数学一轮复习专题7.6 数学归纳法 （新教材新高考）（练）教师版

专题7.6数学归纳法练基础1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.【详解】当时，左边，共个连续自然数相加，当时，左边，所以从到，等式左边需增添的项是.故选：C.2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）A．n=k+1时等式成立B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立D．n=2(k+2)时等式成立【答案】B【解析】直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．【详解】解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立， 不是，因为是偶数，是奇数，故选：．3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（）A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1【答案】C【解析】根据数学归纳法、不等式特点知有左侧，有左侧，即可判断增加的项数.【详解】时，左边=，而n＝k＋1时，左边＝，增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选：C.4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（）A．B．C．D．【答案】B【解析】各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.【详解】 根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当时，左端值为，右端为，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.故选：B.5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“”的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用数学归纳法证明“”的过程中，假设“”成立;当时，左边为故增加的项数为项.故答案为：C.6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．【答案】5【解析】分别写出和时的对应的结果，再比较差异，得到答案.【详解】当时，原式为：，当时，原式为，比较后可知多了，共5项.故答案为：57.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足 ，则数列的通项公式为______________．【答案】【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，猜想得，故，下面用数学归纳法证明：①，满足，②假设时，结论成立，即，可得，则，，也满足，结合①②可知，，故答案为．8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列an中，a1=1,an+1=1+an1+ann∈N*用数学归纳法证明：an<an+1n∈N*.【答案】见解析.【解析】当n=1时，a2=1+a11+a1=32，a1<a2，所以，n=1时，不等式成立；假设n=k（k∈N*）时，ak<ak+1成立，则当n=k+1时，ak+2-ak+1=1+ak+11+ak+1-ak+1=1+ak+11+ak+1-(1+ak1+ak)=11+ak-11+ak+1=ak+1-ak(1+ak)(1+ak+1)>0，所以，n=k+1时，不等式成立．综上所述，不等式an<an+1(n∈N*)成立． 9.（2021·全国高三专题练习）数列满足.（1）计算，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】(1)；；；.(2)证明见解析.【详解】分析：（1）将n进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可.详解：（1）当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；由此猜想；（2）证明：①当时，结论成立，②假设（，且）时结论成立，即，当时，，∴，∴，∴当时结论成立， 由①②可知对于一切的自然数，成立.10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{an}满足：，点在直线上．（1）求的值，并猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．【答案】（1），，；；（2）证明见解析.【解析】（1）先将点坐标代入直线方程，得到递推关系，再依次求出前几项，猜想通项公式；（2）结合递推关系，用数学归纳法证明.【详解】(1)点在直线上可知，数列满足：，，．可猜得．(2)当时，成立，假设当时，成立，则当时，成立，就是说，猜想正确；综上，．练提升TIDHNEG1．（2021·全国）已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.【详解】因为数列满足，，若，则，不满足，故A错误；若，则，，，不满足，故D错误；又此时，不满足，故B错误；因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；构造函数，，，所以，则在上显然恒成立，所以在上单调递增；因此在上单调递增，所以，猜想，对任意恒成立；下面用数学归纳法证明：（1）当时，，显然成立；（2）假设当时，不等式成立，即恒成立；则时，，因为函数在上单调递增； 所以，即成立；由（1）（2）可得；，对任意恒成立；故C正确.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列，满足，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】转化条件为，令，通过导数可得单调递增，通过数学归纳法可证明如果，则，再令，通过导数证明后，适当放缩可得，进而可证明，即可得解.【详解】因为，所以，令，则，当时，，单调递增，由题意，， 如果，则，设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，因为，所以，所以，所以对于任意的，均有，所以.故选：B.3．（2020·浙江省桐庐中学）数列满足，，则以下说法正确的个数（）①；②；③对任意正数，都存在正整数使得成立；④.A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】 利用二次函数的性质及递推关系得，然后作差，可判断①，已知等式变形为，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．【详解】，若，则，∴，∴，①正确；由已知，∴，②正确；由及①得，，∴，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，③正确；(i)已知成立，(ii)假设，则，又，即，∴，由数学归纳法思想得④正确．∴4个命题都正确．故选：D．4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项错误的是（）. A．是单调递增数列，是单调递减数列B．C．D．【答案】C【解析】设，则有，，，构建，求导分析可知导函数恒大于零，即数列，都是单调数列，分别判定，，即得单调性，数列与的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证，即可证得.【详解】∵，，∴，，，设，，，则，令，则，∴单调递增，将，看作是函数图象上两点，则，∴数列，都是单调数列，，同理，，，即，，∴单调递增，单调递减，而数列与的单调性一致，∴是单调递增数列，是单调递减数列，A正确； 由得，要证，即证，即，即证，也即要证，等价于，显然时，，时，，故成立，∴不等式成立．