数学一轮复习专题7.3 等比数列及其前n项和 （新教材新高考）（练）教师版

专题7.3等比数列及其前n项和练基础1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【解析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.2．（2021·山东济南市·）已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（）A．B．C．8D．16【答案】C【解析】设等比数列的公比为q，根据题意列方程，解出和q即可.【详解】解：设递增的等比数列{an}的公比为，且q1，∵S3＝，，∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）． 则＝＝8．故选：C．3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列的前项和为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设等比数列公比为，由结合已知条件求、，再利用等比数列前n项和公式求.【详解】设等比数列公比为，则，又，∴，故，又，即.故选：C4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.【详解】设等比数列的公比为q，则，所以，又，所以，故选：A.5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.” 其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（）A．6里B．24里C．48里D．96里【答案】D【解析】根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解可得，则；即此人第二天走的路程里数为96；故选：D．6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由可得出，取，由，进而判断可得出结论.【详解】若，则，即，所以，数列为递增数列，若，，所以，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列中，，且，则 ___________.【答案】【解析】由，，得到且，得出数列构成以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由，可得，又由，可得，所以，所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列，所以.故答案为：.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则_____，_______．【答案】【解析】利用求通项公式，再求出.【详解】对于，当n=1时，有，解得：1；当时，有，所以，所以，所以数列为等比数列，， 所以.故答案为：1，.9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则________，________．【答案】【解析】根据，求出数列的通项公式，再代入求出．【详解】解：因为当时，，解得；当时，，所以，即于是是首项为，公比为2的等比数列，所以．所以，故答案为：；；10.（2018·全国高考真题（文））等比数列an中，a1=1 ，  a5=4a3．（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和．若Sm=63，求m．【答案】（1）an=(-2)n-1或an=2n-1.（2）m=6.【解析】（1）设{an}的公比为q，由题设得an=qn-1．由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），q=-2或q=2．故an=(-2)n-1或an=2n-1．（2）若an=(-2)n-1，则Sn=1-(-2)n3．由Sm=63得(-2)m=-188，此方程没有正整数解． 若an=2n-1，则Sn=2n-1．由Sm=63得2m=64，解得m=6．综上，m=6．练提升TIDHNEG1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（）A．46B．47C．48D．49【答案】C【解析】 根据“数塔”的规律，可知第行共有个数，利用等比数列求和公式求出第行的数字之和，再求出前行的和，即可判断取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出；【详解】解：“数塔”的第行共有个数，其和为，所以前行的和为故前行所有数学之和为，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为，易知“数塔”前行共有个数，所以故选：C3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（）A．是递增数列B．是等比数列C．D．【答案】ACD【解析】将递推公式两边同时取指数，变形得到，构造等比数列可证为等比数列，求解出通项公式则可判断A选项；根据判断B选项；根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项；将的通项公式放缩得到，由此进行求和并判断D选项.【详解】因为，所以，从而，，所以，所以，又，是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，即，又因为在时单调递增，在定义域内单调递增，所以是递增数列，故A正确；因为，所以，所以，所以，所以不是等比数列，故B错误.因为，而，从而，于是，，故C正确.因为，所以，故D正确.故选：ACD.4.（2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析【解析】Ⅰ，当时，， 得，又，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，；证明：Ⅱ，，时，，，同理：，故：．5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列的前项和为，且满足，，其中.（1）若，求出；（2）是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）将代入，由递推关系求出通项公式，并检验当时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数，满足题意，结合已知条件求出满足数列是等比数列的实数， 的值，运用分组求和法求出的值.【详解】（1）由题可知：当时有：，当时，，又满足上式，故.（2）假设存在实数，满足题意，则当时，由题可得：，和题设对比系数可得：，，.此时，，故存在，使得是首项为4，公比为2的等比数列.从而.所以.6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列，满足，，设，（为实数）．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是递增数列，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由，变形为，再利用等比数列的定义证明； （2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；（3）根据是递增数列，由,恒成立求解.【详解】（1）因为，所以，即，又因为，所以，所以，所以是等比数列．（2）由，公比为2，得，所以．（3）因为，所以，所以，因为是递增数列，所以成立，故，成立，即，成立，因为是递减数列，所以该数列的最大项是，所以的取值范围是．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，…. 记第行第个数为.（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；（Ⅱ）求第行所有数的和.【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.【解析】（I）由数阵写出，，，由此可归纳出.（II），利用错位相减法求得结果.【详解】（Ⅰ）由数阵可知：，，，由此可归纳出.（Ⅱ），所以，错位相减得.8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列的前n项和为，且满足，，. （1）求的通项公式；（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.【答案】（1），；（2）数列的前2n项和为.【解析】（1）由可得可得答案；（2）由得，两式相除可得数列的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列的前2n项的和.【详解】（1）由，，得，所以.因为，所以，所以，.又当时，，适合上式.所以，.（2）因为，，所以，又，所以.所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.故数列的前2n项的和，所以数列的前2n项和为.9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列； （2）令，当取得最大值时，求的值.【答案】（I）见解析（2）最大，即【解析】（1）两式相减，得∴即：∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，即也满足上式令，则， ∴最大，即10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列满足，，数列满足，.（1）数列，的通项公式；（2）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.【答案】（1），；（2）最大值为44.【解析】（1）由题得数列是等比数列，即求出数列的通项；由题得是一个以为首项，以1为公差的等差数列，即得数列的通项公式；（2）先求出，再求出即得解.【详解】解：（1）由得，所以数列是等比数列，公比为， 解得.由，得，所以是一个以为首项，以1为公差的等差数列，所以，解得.（2）由得，记，，所以为单调递减且，，，所以，因此，当时，的的最大值为44；当时，的的最大值为43；故的的最大值为44.练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．2.（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（）A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（） A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．4．（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以．5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】(1)设等比数列的公比为q(q>1)，则，整理可得：，， 数列的通项公式为：.(2)由于：，故：.6．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得， 又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以.