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数学一轮复习专题7.5 数列的综合应用 (新教材新高考)(练)教师版

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专题7.5数列的综合应用练基础1.(2021·浙江高三专题练习)已知正项等差数列和正项等比数列},,是,的等差中项,是,的等比中项,则下列关系成立的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】设等差数列公差为d,等比数列公比为q,由题意可得:,进而可得结果.【详解】设等差数列公差为d,等比数列公比为q,由题意可得:A.,故A不正确;B.,故B正确;C.,故C不正确;D.,故D不正确.故选:B2.(2021·江西赣州市·高三二模(理))朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是()A.5B.6C.7D.8 【答案】D【解析】把各层的铅笔数看出等差数列,利用求和公式得到,由n为264的因数,且为偶数,把四个选项一一代入验证即可.【详解】设最上面一层放根,一共放n(n≥2)层,则最下一层放根,由等差数列前n项和公式得:,∴,∵,∴n为264的因数,且为偶数,把各个选项分别代入,验证,可得:n=8满足题意.故选:D3.【多选题】(2020·湖南高三月考)在“全面脱贫”行动中,贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元,用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的,每月月底需缴纳房租600元和水电费400元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续.设第月月底小王手中有现款为,则下列论述正确的有()(参考数据:)A.B.C.2020年小王的年利润为40000元D.两年后,小王手中现款达41万【答案】BCD【解析】由题可知,月月底小王手中有现款为,月月底小王手中有现款为之间的递推关系为,,进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.【详解】 对于A选项,元,故A错误对于B选项,第月月底小王手中有现款为,则第月月底小王手中有现款为,由题意故B正确;对于C选项,由得所以数列是首项为公比为1.2的等比数列,所以,即所以2020年小王的年利润为元,故C正确;对于D选项,两年后,小王手中现款为元,即41万,故D正确.故选:BCD.4.(2021·江西高三其他模拟(理))已知公差不为0的等差数列的部分项,,,……构成等比数列,且,,,则___________.【答案】【解析】设等差数列的公差为,则,由等比数列的性质列式求得.然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得.【详解】解:设等差数列的公差为,则,由已知,即,得,于是,在等比数列中, 公比.由为数列的第项,知;由为数列的第项,知,,故.故答案为.5.(2021·西安市经开第一中学高三其他模拟(理))数列满足:,点在函数的图像上,其中为常数,且(1)若成等比数列,求的值;(2)当时,求数列的前项的和.【答案】(1);(2).【解析】(1)首先由条件,列式表示为,,,再根据数列是等比数列求的值;(2)由条件,归纳可知,再求数列的前项的和.【详解】解:(1)由可得,,,所以,,.又,,成等比数列,所以,则,又,故.(2)时,,∴,,…,,.6.(2021·江苏高考真题)已知数列满足,且. (1)求证:数列为等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2);(3)【解析】(1)计算得到,得到答案.(2),得到数列通项公式.(3)根据分组求和法计算得到答案.【详解】(1)由,得,∴,又,∴是首项为3,公比为3的等比数列.(2),∴.(3).7.(2021·全国高三其他模拟(理))已知在等差数列中,为其前项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)若数列的前项和为且求的取值范围.【答案】(1);(2),.【解析】(1)由条件求得公差,写出通项公式;(2)求出通项公式,利用分组求和求得,且单增,找到符合的最小n值即可.【详解】(1)由等差数列性质知,,则, 故公差,故(2)由(1)知,易知单调递增,且,,故,解得,.8.(2021·太原市·山西大附中高三其他模拟)在数列中,.等差数列的前两项依次为,.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和.【答案】(1)cn=8n-10;(2)Sn=(4n-9)×2n+2+36.【解析】(1)根据递推公式计算,,利用等差数列公式计算得到答案.(2)将题目中两式相加得到,故是首项为2,公比为2的等比数列,计算得到通项公式,再利用错位相减法计算得到答案.【详解】解(1)∵a1=b1=1,∴,则数列{cn}的公差d=6-(-2)=8.∴数列{cn}的通项公式为cn=-2+8(n-1)=8n-10.(2)an+1=3an-bn-3n-1,①bn+1=3bn-an+3n+1,②①+②,得an+1+bn+1=2(an+bn). ∵a1+b1=2,∴数列{an+bn}是首项为2,公比为2的等比数列,∴an+bn=2n.