数学一轮复习专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（新教材新高考）（练）教师版

专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示练基础1．（2021·全国高一课时练习）已知向量，，，，则的值为（）A．B．C．2D．10【答案】C【解析】先求出的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因，，则，而，，于是得，即，解得，所以的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，记与夹角为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以．故选:. 3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形的边长为2，是的中点，是线段上的点，则的最小值为（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，，，，由是线段上的点，设，且，因此，，故，因，所以当时，取最小值.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（） A．B．C．D．【答案】D【解析】取，作为基底，把用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出.【详解】取，作为基底，则.因为，所以，所以.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知三点共线，O为直线外任意一点，若，则________.【答案】1【解析】由共线可设，进而得，化简对应的即可得解.【详解】∵三点共线，∴存在非零实数，使得，∴∴∵， ∴.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出；（2）可求出，然后根据与垂直即可得出，解出即可．【详解】（1）∵，，∴.（2）∵，且与垂直，∴，解得.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知， （1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为120°，求.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）先求与向量共线的单位向量，结合，即可得出的坐标；（2）先根据夹角求出，根据模的运算律，即可得到.【详解】解：（1），与共线的单位向量为.，，或.（2），，，，，.9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，，记，.试用向量，表示.【答案】【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解. 【详解】因为，，所以.即10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量，若，（1）求向量与的夹角；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据得到，再求出，，，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1），，，，解得，，，，，所以向量与的夹角为.（2），．练提升TIDHNEG 1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（）A．5B．4C．3D．2【答案】CD【解析】由已知得集合的元素特征，再分析和的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合，从而分析和的范围如下：因为，∴，而，且，可得，又∵中，∴，从而，∴，又，所以．且也在集合中，故有或．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________. 【答案】【解析】如图所示，由，，三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数满足，，，，即，与两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，，，三点共线，存在实数满足，又，，，即，与两比较，可得，，则．的取值范围是．故答案为：．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】 根据可得，再表示出坐标，由条件可得，再将代入可得关于的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点，由，得，所以.因为，所以，即，化简得将代入，得，即，解得.因为为线段上一点，且，所以.综上，可知.故实数的取值范围是.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α，且tanα=7,OB与OC的夹角为45∘，若OC=mOA+nOBm,n∈R，则m+n=_________．【答案】3【解析】以OA为x轴，建立直角坐标系，则A1,0，由OC的模为2与OA与OC的夹角为α，且tanα=7知，cosα=210,sinα=210，可得C15,75,Bcosα+45∘,sinα+45∘，∴B-35,45，由OC=mOA+nOB可得15,75=m-35n,45n,15=m-35n75=45nm=54,n=74，∴m+n=3，故答案为3.5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量， ，．若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】．【解析】根据向量平行的坐标表示可求；用坐标表示出，结合三角函数的图象可得实数的取值范围.【详解】由向量共线得，则，又，则；计算得，则，又存在两个不同的值，使得恒成立，则在上有两个不同的解，令，由，得，作出简图如下，所以有．故答案为：；．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形，，，，且 ，（i）___________；（ii）若，动点在线段上，则的最大值为___________.【答案】【解析】利用向量的数量积可得，过点作的垂线，垂足为，可得，进而可得，求出；以为坐标原点，为建立平面直角坐标系，首先求出点坐标，设，利用向量共线求出，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由，则,因为，所以，过点作的垂线，垂足为，可得，因为，所以，由，所以.以为坐标原点，为建立平面直角坐标系，如图：则，，设由，即， 解得，即，设，，，则，，因为三点共线，所以，即，，，所以，当时，取得最大值为.故答案为：；7．（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.（1）求；（2）求满足的实数m，n；（3）求M，N的坐标及向量的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）；（3）M(0，20)，N(9，2)，.【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得=(5，-5)，=(-6，-3)，=(1，8). （1）=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵=(-6m+n，-3m+8n)，∴，解得.（3）设O为坐标原点，∵，∴=(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M(0，20).又∵，∴=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N(9，2)，∴=(9，-18).8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．【答案】.【解析】可设与夹角为，则据题意得出为锐角，且，从而根据的面积可得出，这样根据正切函数在的单调性即可求出的范围．【详解】解：，的夹角为锐角，设的夹角为，则：，，又；， ，，，，与夹角的取值范围为．9．（2021·全国高一专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由原式可代换为，再由，两式联立变形即可求证；（2）由A，P，B三点共线，可得，变形得，整理成关于的表达式，再结合，由对应关系即可求证【详解】（1）证明：若m+n=1，则，，故，即，，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线；（2）证明：若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，又，，故10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1 （1）求的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A与原点重合，边AB在x轴上，设动点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动.求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，利用坐标公式求得数量积即可.（2）设点坐标为，求得，利用三角函数的最值求得数量积的最值.【详解】解：（1），，.（2）点在以为圆心，为半径的劣弧上运动，设点坐标为，又，， ，又，则，故当时，有最小值.练真题TIDHNEG1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（）A．-3B．-2C．2D．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C．2.（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．【答案】.【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.3．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．【答案】 【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．【答案】【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若a⊥(ma-b)，则m=_________.【答案】-1.【解析】∵a=(1,0),b=(-1,m)，∴ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m)，由a⊥(ma-b)得：a⋅(ma-b)=0，∴a⋅(ma-b)=m+1=0，即m=-1.6．（2020·北京高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案】【解析】 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.