数学一轮复习专题7.4 数列求和 （新教材新高考）（练）教师版

专题7.4数列求和练基础1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】采用裂项相消法求数列的和【详解】因为，所以故选C.2．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7=a1(1-27)1-2=381，解得a1=3． 故选：B．3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．4．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以，解得，对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；对于B，由于，所以B不正确；对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，由于，所以D正确，故选：ACD 5.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以．6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为______.【答案】1023【解析】首先利用已知条件求得等比数列的公比和首项，最后根据等比数列的前n项和公式求出即可.【详解】因为数列为等比数列，所以，解得，设等比数列的公比为，因为，所以即，解得或，因为等比数列是递增数列，所以，， 所以.故答案为：10237．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过2021的所有项的和为___________.【答案】2046【解析】先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数列的前n项和公式求和即可.【详解】设正项等比数列的公比为q，，因为，，所以，解得：，所以.令，解得：.所以数列中不超过2021的所有项的和为：.故答案为：2046.8．（2021·福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，．（1）求；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，令，求出，再令，，求出等比数列的公比，由 ，即可求解；（2）由（1）求出通项公式，可得数列为等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可得出结论.【详解】（1）令，则由可得，当时，由可得，两式相减，可得，即，依题意，为等比数列，故；（2）由（1）可知为首项等于1，公比等于2的等比数列，故；故为首项等于，公比等于的等比数列，故．故．9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足．（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；（2）求出，结合错位相减法求和可得数列的前n项和．【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，因为，所以，整理得，解得q＝2，所以；（2），，两式相减，得所以．10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.【详解】（1）当时，，又，所以，即，在中，令，可得因为，所以故是首项为1，公比为2的等比数列， 其通项公式为，所以.（2）因为所以故练提升TIDHNEG1．【多选题】（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】根据题意求出n，然后即可求出，再利用错位相减法求出新数列的和.【详解】设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第个1一共有项，从新数列的第1个1到第个1一共有项，所以，解得， 而，所以，故A正确，B错误；，令，则，，，所以，故D正确，C错误，故选：AD.2．【多选题】（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（）A．数列是公比为的等比数列B．C．数列是公比为的等比数列D．数列的前n项和【答案】BD【解析】 先得到，即可判断A，再求出，可判断B与C，最后求出，可判断D.【详解】如图：由图知，对于A：，数列是公比为的等比数列，故A不正确；对于BC：因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确，C不正确；对于D：因为，故D正确，故选：BD.3．（2022·河南高三月考（文））已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】 （1）由，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，单调，结合等差数列的求和公式和乘公比错位相减法，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，可得，即，又因为，可得，所以，所以，即数列的通项公式.（2）由（1）知，可得，则.令，则，所以，所以.所以.4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.（1）求与的通项公式；（2）求的前n项和. 【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得；设正项等比数列的公比为q，q>0，由等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可得答案.【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，由，可得，解得，则；设正项等比数列的公比为q，q>0，由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2，则；（2）由（1）可得，所以，则，两式相减可得=，所以.5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求最小值.【答案】（1）；（2）最小值为.【解析】 （1）由已知条件得到为等比数列，即可得到通项；（2）错位相减求出，根据单调性求出最小值.【详解】解：（1）由，得，是以2为公比的等比数列，记公比为，又，，；（2），，，两式相减，得，即，又，单调递增，时，最小，最小值为.6．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得，求的最小值.【答案】（1）；（2）11.【解析】（1）设数列的公比为，根据条件列出，求得首项和公比，从而求得通项公式；（2）由（1）求得，分奇偶求解即可求得满足条件的最小n值.【详解】 （1）设数列的公比为，则，．由题意得，即，解得.故数列的通项公式为.（2）由（1）有.由得，，即.当为偶数时，，上式不成立；-当为奇数时，，即，则.综上，的最小值为11.7.（2021·全国高三其他模拟）已知数列是以为首项，为公比的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，去掉第项，第项，…，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等比数列通项公式可求得，进而得到；（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为，根据三者之间的关系可整理得到当为偶数时，，当为奇数时，，利用等差数列求和公式可整理求得结果.【详解】（1）由题意得：，；（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为； ，，…①，，…②，，，…③，由①知：当时，；由③知：当时，；当为偶数时，，；由②知：当时，，即当为奇数时，；；综上所述：.8．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）解：令，则，则， 令，则，得，∵为等差数列，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴，数列的通项公式为；（Ⅱ）证：由题意得，∴，∴，∴，∴，∵，∴为递增数列，即，∴成立．9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值.【答案】（I）见解析（2）最大，即 【解析】（1）两式相减，得∴即：∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，即也满足上式令，则， ∴最大，即10．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．（1）求数列，的通项公式．（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】方案一：选条件①（1）解得或（舍去）（2） 方案二：选条件②（1）解得或（舍去）（2） 方案三：选条件③解得或（舍去） （2）练真题TIDHNEG1．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， ，，则，解得.故选：C.2．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．【详解】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，， 由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．3．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.4.（2020·全国高考真题（文））设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m． 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以；（2）令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以.5.（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个； 对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个.所以.6.（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，， 从而，所以.(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.