统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练6平面向量三角函数与解三角形理（附解析）

平面向量、三角函数与解三角形(6)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2023·全国甲卷(理)]已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　)A．－B．－C．D．2．已知平面向量a＝(1－x，3＋x)，b＝(2，1＋x)，若a·b＝4，则a与b的夹角为(　　)A．B．C．D．3．已知sinθ＋cosθ＝－，θ∈(0，π)，则sinθ－cosθ＝(　　)A．B．－C．D．－4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)－1(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为f(x)的对称中心的是(　　)A．(，－1)B．(，0)C．(－，－1)D．(－，0)5．若在△ABC中，2a·cosB＝c，则三角形的形状一定是(　　)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形6．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝5，则·＝(　　)A．－15B．－30C．－15D．157．函数y＝的图象大致为(　　)　 8．[2023·全国甲卷(理)]函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos(2x＋)的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)A．1B．2C．3D．49．已知偶函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在(0，1)上恰有2个极大值点，则实数ω的取值范围为(　　)A．(2π，4π]B．(3π，4π]C．(4π，6π]D．(3π，5π]10．已知函数f(x)＝tan(2x＋)，则下列说法错误的是(　　)A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}C．f(x)的图象关于点(－，0)对称D．f(x)在(0，)上单调递增11．在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则下列说法错误的是(　　)A．AB＝4B．△ABC的面积为1C．△ABC外接圆直径是5D．△ABC内切圆半径是6－412．已知函数f(x)＝sin(2x＋)，先将y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列选项错误的是(　　)A．g(x)＝sin(x＋)B．g(x)的图象关于x＝－对称C．g(x)的最小正周期为4πD．g(x)在(－3π，－)上单调递减[答题区] 题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ的值为________．14．已知sin(x＋)＝，x∈(0，π)，则sinx＝________．15．已知a>0，b>0，向量m＝(a＋2b，－9)，n＝(8，ab)，若m⊥n，则2a＋b的最小值为________.16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2csinB＝(2a＋c)tanC，bsinAsinC＝sinB，则△ABC面积的最小值是________．平面向量、三角函数与解三角形（6）1．D　∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.方法一　又a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且|a－c|＝|2a＋b|＝＝＝，|b－c|＝|a＋2b|＝＝＝，∴cos〈a－c，b－c〉＝＝，故选D.方法二　如图，令＝a，＝b，则＝c，∴＝a－c，＝b－c，而|AB|＝，|AC|＝|BC|＝，在△ABC中，由余弦定理得cos〈a－c，b－c〉＝cos〈，〉＝cos∠ACB＝＝，故选D.方法三　如图（图同方法二），令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以， 分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a＝（1，0），b＝（0，1），c＝－a－b＝（－1，－1），∴a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），则cos〈a－c，b－c〉＝＝＝，故选D.2．B　由a·b＝4可得2（1－x）＋（3＋x）（1＋x）＝4，即x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，所以a＝（2，2），b＝（2，0），则cos〈a，b〉＝＝.又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为.故选B.3．