∴Sn=-2×2+6×22+…+(8n-10)×2n,则2Sn=-2×22+6×23+…+(8n-10)×2n+1,∴Sn-2Sn=-4+8(22+23+…+2n)-(8n-10)×2n+1,即-Sn=-4+8(2n+1-4)-(8n-10)×2n+1=(18-8n)×2n+1-36,∴Sn=(4n-9)×2n+2+36.9.(2021·重庆高三三模)已知数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式:(2)设,数列的前项和为,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】(1)利用,求得数列的通项公式.(2)求得数列的通项公式,进而利用裂项求和法求得,结合数列的单调性证得.【详解】(1)解:,令,解得时,两式相减,得数列是以为首项,为公比的等比数列,所以;(2)证明单调递增,所以1即10.(2021·沂水县第一中学高三其他模拟)在数列中,,且 成等比数列.(1)证明数列是等差数列,并求的通项公式;(2)设数列满足,其前项和为,证明:.【答案】(1)证明见解析;;(2)证明见解析.【解析】(1)利用已知条件推出数列是等差数列,其公差为,首项为1,求出通项公式,结合由,,成等比数列,转化求解即可.(2)化简通项公式,利用裂项消项法,求解数列的和即可.【详解】证明:(1)由,得,即,所以数列是等差数列,其公差为,首项为1,因此,,,由成等比数列,得,即,解得或(舍去),故.(2)因为,所以因为,所以.练提升TIDHNEG1.(2021·河南郑州市·高三三模(文))1967年,法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长?》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形” ,并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色,事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段AB的长度为1,在线段AB上取两个点C,D,使得,以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形,然后去掉线段CD,得到图2中的图形;对图2中的线段EC、ED作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为,对任意的正整数n,都有,则a的最小值为__________.【答案】2.【解析】根据图形之间的关系可得的递推关系,从而可求的通项公式,故可求a的最小值.【详解】设第个图形中新出现的等边三角形的边长为,则当时,,设第个图形中新增加的等边三角形的个数为,则当时,,故,其中,由累加法可得,时,也符合该式,故,故对任意的恒成立,故即a的最小值为2.故答案为:2. 2.(2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考)已知数列是公差不为0的等差数列,其前项和为,满足,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,数列的前项和为,实数使得对任意恒成立,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)先利用已知条件求出公差d,再利用求通项公式即可;(2)先计算通项公式,利用裂项相消法求,代入化简数列不等式为对任意恒成立,再求最小值即得结果.【详解】解:(1)设数列的公差为,因为是等差数列,所以,故,又,,成等比数列,所以,故,将代入得,即,又知,故,所以;(2)由(1)知,,故,所以,即,故,即对任意恒成立,而在上单调递增, 故在时单调递增,,所以,故的取值范围为.3.(2021·全国高三其他模拟)有下列三个条件:①数列是公比为的等比数列,②是公差为1的等差数列,③,在这三个条件中任选一个,补充在题中“___________”处,使问题完整,并加以解答.设数列的前项和为,,对任意的,都有___________.已知数列满足,是否存在,使得对任意的,都有?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】根据等差、等比数列的通项公式以及数列单调性来找到数列的最大项,题干中有3个条件,选取一个进行分析即可.【详解】记,从而有().选择①,数列是公比为的等比数列,因为,所以,即.所以,所以.由,当时,,当时,,所以当或2时,取得最大值,即取得最大值. 所以存在,2,使得对任意的,都有.选择②,方法一:是公差为1的等差数列,因为,所以,当时,,则,当时,上式成立,所以.所以,从而.由,所以当时,;当时,,所以当时,取得最大值,即取得最大值.所以存在,使得对任意的,都有.方法二:利用“夹逼法”,即利用来求解.,由(),得,解得.选择③,方法一:,则,从而, 即.又,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列,所以.所以,从而,即,所以数列为单调递增数列,故不存在,使得对任意的,都有.方法二:利用求解.,,则,因为,所以不存在,使得对任意的,都有.4.