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，________．(1)求角A；(2)若b＝2，c＝4，求△ABC的BC边上的中线AD的长．4．[2023·安徽淮南二模(文)]如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ADC＝，AC＝5，CD＝5. (1)求∠BAC的值；(2)若AB＝3，求△ABC的边BC上高的大小.5．[2023·陕西宝鸡中学模拟预测(文)]已知a＝(cosx，cosx)，b＝(sinx，－cosx)，f(x)＝a·b，(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝，且a＝，求b2＋c2的取值范围．6．[2023·陕西渭南二模(文)]在①bsin＝csinB，②(ccosA－b)＝－asinC，③acosB＋bcosA＝2ccosC这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答问题． 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且________．(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为6，b＝4，求c.注：若选择多个条件分别解答，按第一个计分．平面向量、三角函数与解三角形（2）1．解析：（1）由余弦定理知cosA＝，代入＝2，得2bc＝2，故bc＝1.（2）由正弦定理及－＝1，得－＝1，化简得－＝1.∵A＋B＝π－C，∴sin（A＋B）＝sinC，∴sin（A－B）－sinB＝sinC＝sin（A＋B），∴sinAcosB－cosAsinB－sinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴－2cosAsinB＝sinB.∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴cosA＝－.∵A∈（0，π），∴sinA＝＝.由（1）知bc＝1，故△ABC的面积S＝bcsinA＝×1×＝.2．解析：（1）因为A>0，最大值与最小值之差为4，所以有A－（－A）＝4⇒A＝2，因为该函数相邻两条对称轴之间的距离为，所以该函数的最小正周期为2·＝，因为ω>0，所以有＝⇒ω＝3，即f（x）＝2sin（3x＋φ），因为对于任意的x∈R都有f（x）≤f，所以当x＝ 时，该函数有最大值，最大值为2，因此有2sin＝2⇒＋φ＝2k1π＋（k1∈Z）⇒φ＝2k1π－（k1∈Z），因为|φ|<，所以令k1＝0，φ＝－，因此f（x）＝2sin.（2）当2k2π＋≤3x－≤2k2π＋（k2∈Z）时，即当k2π＋≤x≤k2π＋（k2∈Z）时，函数f（x）＝2sin单调递减，因为x∈，所以令k2＝0，即≤x≤，因此f（x）在区间上的减区间为.（3）因为x∈，所以令t＝3x－，t∈，所以问题转化为t∈，函数sint＝有两个不等实根，画出f（t）＝sint简图：根据图象，≤<1，得到≤k<2.3．解析：（1）若选①，即cos2A＝cos（B＋C），得2cos2A－1＝－cosA，∴2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝或cosA＝－1（舍去），∵A∈（0，π），∴A＝；若选②：asinC＝ccosA，由正弦定理，得sinAsinC＝sinCcosA，∵A，C∈（0，π），∴sinC>0，则sinA＝cosA，∴tanA＝，∴A＝. （2）AD是△ABC的BC边上的中线，∴＝（＋），∴2＝（＋）2＝（2＋2·＋2）＝（||2＋2·＋||2）＝（c2＋2c·bcos＋b2）＝（42＋2×4×2×cos＋22）＝7，∴AD＝.4．解析：（1）在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠CAD＝，∵AC>CD，且∠ADC＝，∴0<∠CAD<，即∠CAD＝，∴∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝.（2）在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝（3）2＋（5）2－2×3×5·cos＝147，解得BC＝7，又∵△ABC的面积为S△ABC＝·AB·AC·sin∠BAC＝×3×5×＝，∴△ABC的边BC上高的大小为＝.5．解析：（1）因为a＝（cosx，cosx），b＝（sinx，－cosx）且f（x）＝a·b，所以f（x）＝a·b＝sinx·cosx－cos2x＝sin2x－（1＋cos2x）＝sin2x－cos2x－＝sin（2x－）－，即f（x）＝sin（2x－）－，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数f（x）的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.（2）因为f（A）＝sin（2A－）－＝，所以sin（2A－）＝1.因为A∈（0，π），所以2A－∈（－，），所以2A－＝，所以A＝， 又因为a＝，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即3＝b2＋c2－bc，即b2＋c2＝3＋bc.而b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，所以bc≤3，即b2＋c2≤6，又因为b2＋c2＝3＋bc>3，所以3<b2＋c2≤6，即b2＋c2∈（3，6].6．解析：（1）若选①：由于bsin＝csinB，可得bsin（）＝bcos＝csinB，由正弦定理可得sinBcos＝sinCsinB，∵0<B<π，∴sinB≠0，可得cos＝sinC＝2sincos，∵0<<，可得sin＝，可得＝，可得C＝.若选②：∵（ccosA－b）＝－asinC，由正弦定理可得（sinCcosA－sinB）＝－sinAsinC，又sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC，可得（sinCcosA－sinAcosC－cosAsinC）＝－sinAcosC＝－sinAsinC，又0<A<π，∴sinA≠0，可得tanC＝，∵0<C<π，可得C＝.若选③：∵acosB＋bcosA＝2ccosC，由正弦定理可得：sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，则sin（A＋B）＝2sinCcosC，∴sin（π－C）＝2sinCcosC，则sinC＝2sinCcosC，∵0<C<π，∴sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝.（2）S△ABC＝absinC＝a×4×＝6，解得a＝6，∴由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝36＋16－2×6×4×＝28，可得c＝2.