B正确；欲证，只需证，即即，显然成立，故，所以，故C选项错误；欲证，因单调性一致则只需证，只需证因为，若，则；又因为，若，则，由数学归纳法有，则成立故D选项正确。故选：C5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集 的所有非空子集的“积数”的和为___________.【答案】1010【解析】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和，由此即可计算得到答案.【详解】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和当时，，成立；假设时，当时，综上可得，，则数集的所有非空子集的“积数”的和为：故答案为：1010.6．（2021·浙江高三期末）已知数列满足，前项和为，若，且对任意的，均有，，则_______；______.【答案】12146【解析】由递推关系计算出，再计算出，然后可以计算，归纳出 的通项公式（可用数学归纳法证明），求得和．【详解】因为，，由已知，，，，，，，，，归纳结论，，证明：（1），由上面知已经成立；假设时，假设成立，即，，则，，，由数学归纳法知，，对一切成立．．故答案为：1；2146．7．（2020·江苏南通·高三其他）数列的前n项和为，记，数列满足，，且数列的前n项和为．（1）请写出，，满足的关系式，并加以证明；（2）若数列通项公式为，证明：．【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1），，之间满足的关系式是：，证明如下：当时，，所以成立，假设当时，成立，即，当时， ，所以成立，所以成立.（2）由（1）得，即，因为，所以，当时，，成立；假设当时，成立，，当时，，所以当时，不等式成立，所以.证毕.8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明 【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）由题意，得，即，解得或，已知故．，．当时，，当时，，当时，满足上式，，．（2）法1．，，累加得当，，当，∴法2．先用数学归纳法证明当，．①当时，，左式>右式，不等式成立． ②假设时，不等式成立，即当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立．③由①②得证当，．.9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，，证明：，．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，，成等差数列，即，当时，，两式相减得，所以是公比为2的等比数列，即，即，由，得，所以的通项公式．（2）方法一（放缩法）：因为，，所以，当时， 所以，当时，，取到“”号，综上所述，，方法二（数学归纳法）：因为，，所以，当时，左边，右边，原不等式成立；假设当时，原不等式成立，即，那么，当时，左边，即时也成立，由此可知，原不等式对于任意的均成立． 10.已知点Pn(an,bn)满足an+1=an.bn+1，bn+1=bn1-4an2(n∈N*)，且点P1的坐标为(-1,1).（1）求过点P1,P2的直线的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在（1）中的直线l上.【答案】（1）2x+y-1=0.（2）见解析.【解析】(1)由P1的坐标为(1,−1)知：a1=1，b1=−1.∴b2=b11-4a12=13,a2=a1⋅b2=13.∴点P2的坐标为13,13.∴直线l的方程为2x+y-1=0.(2)要证明原问题成立只需证明点Pn都满足2x+y=1即可.①当n=1时，2a1+b1=2×1+(−1)=1，成立.②假设n=k(k∈N*,k⩾1)时，2ak+bk=1成立，即bk=1-2ak成立，则2ak+1+bk+1=2ak⋅bk+1+bk+1=bk1-4ak22ak+1=bk1-2ak=1-2ak1-2ak=1，∴当n=k+1时，命题也成立.由①②知，对n∈N∗，都有2an+bn=1，即点Pn在直线l上.练真题TIDHNEG1．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【答案】（1），，，证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立； 假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.2.（2017浙江）已知数列满足：，．证明：当时（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：当时，假设时，，那么时，若，则，矛盾，故．因此所以因此 （Ⅱ）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此故（Ⅲ）因为所以得由得所以故综上，．3．(湖北省高考真题)已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,,证明：．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）；；．（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）的定义域为，． 当，即时，单调递增；当，即时，单调递减．故的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，，即．令，得，即．①（Ⅱ）；；．由此推测：．②下面用数学归纳法证明②．（1）当时，左边右边，②成立．（2）假设当时，②成立，即．当时，，由归纳假设可得．所以当时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得，即． 4.（2021·全国高三专题练习）设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【答案】（1），，，证明见解析；（2）.【解析】（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.5.(江苏省高考真题)已知函数，设为的导数，．（Ⅰ）求的值； （2）证明：对任意的，等式成立．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明：见解析.【解析】（Ⅰ）由已知，得于是所以故（Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得，，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即.因为，所以.所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.令，可得().所以()． 6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推.（1）写出点和的坐标；（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.【答案】（1），，；，，；（2），证明见解析.【解析】（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果；（2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论.【详解】（1）由得：，即；直线方程为：，即，令，解得：，； 直线方程为：，由得：，即；直线方程为：，即，令，解得：，；直线方程为：，由得：，即；直线方程为，即，令，解得：，；（2）由（1）猜想的坐标为，设，，则直线的方程为：，令，解得：，，直线的斜率为，即，即，，用数学归纳法证明的坐标如下：①当时，满足；②假设当时，成立，那么当时，由得：，解得：，即当时，成立； 综上所述：.