统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练7平面向量三角函数与解三角形理（附解析）

平面向量、三角函数与解三角形(7)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2023·河南平顶山高三月考]已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，终边与单位圆交于P(－，)，则sinα＝(　　)A．－B．－C．－D．2．[2023·陕西西安市交大附中高三模拟]已知sinα＝＋cosα，则sin＝(　　)A．B．－C．D．－3．[2023·全国高三模拟]已知向量a＝(1，0)，＝，且a⊥，则＝(　　)A．2B．C．D．34．[2023·大同学情调研]已知sin＝，且θ∈，则cos＝(　　)A．0B．C．D．15．[2023·江西师大附中测试]函数f(x)＝sin2x＋sinx·cosx在上的最小值为(　　)A．1B．C．1＋D．6．[2023·陕西省部分学校摸底检测]数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝(　　)A．4B．＋1C．2D．－17．[2023·全国乙卷(理)]已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O 交于B，C两点，D为BC的中点，若＝，则·的最大值为(　　)A．B．C．1＋D．2＋8．[2023·全国乙卷(理)]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间(，)单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－)＝(　　)A．－B．－C．D．9．[2023·晋南联合体阶段检测]锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝1，bcosA－cosB＝1，若A，B变化时，sinB－2λsin2A存在最大值，则正数λ的取值范围是(　　)A．(0，)B．C．(，)D．10．[2023·洛阳统一考试]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f(x＋)是偶函数，则下列判断正确的是(　　)A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)的图象关于点对称C．函数f(x)在上单调递增D．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称11．[2023·长春普高联考]在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosB＝b(1＋cosA)，现有下列五个结论：①sinC＝sin3B；②<B<；③∈(，)；④tantanB＝1；⑤若b＝1，则a＋c∈(1＋2，2＋2).其中所有正确结论的序号是(　　)A．①②④B．②③⑤C．①②③④D．①③④⑤12．[2023·广东省深圳市高三一模]骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，·的最大值为(　　) A．18B．24C．36D．48[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2023·洛阳统考(一)]已知向量a＝(k，3)与b＝(2，－1)，若b⊥(a＋b)，则实数k的值为________．14．[2023·湖南省名校联考]在Rt△ABC中，D为斜边AB上一点，且AD＝2DB，AB＝12，CD＝6，则sin∠ACD＝________．15．[2023·湖北省七市教研协作体高三联考]已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，设AC与BD交于点O，则·＝________．16．已知函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，则函数f(x)在[0，π]上存在________个极小值点，实数ω的取值范围是________．平面向量、三角函数与解三角形（7）1．D　由三角函数的定义，sinα＝y＝.故选D.2．A　因为sinα＝＋cosα，所以sinα－cosα＝，即sin＝，则sin＝sin＝cos＝1－2sin2＝1－＝.故选A.3．D　因为a＝（1，0），所以|a|＝1，因为|b|＝，a⊥，所以a·（a＋b）＝0，即|a|2＋a·b＝0，a·b＝－1， 则|a＋2b|＝＝＝3，故选D.4．D　由θ∈，得－<θ－<，又sin＝，所以θ－＝，解得θ＝，故cos＝cos0＝1，故选D.5．A　f（x）＝＋sin2x＝sin＋，∵≤x≤，∴≤2x－≤π，∴当2x－＝π即x＝时f（x）min＝＋＝1.6．C　因为m＝＝2sin18°，所以＝＝＝＝2，故选C.7．A　方法一　连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝，所以由勾股定理可得|PA|＝1，则∠POA＝.设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则－<θ<，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cosθ.所以·＝||||cos（＋θ）＝cosθcos（＋θ）＝cosθ（cosθ－sinθ）＝cos2θ－sinθcosθ＝＋cos2θ－sin2θ＝＋cos（2θ＋）≤＋，故选A.方法二　以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆O：x2＋y2＝1，点P（，0），因为|OA|＝1，且OA⊥PA，所以∠POA＝，不妨设A（，）.