数学一轮复习专题7.1 数列的概念与简单表示 （新教材新高考）（练）教师版

专题7.1数列的概念与简单表示练基础1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】利用an=an-1+an-2(n>2)逐项求解即可求得答案.【详解】解析：∵a1=1，a2=2，an=an-1+an-2(n>2)，∴a3=a2+a1=2+1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8.答案：C.2．（2021·全国高二课时练习）下列说法错误的是（）A．递推公式也是数列的一种表示方法B．an=an-1，a1=1(n≥2)是递推公式C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法D．an=2an-1，a1=2(n≥2)是递推公式【答案】C【解析】根据数列的概念及递推公式的概念逐项排除答案，得出结论.【详解】根据递推公式和数列的第一项，我们也可以确定数列，故A正确；an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，且都已知a1，所以都是递推公式.故B,D正确；通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，但是还可以有其他形式，比如列举法，故C错误；故选：C.3．（2019·绥德中学高二月考）数列的通项公式，其前项和为，则A．B．C．D． 【答案】C【解析】根据三角函数的周期性可，同理得，可知周期为4，．4．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列中，，，设其前n项和为，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．若，则【答案】D【解析】依题意可得，设，即可判断A，利用特殊值法判断B、C，由，可得递增，根据即可证明D；【详解】解：由得，设，则，故A错．取，知B错，时，数列不满足，知C错．对于D，由，知递增，所以，知D正确；故选：D 5．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）数列的首项，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先根据递推公式列出数列的前几项，再找出数列的周期性，即可得解；【详解】解：因为，且，所以，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，所以故选：A6．（2021·河南高二三模（理））分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（）A．55B．58C．60D．62【答案】A【解析】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求.【详解】 已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，∴，又∵;;;;;,故选：A.7．（2021·河南高三其他模拟（文））数列满足递推公式，且，，则（）A．1010B．2020C．3030D．4040【答案】B【解析】已知条件可化为左右两端同乘以有，即，，…，，通过累加求和，计算即可求得结果.【详解】左右两端同乘以有，从而，，…，，将以上式子累加得．由得．令，有．故选：B. 8.（2019·浙江高考模拟）已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.9.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，，，，则______．【答案】4【解析】归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解.【详解】由题得，，，, ,,所以数列的周期为6，，，所以.故答案为：410.（山东省单县第五中学月考）数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.【答案】最大项为【解析】设是该数列的最大项，则∴解得∵，∴，∴最大项为练提升TIDHNEG1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列满足，则的值为（）A．B．C．D． 【答案】A【解析】由已知条件计算出数列的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意的情况进行分类讨论.【详解】，取，相减，，则推出当时，原式故选：A2．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为，， 所以，，，，，故选：B3.（2021·辽宁高二月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据数列是递增数列得出不等式组，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为，，所以，因为数列是递增数列，所以，解得，即.故选：C.4 ．（2021·全国高三其他模拟（理））大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（）A．B．C．当为偶数时，D．当为奇数时，【答案】B【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，代入数列的具体值即可判断出各个选项．【详解】解：其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则数列的通项公式为：，所以，，当为偶数时，，当为奇数时，．故选：B．5．（2020·四川高一期末（理））已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由和与通项的关系先求出，进而求出，，再用裂项相消求出即可获解. 【详解】设数列的前项和为，由题意得，当时，，即当时，所以，当时，，也满足，所以故故，所以实数的取值范围为故选：A.6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））已知数列，，其中数列满足，前项和为满足；数列满足：，且对任意的､都有：，则数列的第47项的值为（）A．384B．47C．49D．376【答案】A【解析】根据，分别取不同的n值，求得，并根据，求得；取得，，从而利用累加法求得，从而求得结果.【详解】时，，解得，时，，得，时，，得，从而有，， 时，，得，时，，得，则，，又，故，取得，，则故，则，故数列的第47项为故选：A7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（）A．B．数列是递增数列C．D．【答案】ABD【解析】选项A.设,求出其导函数得出其单调性，可得，，设，求出其导函数，得出其单调性，可得，从而可判断A；选项B.设,求出其导数，借助于选项A中构造的函数结论，可得其单调性，从而可判断;选项C.由可判断；选项：由选项B数列是递增数列，所以，由选项A中得到的结论可得，从而可判断.【详解】 由题意，则设，则所以在上的单调递减，所以，即当时，可得，即设，所以在上的单调递增，所以取，可得，即所以，所以选项A正确.设，则由上在上恒成立，则所以在上恒成立，所以在上单调递增.所以数列是递增数列，故选项B正确.由，所以，所以选项C不正确.由数列是递增数列，所以由上，则，所以所以，故选项D正确.故选：ABD8．【多选题】 （2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再次应用累加法及递推公式判断选项D.【详解】由递推公式，可得，，所以，A选项正确；又由递推公式可得，，，类似的有，累加得，故错误，B选项错误；由题可知扇形面积，故， 故错误，C选项错误；由，，，，类似的有，累加得，又，所以，所以正确，D选项正确；故选：AD.9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得当时与已知条件两式相减，即可得，再检验是否满足即可.（2）由等差数列前项和公式求出，由不等式分离出，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值即可求解.【详解】（1）因为，所以 两式相减可得：所以，当时，满足，所以，（2），由可得：，所以，令，只需.，当且仅当即时等号成立，此时，所以，所以实数的取值范围为.10．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列中，，.（1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．【答案】（1），（2），且是正整数 【解析】（1）∵，∴∴（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是由可得∴∴∵，∴即由，得，解得或∵是正整数，∴所求的取值范围为，且是正整数练真题TIDHNEG1．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．【详解】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．2.（2019·浙江高考真题）设，数列中，，,则（）A．当B．当 C．当D．当【答案】A【解析】对于B，令0，得λ，取，∴，∴当b时，a10＜10，故B错误；对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10，∴当b＝﹣2时，a10＜10，故C错误；对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，∴，…，10，∴当b＝﹣4时，a10＜10，故D错误；对于A，，，，an+1﹣an＞0，{an}递增，当n≥4时，an1，∴，∴（）6，∴a1010．故A正确．故选：A． 3．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：1,1,2,1,2,4,⋯1,2,4,⋯,2k−1⋯则该数列的前1+2+⋯+k=k(k+1)2项和为Sk(k+1)2=1+(1+2)+⋯+(1+2+⋯+2k−1)=2k+1−k−2，要使k(k+1)2>100，有k≥14，此时k+2<2k+1，所以k+2是第k+1组等比数列1,2,⋯,2k的部分和，设k+2=1+2+⋯+2t−1=2t−1，所以k=2t−3≥14，则t≥5，此时k=25−3=29，所以对应满足条件的最小整数N=29×302+5=440，故选A.4．（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 由知，序列的周期为m，由已知，，对于选项A，，不满足；对于选项B，，不满足；对于选项D，，不满足；故选：C5．（2020·全国高考真题（文））数列满足，前16项和为540，则______________.【答案】【解析】分析：对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.详解：，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为， ，.故答案为：.6.（2021·全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项.（2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求.【详解】（1）由题设可得又，，故，即，即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以 .