数学一轮复习专题7.2 等差数列及其前n项和 （新教材新高考）（练）教师版

专题7.2等差数列及其前n项和练基础1．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列中，已知，则公差（）A．1B．2C．-2D．-1【答案】B【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式计算可得；【详解】解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得故选：B2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列的前项和为，若，，则公差等于（）A．0B．1C．D．【答案】B【解析】，解得，所以．故选：B.3.（2020·全国高三其他（理））已知为等差数列的前项和，若，则（）A．12B．15C．18D．21【答案】B【解析】由，得，所以. 故选：B.4．（2019·浙江高三会考）等差数列ann∈N*的公差为d，前n项和为Sn，若a1>0,d<0,S3=S9，则当Sn取得最大值时，n＝（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】根据题意，等差数列an中，S3=S9，则S9-S3=a4+a5+a6+a7+a8+a9=0，又由an为等差数列，则a4+a9=a5+a8=a6+a7=0，又由a1>0，d<0，则a6>0，a7<0，则当n=6时，Sn取得最大值；故选：C．5．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯【答案】A【解析】由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.【详解】解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则， ，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差数列前n项和，由S15>0，S16<0，得，∴，若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是，分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增，∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大．7．（2019·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.【答案】100【解析】得8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.【答案】4.【解析】因，所以，即， 所以．9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.【答案】64【解析】设{an}的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可.【详解】设{an}的公差为d.因为，即所以，所以.故答案为：64.10.（2018·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．练提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．【详解】解：令，，由，可得，所以，即，所以数列为等差数列，首项为，公差为1，所以，设，则数列是单调递增的等差数列，若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，此时数列为，，，，，，由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，由，则，，，，全为正，而， 这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．故选：B.2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元【答案】C【解析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（） A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据条件分析出当时，集合中的元素个数为，进而可得，再结合裂项相消法进行求和可得结果.【详解】因为，所以，所以在各个区间中的元素个数分别为：，所以当时，的值域为，集合中元素个数为：，所以，所以，故选：D.4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列的公差，为其前n项和，则的最小值为___________.【答案】8【解析】利用，求得的值，然后利用等差数列求和公式求得，利用函数图象得的最小值可能为，或，分别求出，，，得出最小值.【详解】 由于即,解得,故,作函数的图象，故的最小值可能为，或，而，，，故的最小值为.故答案为：8.5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.【答案】3【解析】当时，若有n个1，由题知，数列共有项，当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前项中含63个1，其余均为x，从而根据前项的和为求得x.【详解】当时，若有n个1，由题知，数列共有项，当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前项中含63个1，其余均为x，故该数列的前项的和为，解得.故答案为：36．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列的前项和为，满足 ，，（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，，求出，进而可出数列的通项公式；（2）由（1）可得，从而可求出【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则由，得相减得即，又，所以，由，得，解得，(舍去)由，得；（2）.7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，根据，求得，得到，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，利用累加法，求得，进而求得，利用裂项法求和，即可求解.【详解】（1）由题意，数列的前项和为，可得，，因为，所以，解得，所以，，因为当时，，所以.当时，符合上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，可得，所以，，，……，， 所以，又由，可得，当时，，满足上式，所以.所以，所以.8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）数列的前项和为，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.【详解】解：（1）由结合数列各项均为正数得则，所以数列是等差数列；（2），则公差∴， ∴.9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由求出的值，当时，由与的关系推导出数列为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得的通项公式；（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.【详解】（1）令，则，可得，得；当时，由可得，两式相减得，即，由数列的各项为正，可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．即数列的通项公式为；（2）由得，则有，因为， 因此，.10．（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1），（2）整数的最小值是11.【解析】（Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，又，所以，从而.（Ⅱ）因为，所以，当时，①②①-②可得，，即，而也满足，故.令，则，即，因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.练真题TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．【答案】【解析】 因为，所以．即．故答案为：.2．（2020·海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.3.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．【答案】0.-10.【解析】等差数列中,,得,公差,,由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.4.（2021·全国高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.【详解】 ∵数列是等差数列，设公差为∴，∴，∴当时，当时，，满足，∴的通项公式为，∴∴是等差数列.5.（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】 （1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.6.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意有，解答，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：