数学一轮复习专题2.2 基本不等式及其应用 （新教材新高考）（练）教师版

专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知，，则的（）A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是【答案】B【解析】由题意得，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知均为正实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】取可得由推不出，反过来，由基本不等式可得由能推出，然后可选出答案.【详解】取，则，但，所以由推不出，反过来，若，则，当且仅当时取等号， 所以由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积是，则的三个内角大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由的面积是，利用面积公式及基本不等式判断出，由b=c得.【详解】因为，所以（当且仅当b=c时取等号）.而的面积是,所以，即，所以，因为A为三角形内角，所以.又因为b=c，所以.故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数，满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由，令，因此，因为，所以，因此的最小值是， 故选：D5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.【详解】因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，所以年平均利润当且仅当时等号成立，即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8，故选：D6．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求出，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果.【详解】令，即，得，则，则且，，由．当且仅当，时，等号成立， 故选：C7.【多选题】（2021·福建南平市·高三二模）已知，，，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由、结合条件等式可判断A、B，由结合条件等式可判断C、由结合条件等式可判断D.【详解】对于A，B，由，，利用基本不等式，可得，解得，又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故B正确，A错误：对于C，由，，利用基本不等式，变形得（当且仅当时，等号成立），解得，即，故C正确；对于D，由，，利用基本不等式化简得（当且仅当时，等号成立），解得，故D错误；故选：BC8．【多选题】（2021·河北高三三模）已知正数满足，则（） A．B．C．D．【答案】ACD【解析】A：由条件等式得，结合基本不等式即可判断正误；B：由题设及A得，令有即可判断正误；C：结合A，易得，由基本不等式即可判断正误；D：通过基本不等式证，进而可判断D的正误.【详解】A：由，又，得，所以，正确；B：由，当时有，此时，错误；C：由，所以，正确；D：由，所以，正确.故选：9．【多选题】（2021·辽宁高三一模）已知，且，则下列不等式正确的（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】利用基本不等式证明判断．【详解】因为，，当且仅当时等号成立，所以，A正确；由得，，同理，，当且仅当 ，即时等号成立，B正确；满足题意，但，C错；由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以．D正确．故选：ABD10．（2021·天津高三二模）已知正实数，满足，则的最小值为______．【答案】10【解析】先把整理为，对，利用基本不等式求出最小值，即可求出的最小值.【详解】∵正实数，满足，∴（当且仅当，即时取等号）∴.故答案为：10.练提升TIDHNEG1．（2021·江苏高三三模）在正方形中，为两条对角线的交点，为边上的动点.若，则的最小值为（） A．2B．5C．D．【答案】C【解析】以点为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，求出已知点的坐标，然后设出点的坐标，代入已知关系式，即可求出，的关系式，然后根据基本不等式即可求解．【详解】如图所示，以点为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则，，，，则根据中点坐标公式可得，设点的坐标为，则由，可得，，，所以，则，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为，故选：C2．（2021·河北保定市·高三二模）已知圆弧与函数和函数的图象分别相交于，，其中且，则的最小值为（）A．B．C．D．4【答案】B【解析】 由函数与函数互为反函数可得，然后可得，然后利用基本不等式的知识求解即可.【详解】因为函数与函数互为反函数，所以关于对称所以因为，在圆弧上所以，所以所以当且仅当，即时等号成立故选：B3．（2021·四川达州市·高三二模（理））已知是圆上的点，下列结论正确的是（）A．B．最大值是C．D．【答案】C【解析】根据基本不等式，可得判定A、B不正确；根据指数函数与对数函数的性质，结合不等式的性质，可判定C正确，D不正确.【详解】根据题意，点是圆上的点，可得，由，可得，当且仅当时等号成立，所以A不正确；由，当且仅当，即时等号成立，即最小值是，所以B不正确；由，可得，则， 又由，所以，根据指数函数的性质，可得成立，所以C正确；由，又由，因为，可得符合不确定，所以和大小不确定，所以D不正确.故选：C.4．（2021·江西上饶市·高三三模（理））己知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（）A．10B．9C．8D．4【答案】C【解析】先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.【详解】因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，所以当且仅当，即时等号成立．故选：C5．（2021·浙江高三三模）已知正实数满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.【详解】 ，因为，所以，因为，所以，因此，因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），故选：A6．【多选题】（2021·福建厦门市·高三三模）已知正数，满足，则（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】利用基本不等式证明不等式，判断选项AC的正误；利用，根据选项BD分别构造函数，利用导数研究单调性和最值情况来判断选项BD的正误.【详解】正数，满足，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误；由知，，构造函数，则， 故时，，单调递减；时，，单调递增.所以，故时，有，B正确；由，当且仅当时等号成立，故，故，当且仅当时取等号，而，所以，C正确；由知，，构造函数，则，由指数函数性质可知单调递增，又，故时，，单调递减；时，，单调递增.故，即，D正确.故选：BCD.7．【多选题】（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（）A．的图象关于轴对称B．的图象关于原点对称C．的图象关于直线对称D．的值域为【答案】AD【解析】对于A，B，先求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，从而可得结论；对于C，分别求解和，若相等，则的图象关于直线对称，否则的图象不关于直线对称；对于D，利用基本不等式判断即可 【详解】由题意知的定义域为，且关于原点对称.又，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以A正确，B错误.因为，，所以，所以函数的图象不关于直线对称，C错误.当时，，当且仅当，即时取等号，所以，当时，，当且仅当，即时取等号，所以，所以的值域为，所以D正确.故选：AD8．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）若非负实数，，满足，则下列说法中一定正确的有（）A．的最小值为B．的最大值为C．的最大值为D．的最大值为【答案】ACD【解析】由已知条件结合基本不等式及相关结论，即可作出判断．【详解】 对于A，由，，，得，两边同时加上，可得，所以，当且仅当时取等号，所以A正确.对于B，易得，所以，当且仅当，时取等号，所以B不正确.对于C，由，两边同时加上，得，所以，当且仅当时取等号，所以C正确.对于D，易得，令，，所以，记，，利用导数易求得，所以D正确.故选：ACD9．（2021·山东高三二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为___________米时看A，B的视角最大.【答案】【解析】根据题意，，分别求得，表达式，即可求得 表达式，结合基本不等式，即可得答案.【详解】过C作，交AB于D，如图所示：则，设，在中，，在中，，所以，当且仅当，即时取等号，所以取最大值时，最大，所以当离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大.故答案为：10．（2021·山东高三其他模拟）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.问题：在中，分别为内角的对边，若，_________，求的周长的最大值.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析. 【解析】若选条件①，由正弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得的值，由此求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值.若选条件②，利用余弦定理求得的值，进而求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值.若选条件③，利用同角三角函数的基本关系式、余弦定理求得的值，进而求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值.【详解】若选条件①，由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，整理得，所以，因为，所以.因为，由余弦定理得，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为.若选条件②，因为，所以，整理得，所以，因为，所以.因为，由余弦定理得，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为. 若选条件③，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以.因为，由余弦定理得，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为.练真题TIDHNEG1．（2019年高考浙江卷）若，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.2．【多选题】（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD3．（山东省高考真题）定义运算“”：（）.当时，的最小值是.【答案】【解析】由新定义运算知，，因为，，所以，，当且仅当时，的最小值是.4．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】 ，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：5．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．【答案】【解析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【详解】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.6.（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1），.均不为，则，；（2）不妨设，由可知，，，.当且仅当时，取等号，，即.