数学一轮复习专题9.4 双曲线 （新教材新高考）（练）教师版

专题9.4双曲线练基础1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，所以.故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的程为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（） A．B．C．2D．3【答案】A【分析】易得的坐标为，设点坐标为，求得，由可得，然后由a，b，c的关系求得，最后求得离心率即可.【详解】的坐标为，设点坐标为，易得，解得，因为直线与轴垂直，且，所以可得，则，即，所以，离心率为．故选：A.4．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以， 所以双曲线的离心率.故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线（a＞0）的离心率是则a=（）A．B．4C．2D．【答案】D【解析】∵双曲线的离心率，，∴，解得，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）．A.2B.C.4D.【答案】C【解析】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】.【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为_________．【答案】【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，.故答案为：练提升TIDHNEG1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段的中点为E，直线交x轴于 ，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得M为的重心，∴，又，∴，即.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为，所以所以.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆经过点，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意可设，根据圆的性质有，利用向量垂直的坐标表示，列方程求即可.【详解】 由题设，渐近线为，可令，而，，∴，，又，∴.故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径因为圆上有且仅有两点到的距离为1，所以圆心到的距离的范围为即，而所以，即故选C项. 6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（）A．若，则的离心率为B．若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切C．若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标D．若为直线（）上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小【答案】ABD【分析】由，得到，利用离心率的定义，可判定A正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C不正确；由正弦定理得到外接圆的半径为，得出最大时，最小，只需最大，设，得到，结合基本不等式，可判定D正确．【详解】对于A中，因为，所以，故的离心率，所以A正确；对于B中，因为到渐近线的距离为，所以B正确；对于C中，设内切圆与的边分别切于点，设切点，当点在双曲线的右支上时，可得，解得，当点在双曲线的左支上时，可得，所以的内切圆圆心的横坐标，所以C不正确；对于D中，由正弦定理，可知外接圆的半径为，所以当最大时，最小，因为，所以为锐角，故最大，只需最大． 由对称性，不妨设（），设直线与轴的交点为，在直角中，可得，在直角中，可得，又由，当且仅当，即时，取最大值，由双曲线的对称性可知，当时，也取得最大值，所以D正确．故选：ABD．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（）A．点的轨迹是椭圆B．点的轨迹是双曲线C．当点满足时，的面积D．当点满足时，的面积【答案】BCD【分析】根据的结果先判断出点的轨迹是双曲线，由此判断AB选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出的值，即可求解出，据此可判断CD选项.【详解】依题意，，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得， 当点在线段的延长线上时，，当点在线段的延长线上时，，从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线，故A错，B对；选项C，点的轨迹方程为，当时，，所以，故C对；选项D，当时，，所以，故D对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线的焦距为4，且其渐近线与圆相切，则双曲线的标准方程为______．【答案】【分析】根据焦距，可求得c值，根据渐近线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a，b，c的关系，即可求得a，b值，即可得答案.【详解】因为双曲线的焦距为4，所以．由双曲线的两条渐近线与圆相切，可得．又，所以，，所以双曲线的标准方程为．故答案为：9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为， ，离心率为，若双曲线上一点使，则的值为______．【答案】3【分析】在中，设，则或．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得．在中，设，则或．当时，由余弦定理，得，解得，所以．当时，由余弦定理，得，无解．故．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以为直径的圆有一内接梯形，且．若双曲线以，为焦点，且过，两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为______．【答案】【分析】连接，设，将梯形的周长表示成关于的函数，求出当时，有最大值，即可得到答案；【详解】连接，设，，作于点，则，，所以，梯形的周长． 当，即时，有最大值，这时，，，，．故答案为：练真题TIDHNEG1.（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以， 由，解得，即．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由．，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A．5.（2021·全国高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．【答案】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故答案为：6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图， 由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．