数学一轮复习专题11.3 二项式定理 （新教材新高考）（练）教师版

专题11.3二项式定理练基础1．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n等于（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【分析】利用赋值法，令即可求解.【详解】解：因为=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=16，令，则=a0+a1+a2+…+an=16，所以，故选：C.2．（2021·福建宁德·高三期中）对任意实数，有，则（）A．6B．7C．8D．10【答案】C【分析】运用二项式定理进行求解即可.【详解】，因此，故选：C3．（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（）A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】，由展开式的通项公式可得：当时，展开式中的系数为；当时，展开式中的系数为， 则的系数为.4．（2021·上海·闵行中学高三期中）展开式的常数项为20，则实数_____________．【答案】【分析】由二项展开式通项公式写出常数项，从而可求得参数．【详解】展开式通项公式为，，，所以，，故答案为：．5．（2021·上海·曹杨二中高三期中）在的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中项的系数为___________.【答案】1120【分析】根据二项式展开式的二项式系数和为,求出n的值,再写出二项式的通项公式为,当时,即可求出的系数【详解】展开式的二项式系数之和为展开式的通项公式当时,,即则展开式中的系数为1120故答案为：11206．（2021·广东福田·高三月考）已知多项式，则________．【答案】【分析】 由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，利用二项式展开的通项公式，即得解【详解】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项故故故答案为：7．（2021·浙江·模拟预测）已知，则___________.【答案】【分析】由，应用二项式定理求展开式通项，结合题设确定对应的r值，即可求.【详解】，则展开式通项为，∴时，故答案为：8．（2021·浙江·模拟预测）已知，的系数为______；系数最大的项是第______项.【答案】285【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，从而可求出，利用二项式的性质可求得系数最大的项【详解】展开式的通项公式为，令，得，所以的系数为，因为的展开式有9项，所以由二项式的性质可知系数最大的项是第5项，故答案为：28，59．（2020·上海市浦东中学高三月考）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为 ，则常数项等于__________.【答案】7【分析】先通过求出n，再通过二项展开式的通项公式，令的次数为即可求出常数项.【详解】由已知得，解得的展开式的通项公式为，令，得.故常数项为.故答案为：7.10．（2021·山东师范大学附中高三月考）在二项式的展开式中恰好第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.【答案】6【分析】由已知，根据二项式定理可得,再利用二项展开式的通项公式即可求解【详解】由已知，展开式中恰好第3项的二项式系数最大可知，.根据二项式定理设第项是常数项，则：=,令,解得,所以常数项是=6故答案为：6练提升TIDHNEG1．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知条件可知为展开式中的系数，利用二项式定理及组合数的性质即可得出答案. 【详解】解：由已知条件可知为展开式中的系数，则.故选：C.2.【多选题】（2021·贵州遵义·高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在使得，则的值是（）．A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意由可知是第行的第个数减去下一行的第个数，等于下一行即第行的第个数，结合数图进行举例即可得解.【详解】根据题意可得， 即是第行的第个数减去下一行的第个数，等于下一行即第行的第个数，其中，当时，为，当时，为，等等.由图知是与同一行的右边一个数，所以是第行的第个数，故.故选：C3．【多选题】（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（）A．若，则展开式的常数为60B．展开式中有理项的个数为3C．若展开式中各项系数之和为64，则D．展开式中二项式系数最大为第4项【答案】AD【分析】写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析【详解】A选项：当时，，其中为整数，且，令，解得：，此时，故常数项为60；A正确；B选项：，其中为整数，且，当时，，当时，，，当时，，，当时，，满足有理项要求，故有4项，故B错误；C选项：令中的得：，所以或，故C错误； D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大为第4项，D正确故选：AD4．（2021·全国·模拟预测）的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答）【答案】65【分析】先写出的展开式的通项，令与展开式的项相乘，与展开式的常数项相乘，相加即为项，计算系数即可【详解】由题意，的展开式的通项，令，得，得；令，得，得.故的展开式中，项的系数为.故答案为：655.（2021·浙江·学军中学高三期中）在的展开式中，所有项的系数和为64，则___________.常数项的系数为___________.【答案】【分析】令，即可得到展开式所有项的系数和，从而求出，再写出展开式的通项，即可求出展开式中的常数项；【详解】解：令，则，即，解得；即展开式的通项为，令，即，故展开式中常数项为故答案为：，；6．（2021·河南·高三月考（理））若的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式的常数项为___________.【答案】【分析】根据的展开式中各项系数的和为0，令求得a，再利用通项公式求解.【详解】因为的展开式中各项系数的和为0，令得，解得，所以的常数项为.故答案为：-1207．（2021·全国·高二课时练习）在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为.【答案】63【分析】设第行第个数的比是，列方程求解可得．【详解】根据题意，设所求的行数为，则存在自然数，使得且，化简得且，解得，.故第63行会出现满足条件的三个相邻的数.故答案为：63．8．（2021·浙江·模拟预测）二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.【答案】15【分析】 先求得展开式的通项，令x的次数为0求常数项；设系数最大的项为项，由求解.【详解】展开式的通项为，令，解得，所以，即常数项为15，设系数最大的项为项，则，即，解得，所以系数最大的项为.故答案为：15；9．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中的常数项．【答案】【分析】，写出通项，令的指数为0，即可求得展开式中的常数项．【详解】：，则，令，则，．所以常数项为.10．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中含的项．【答案】 【分析】根据二项展开式的形式，以及组合数的性质，即可求解.【详解】由，可得展开式中含的项为：.练真题TIDHNEG1.（2019·全国高考真题（理））（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A．2．（2020·北京高考真题）在的展开式中，的系数为（）．A．B．5C．D．10【答案】C【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.3．（2020·全国高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20【答案】C【解析】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和 在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C4.（2021·北京高考真题）展开式中常数项为__________．【答案】【详解】试题分析：的展开式的通项令得常数项为.5.（2021·浙江高考真题）已知多项式，则___________，___________.【答案】;.【解析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【详解】，，所以，，所以.故答案为：.6．（2019·浙江高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】【解析】的通项为可得常数项为， 因系数为有理数，，有共5个项