C　（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝，2sinθcosθ＝－<0，∵θ∈（0，π），∴θ∈（，π），sinθ>cosθ，（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ＝，所以sinθ－cosθ＝.故选C.4．C　∵f（x）两条相邻对称轴之间的距离为，∴f（x）最小正周期T＝＝π，解得ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x＋）－1，令2x＋＝kπ（k∈Z），解得x＝－（k∈Z），此时f（x）＝－1，∴f（x）的对称中心为（－，－1）（k∈Z），当k＝0时，f（x）的一个对称中心为（－，－1）.故选C.5．B　由2a·cosB＝c以及余弦定理得2a·＝c，化简得a＝b，所以三角形的形状一定是等腰三角形．故选B.6．C　·＝||||cos（180°－60°）＝6×5×（－）＝－15.故选C.7．D　令f（x）＝，该函数的定义域为R，f（－x）＝＝＝f（x），所以，函数y＝为偶函数，排除AB选项；当0<x<π时，sinx>0，则y＝>0，排除C选项．故选D.8．C　把函数y＝cos的图象向左平移个单位长度后得到函数f（x）＝cos ＝cos＝－sin2x的图象．作出函数f（x）的部分图象和直线y＝x－如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.9．D　f（x）＝sin（ωx＋φ）－cos（ωx＋φ）＝2sin（ωx＋φ－），因为|φ|<，则－<φ－<，故f（0）＝2sin（φ－），又函数f（x）为偶函数，故φ－＝－，解得φ＝－，故f（x）＝2sin（ωx－）＝－2cosωx，因为函数f（x）在（0，1）上恰有2个极大值，故当x＝1时，3π<ω×1≤5π，即3π<ω≤5π.故选D.10．A　由题意，函数f（x）＝tan（2x＋），可得f（x）的最小正周期为T＝，所以A不正确；令2x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，即函数f（x）的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，所以B正确；令2x＋＝，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，当k＝0时，可得x＝－，所以函数f（x）的图象关于点（－，0）对称，所以C正确；由x∈（0，），可得2x＋∈（，），根据正切函数的性质，可得函数f（x）在（0，）上单调递增，所以D正确．故选A.11．B　cosC＝2cos2－1＝－，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝25＋1＋6＝32，故AB＝4，A正确；sinC＝＝，故S△ABC＝BC·AC·sinC＝2，B错误；由正弦定理知，外接圆直径为＝＝5，C正确；设内切圆半径为r，则r·AB＋r·AC＋r·BC＝S△ABC，则r＝＝6－4，D正确．故选B. 12．A　对于A选项，将y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，可得到函数y＝sin（x＋）的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，可得到函数g（x）＝sin[（x－）＋]＝sin（x＋）的图象，A错；对于B选项，g（－）＝sin（－＋）＝sin（－）＝1，B对；对于C选项，函数g（x）的最小正周期为T＝＝4π，C对；对于D选项，当－3π<x<－时，－<x＋<－，所以，函数g（x）在区间（－3π，－）上单调递减，D对．故选A.13．答案：－解析：由tan（θ＋）＝＝，解得tanθ＝－，即＝－，即3sinθ＋cosθ＝0，根据角θ在第二象限，由3sinθ＋cosθ＝0sin2θ＋cos2θ＝1解得sinθ＝，cosθ＝－，所以sinθ＋cosθ＝－.14．答案：解析：由x∈（0，π），可得x＋∈（，），因为sin（x＋）＝<＝sin，所以x＋∈（，），所以cos（x＋）＝，又由sinx＝sin[（x＋）－]＝sin（x＋）－cos（x＋）＝×－×＝.15．答案：8解析：根据题意，向量m＝（a＋2b，－9），n＝（8，ab），若m⊥n，则m·n＝8（a＋2b）－9ab＝0，即8（a＋2b）＝9ab，变形可得＋＝，则2a＋b＝×（2a＋b）＝×（＋）（2a＋b）＝×（5＋＋），又由a>0，b>0，则＋＝2（＋）≥4，当且仅当a＝b时等号成立，则2a＋b＝×（5＋＋）≥×（5＋4）＝8，则2a＋b的最小值为8. 16．答案：3解析：由正弦定理得2sinCsinB＝（2sinA＋sinC）tanC，∴2sinCsinB＝（2sinA＋sinC），∵sinC≠0，∴2cosCsinB＝2sinA＋sinC，∴2cosCsinB＝2sin（B＋C）＋sinC，∴2sinCcosB＝－sinC，∴cosB＝－，又∵0<B<π，∴B＝，由bsinAsinC＝sinB可知，bsinAsinC＝2×sinB，bsinAsinC＝2sin2B，由正弦定理得abc＝2b2，即2b＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos，即a2＋c2＝b2－ac，b2－ac＝a2＋c2≥2ac，则－ac≥2ac，即ac≥12，当且仅当a＝c＝2时取等号，则S△ABC＝acsinB＝ac≥3.