(2021·四川自贡市·高三三模(文))已知数列{an}的前n项和为Sn,,数列{bn}是等差数列,且b1=a1,b6=a5.(1)求数列和的通项公式;(2)若,记数列{cn}的前n项和为Tn,证明:3Tn<1.【答案】(1);;(2)证明见解析.【解析】(1)首先利用时,求得,进而得到数列为公比为2的等比数列,最后根据首项和公比写出通项公式即可,再根据b1=a1,b6=a5求得的公差,再写出的通项公式.(2)根据裂项相消求和,最后证明不等式即可.【详解】 解:(1)由,可得n=1时,,解得,n≥2时,,又,两式相减可得,即有,数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以;设等差数列{bn}的公差为d,且b1=a1=1,b6=a5=16,可得,所以;(2)证明:所以则3Tn<1.5.(2021·全国高三其他模拟)在①;②;③成等差数列这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.问题:数列{an}是各项均为正数的等比数列,前n项和为Sn,a1=2,且___.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若(),求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(1);(2).【解析】(1)若选①,由,有,两式相减,可得数列为等比数列,再由首项可求通项; 若选②,由,得,再由首项可求通项;若选③,由成等比数列,得,再由首项可求通项.(2)先带入化简,再裂项求和即可.【详解】(1)若选①,由,有,两式相减并整理有,可知数列是首项为2,公比也为2的等比数列,所以;若选②,因为数列是等比数列,且首项为2,由,有,即,得,所以数列是首项为2,公比也为2的等比数列,所以;若选③,由成等比数列,有,即,因为有,所以有,解得,(舍),数列是首项为2,公比也为2的等比数列,所以.(2)因为,,所以.6.(2021·宁波市北仑中学高三其他模拟)已知数列满足,记数列的前项和为,(1)求证:数列为等比数列,并求其通项; (2)求的前项和及的前项和为.【答案】(1)证明见解析;;(2);.【解析】(1)根据题中条件,推出,即可证明数列为等比数列,从而可求出其通项公式;(2)根据(1)的结果,由错位相减法,即可求出;设,先由题中得到的通项,再由分组求和法计算,根据求,进而可得.【详解】(1)因为,,,所以,又,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,因此;(2)由(1)可得①,则②,①②得,则;设, 则,所以;;因此.7.(2021·湖北高三其他模拟)在等比数列{an}中,公比,其前n项和为Sn,且S2=6,___________.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设,且数列{cn}满足c1=1,cn+1﹣cn=bn+1bn,求数列{cn}的通项公式.从①.S4=30,②.S6﹣S4=96,③.a3是S3与2的等差中项,这三个条件中任选一个,补充到上面问题中的横线上,并作答.【答案】(1);(2).【解析】(1)选条件①时,利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式;选条件②时,利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式;选条件③时,利用等差中项的应用求出数列的通项公式.(2)由(1),得,则,利用累加法结合裂项相消法,可求出数列{cn}的通项公式.【详解】解:(1)若选条件①时,由S2=6及S4=30,得a1+a2=6,a1+a2+a3+a4=30,两式相减,得a3+a4=24,即q2(a1+a2)=24,所以q2=4,由,解得,代入a1+a2=6,得a1+2a1=6,解得a1=2,所以数列{an}的通项公式为. 若选条件②时,S6﹣S4=96.因为S6﹣S4=a5+a6=96,a1+a2=6,所以,a1+a1q=6,两式相除,得q4=16,结合q>0,得q=2,所以a1+2a1=6,解得a1=2,所以数列{an}的通项公式为.若选条件③时,a3是S3与2的等差中项.由a3是S3与2的等差中项,得2a3=S3+2,则2a3=a1+a2+a3+2,由a1+a2=6,得a3=8,由通项公式,得a1+a1q=6,,消去a1,得3q2﹣4q﹣4=0,结合q>0,解得q=2,代入a1+a1q=6,得a1=2,所以数列{an}的通项公式为.(2)由(1),得,,所以当时,cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+(c4﹣c3)++(cn﹣cn﹣1).又c1=1也适合上式,故数列{cn}的通项公式是.8.(2021·全国高三其他模拟)从①,②,③中任选一个填入下面的空中,并解答.设等比数列的公比,且____.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和. 【答案】(1)(2)答案不唯一,具体见解析.【解析】(1)根据可得关于的方程,两个方程解出两个未知数;(2)若选①②,结合表达式的特点,可用错位相减法求和,若选③,,可用分组求和法解题.