设直线PD的方程为y＝k（x－），B（x1，y1），C（x2，y2），由，得（k2＋1）x2－2k2x＋2k2－1＝0，由Δ＝8k4－4（k2＋1）（2k2－1）＝4－4k2>0，解得－1<k<1，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k（x1＋x2－2）＝－，所以D（，－）.于是＝（－，），＝（－，－），所以·＝.设t＝1－k ，则0<t<2，·＝＝＝≤＝＋，当且仅当t＝时等号成立，故选A.8．D　由题意得×＝－，解得ω＝2，易知x＝是f（x）的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ（k∈Z），得φ＝＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝sin＝sin，f＝sin＝sin＝，故选D.9．A　∵a＝1，∴bcosA－acosB＝a，由正弦定理得sinB·cosA－sinA·cosB＝sinA，即sin（B－A）＝sinA，∴B－A＝A或B－A＝π－A，∴B＝2A或B＝π（舍）.∵△ABC为锐角三角形，∴0<A<，0<B＝2A<，<A＋B＝3A<π，解得<A<.解法一　sinB－2λsin2A＝sin2A－λ（1－cos2A）＝sin2A＋λcos2A－λ＝sin（2A＋φ）－λ（其中tanφ＝λ）.∵<2A<，∴要使sinB－2λsin2A取得最大值，只需存在φ，满足2A＋φ＝，∴0<φ<，∴tan0<λ＝tanφ<tan，即0<λ<.故选A.解法二　sinB－2λsin2A＝sin2A－2λsin2A，令f（A）＝sin2A－2λsin2A，则f′（A）＝2cos2A－2λsin2A＝2λcos2A.当tan2A<时，f′（A）>0，f（A）单调递增，当tan2A>时，f′（A）<0，f（A）单调递减，∴当tan2A＝时，f（A）取得最大值，∵＝tan2A∈（，＋∞），∴λ∈，故选A.10．C　因为函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期T＝π，ω＝＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ），因为f是偶函数，所以f＝f，即直线x＝是函数f（x）图象的对称轴，所以2×＋φ＝ kπ＋（k∈Z），解得φ＝kπ＋（k∈Z），又|φ|<，所以φ＝，所以f（x）＝sin.函数f（x）的最小正周期为π，故选项A错误；因为f＝sin＝－1，所以点不是函数f（x）图象的对称中心，选项B错误；因为当≤x≤π时，≤2x＋≤，所以f（x）＝sin在上单调递增，选项C正确；因为f＝sin＝－，所以直线x＝－不是函数f（x）图象的对称轴，选项D错误．故选C.11．A　对于①，由题可知acosB＝b（1＋cosA），所以由正弦定理得sinAcosB＝sinB（1＋cosA），则sinB＝sinAcosB－cosAsinB＝sin（A－B），则B＝A－B或B＋A－B＝π（舍），所以A＝2B，sinC＝sin（A＋B）＝sin3B，故①正确；对于②，因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>且0<A<，即3B>，且0<2B<，所以<B<，故②正确；对于③，由正弦定理，得＝＝＝＝＝＝2cosB－，令t＝2cosB，因为<B<，所以t∈（，），则＝t－，t∈（，），易知函数y＝t－在（，）上单调递增，所以<<，故③错误；对于④，因为A＝2B，所以tan＝tan＝＝＝，所以tantanB＝1，故④正确；对于⑤，由正弦定理，得a＝＝＝＝2cosB，c＝＝＝＝＝＝4cos2B－1，所以a＋c＝2cosB＋4cos2B－1＝－，因为<B<，所以<cosB<，所以a＋c∈（＋1，＋2），故⑤错误．综上所述，所有正确结论的序号为①②④，故选A. 12．C　骑行过程中，ABCDE相对不动，只有P点绕D点作圆周运动．如图，以AD为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意A（－4，0），B（－2，2），C（2，2），圆D方程为（x－4）2＋y2＝3，设P（4＋cosα，sinα），则＝（6，2），＝（6＋cosα，sinα－2），·＝6（6＋cosα）＋2（sinα－2）＝6cosα＋6sinα＋24＝12＋24＝12sin＋24，易知当sin（α＋）＝1时，·取得最大值36.故选C.13．答案：－1解析：若b⊥（a＋b），则b·（a＋b）＝0，即（2，－1）·（k＋2，2）＝2k＋4－2＝0，解得k＝－1.14．答案：解析：解法一　以C为坐标原点，分别为CB，CA所在直线为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设B（b，0），A（0，a），则D，由已知条件可知，a2＋b2＝122＝144①＋＝36，即a2＋4b2＝36×9＝324，②由①②可得b2＝60，a2＝84，即b＝2，a＝2.在直角三角形ABC中，sinA＝＝，因为D为AB上一点，AB＝12，AD＝2DB，所以 AD＝8.在△ACD中，由正弦定理＝，得sin∠ACD＝＝.解法二　设CB＝a，CA＝b，因为点D为AB上一点，AD＝2DB，所以＝＋　①，又CD＝6，所以①式两边同时平方得，36＝a2＋b2，即4a2＋b2＝324　②，又易知a2＋b2＝144　③，所以联立②③得，a＝2，b＝2，在直角三角形ABC中，sinA＝＝.因为D为AB上一点，AB＝12，AD＝2DB，所以AD＝8，在△ACD中，由正弦定理＝，得sin∠ACD＝＝.15．答案：－解析：·＝·＝（＋）·（－）＝（2－2）＝（12－22）＝－.16．答案：1　解析：根据三角函数图象的平移和伸缩变换，f（x）＝sin（ωx－）的图象可由y＝sinx的图象向右平移个单位长度，然后所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的得到，则f（x）的大致图象如图所示．图中O点右侧的零点依次为，，，.由题意，f（x）在[0，π]上有且仅有3个零点，则f（x）在[0，π]上有1个极小值点，所以≤π＜，解得ω的取值范围是.