数学一轮复习专题3.4 幂函数 （新教材新高考）（练）教师版

专题3.4幂函数练基础1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（）A．幂函数y=x-1是奇函数B．幂函数y=x2是偶函数C．幂函数y=x既是奇函数又是偶函数D．y=既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为，，所以A正确；因为，所以B正确；因为不恒成立，所以C不正确；因为定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是()A．B．C．D．【答案】B【解析】A:为偶函数，且在上递增，即在上单调递减，排除；B:为偶函数，在上单调递增；C:为奇函数，故排除；D:为奇函数，故排除.故选:B. 3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数在上为增函数，则实数的值为（）A．0B．1C．1或2D．2【答案】D【解析】由题意为幂函数，所以，解得或.因为在上为增函数，所以，即，所以.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数的四种说法，其中错误的叙述是()A．的定义域和值域相等B．的图象关于原点中心对称C．在定义域上是减函数D．是奇函数【答案】C【解析】，函数的定义域和值域均为，A正确；，，函数为奇函数，故BD正确；在和是减函数，但在不是减函数，C错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数的图像经过点，则该函数的图像（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称【答案】B【解析】设，依题意可得，解得，所以，因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称.故选：B. 6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数的图像过点，则方程的解是（）A．4B．C．2D．【答案】A【解析】依题意得，解得，所以，由得，解得.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数在为增函数，则的值是（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得或，分别验证两种情况下在上的单调性即可得到结果.【详解】为幂函数，，解得：或；当时，，则在上为减函数，不合题意；当时，，则在上为增函数，符合题意；综上所述：.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（）A．幂函数图象一定过原点B．当时，幂函数是减函数C．当时，幂函数是增函数 D．函数既是二次函数，也是幂函数【答案】D【解析】由函数的性质，可判定A、B不正确；根据函数可判定C不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D正确.【详解】由题意，函数的图象不过原点，故A不正确；函数在及上是减函数，故B不正确；函数在上是减函数，在上是增函数，故C不正确；根据幂函数的定义，可得函数是二次函数，也是幂函数，所以D正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是（）A．[-1，+∞)B．[0，+∞)C．(-∞，+∞)D．(-∞，0)【答案】B【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f(x)=xα，因为幂函数的图象过点(3，)，所以f(3)=3α==，解得α=，所以f(x)=，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（） A．幂函数的图象都过点B．幂函数的图象都不经过第四象限C．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为，所以的幂函数都经过，故A正确；当时，，幂函数的图象都不经过第四象限，故B正确；的定义域为，为非奇非偶函数，故C错误；在和上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D错误.故选：AB练提升TIDHNEG1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　　)A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c【答案】D【解析】∵y＝x(x>0)是增函数，∴a＝>b＝.∵y＝x是减函数，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c.故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f(x)=xm的图象过点(2,4)，且a=m12，b=(13)m，c=-logm3，则a、b、c的大小关系是（）A．a>c>bB．b>c>aC．a>b>cD．c>a>b【答案】C 【解析】幂函数f(x)=xm的图象过点(2,4)，∴2m＝4，m＝2；∴a=m12=2>1，b=(13)m=19∈0,1，c=-logm3＝﹣log23＜0，∴2＞19＞-log23，∴a>b>c．故选：C．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由可得，∴，∴，即.由此可知函数在上单调递增.而由换底公式可得，，，∵，∴，于是，又∵，∴，故，，的大小关系是.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数，其中，，为奇数，其图象大致为（） A．B．C．D．【答案】B【解析】分析在、上的函数值符号，及该函数在上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意，，由于，为奇数，当时，，此时，当时，，此时，排除AC选项；当时，任取、且，则，，所以，所以，函数在上为增函数，排除D选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数，满足，且，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】 解：∵函数，在时单调递增，且，∴，故A正确；∵函数，在时单调递减，且，∴，故B错误；当时，，故C错误；当时，，故D错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A．函数为增函数B．函数为偶函数C．若，则D．若，则.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.当时，，即，所以C正确.当若时，=.=.==.即成立，所以D正确. 故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，且幂函数在上单调递增，则实数的取值可能是（）A．1B．C．2D．【答案】AD【解析】作出的图象，根据方程根的个数判断参数的取值，再结合函数在上单调递增，即可求解出结果．【详解】当时，，，当时，当时所以在上单调递减，在上单调递增，最小值为；所以的图象如图所示，因为有且仅有一个实数解，即的图象与有且只有一个交点，所以，又因为在上单调递增，所以，所以.故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈13,12,-1,-2,3，若fx=xα为偶函数，则α=______．【答案】-2【解析】由题可知，α=-2时，fx=x-2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数； α=13,12,-1,3时，不满足f(-x)=f(x),∴α=-2．故答案为：-2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上函数值随着x的增大而减小.（1）求m值.（2）若满足，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知为负偶数，且，即可求得m值；（2）将所求不等式化为，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数在上单调递减，所以，解得.又因为，所以，；因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数，故.（2）由（1）可知，，所以得，解得或，即a的取值范围为.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数在上单调递增，函数．（1）求m的值；（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围． （3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性即得解.（2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得，根据二次函数的性质，分类讨论和两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：，或，当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；当时，在上单调递增，符合题意；综上可知：.（2）由（1）得：，当时，，即，当时，，即，由命题是成立的必要条件，则，显然，则，即，所以实数k的取值范围为：.（3）由（1）可得，二次函数的开口向上，对称轴为，要使在上单调递增，如图所示： 或即或，解得：或.所以实数k的取值范围为：练真题TIDHNEG1.（2019·全国高考真题（理））若a>b，则（）A．ln(a−b)>0B．3a<3bC．a3−b3>0D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．2．（2020·天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】 注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D. 3.（2020·江苏高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.【答案】【解析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为为奇函数，所以故答案为：4.(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝.【答案】-1【解析】∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数，则，的最小值是．【答案】【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．【答案】－1或【解析】 试题分析：设点，则令令（1）当时，时取得最小值，，解得（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，解得综上可知：或所以答案应填：-1或.