【详解】(1)设的公比为,因为,故,即,解得或舍去,所以(2)设的前项和为,若选①,,两式相减得所以若选②,两式相减得 ,所以.若选③当为偶数时,当为奇数时,,所以9.(2021·浙江高三其他模拟)已知数列{}满足,且=,n∈(是等比数列,是等差数列),记数列{}的前n项和为,{}的前n项和为,若公比数q等于公差数d,且(1)求数列{}的通项公式;(2)记为数列{}的前n项和,求(n≥2,且n∈)的最小值.【答案】(1)+;(2)【解析】(1)根据已知条件以及等差数列等比数列的通项公式可求出,进而可以求得数列{}的通项公式;(2)求得,进行变形,然后令=1,接下来与作差,然后构造函数,分类讨论即可求出最值.【详解】(1)由题意得.....①;......②将代入②式中,解得=4,=3.故将①式可变为:,解得d=q=2-故=2,=1,所以故+ (2)由(1)可求得=2-故1,记=1则--∵n≥2,且n∈,故在n=2时为负数,当n≥3时为正数进行分类讨论:①当n=2时,=5②当n≥3时,记f(x)=化简得f(x)=,故在4>n≥3时,-<0,,n=4,=,n≥5时,->0则对于n≥3时,n=4或3时有最小值-故<故的最小值为.10.(2021·浙江金华市·高三三模)若数列的前n项和为,.(1)求数列的通项公式;(2)已知数列满足,其前n项和为,若对任意恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用化简可得为等比数列,由此可求得通项公式;(2)由题可得恒成立,n为偶数时,,n为奇数时, .【详解】(1)解:因为,所以,当,时,所以,所以数列为等比数列,首项为,公比为2,所以,则;(2)解:因为,所以,由(1),所以恒成立,当n为偶数时,恒成立,所以,设,由于,所以,当时,,所以,当n为奇数时,,若n=1,则有,若,则有,令,由于,所以,综上,.练真题TIDHNEG 1.(2020·北京高考真题)在等差数列中,,.记,则数列().A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项【答案】B【解析】由题意可知,等差数列的公差,则其通项公式为:,注意到,且由可知,由可知数列不存在最小项,由于,故数列中的正项只有有限项:,.故数列中存在最大项,且最大项为.故选:B.2.(2020·浙江省高考真题)已知等差数列{an}的前n项和Sn,公差d≠0,.记b1=S2,bn+1=S2n+2–S2n,,下列等式不可能成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.D.【答案】D【解析】对于A,因为数列为等差数列,所以根据等差数列的下标和性质,由可得,,A正确;对于B,由题意可知,,, ∴,,,.∴,.根据等差数列的下标和性质,由可得,B正确;对于C,,当时,,C正确;对于D,,,.当时,,∴即;当时,,∴即,所以,D不正确.故选:D.3.(2019年浙江卷)设,数列中,,,则()A.当B.当C.当D.当【答案】A【解析】选项B:不动点满足时,如图,若,排除 如图,若为不动点则选项C:不动点满足,不动点为,令,则,排除选项D:不动点满足,不动点为,令,则,排除.选项A:证明:当时,,处理一:可依次迭代到;处理二:当时,,则则,则.故选A4.(2020·江苏省高考真题)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和,则d+q的值是_______.【答案】【解析】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,根据题意.等差数列的前项和公式为,等比数列的前项和公式为,依题意,即, 通过对比系数可知,故.故答案为:5.(2019年浙江卷)设等差数列的前项和为,,,数列满足:对每成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)记证明:【答案】(1),;(2)证明见解析.【解析】(1)由题意可得:,解得:,则数列的通项公式为.其前n项和.则成等比数列,即:,据此有:,故. (2)结合(1)中的通项公式可得:,则.6.(2021·天津高考真题)已知是公差为2的等差数列,其前8项和为64.是公比大于0的等比数列,.(I)求和的通项公式;(II)记,(i)证明是等比数列;(ii)证明【答案】(I),;(II)(i)证明见解析;(ii)证明见解析.【解析】(I)由等差数列的求和公式运算可得的通项,由等比数列的通项公式运算可得的通项公式;(II)(i)运算可得,结合等比数列的定义即可得证;(ii)放缩得,进而可得,结合错位相减法即可得证.【详解】(I)因为是公差为2的等差数列,其前8项和为64.所以,所以,所以;设等比数列的公比为,所以,解得(负值舍去),所以; (II)(i)由题意,,所以,所以,且,所以数列是等比数列;(ii)由题意知,,所以,所以,设,则,两式相减得,所以,所以.

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发布时间:2023-10-24 10:45:02 页数:28
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文章作者:180****8757

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