数学一轮复习专题3.8 函数与方程 （新教材新高考）（练）教师版

专题3.8函数与方程练基础1．（2021·浙江高一期末）方程（其中）的根所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数的单调性和函数零点存在定理，即可判断零点所在的区间．【详解】函数在上为增函数，由，（1），（1）结合函数零点存在定理可得方程的解在，内．故选：．2．（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，＋∞）D．（0，2）【答案】B【解析】根据二次函数的性质，结合题意，列出不等式组，即可求得答案.【详解】因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点， 所以，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B3．（2021·江西高三其他模拟（理））已知函数，若函数，仅有1个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，故，然后作出函数图像，求出函数在处的切线的斜率可得答案【详解】令，故，作出函数的大致图像如图所示，观察可知，临界状态为直线与曲线在处的切线，当时，，则，所以切线的斜率为，所以，故选：A. 4．（2021·全国高三其他模拟）已知，有下列四个命题：：是的零点；：是的零点；：的两个零点之和为1：有两个异号零点若只有一个假命题，则该命题是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先假设，是真命题，则，均为假命题，不合题意，故，中必有一个假命题.然后分情况讨论是假命题和是假命题的两种情况，推出合理或者矛盾.【详解】由题意，若，是真命题，则，均为假命题，不合题意，故，中必有一个假命题.若是假命题，，是真命题，则的另一个零点为，此时为真命题，符合题意；若是假命题，，是真命题，则的另一个零点为，此时为假命题，不符合题意.故选:A. 5.（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】将问题转化为与的交点个数，由解析式画出在上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.【详解】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，由题设知，在上的图象如下图示，∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.6．【多选题】（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（）A．B．C．D．【答案】ABD 【解析】本题首先可通过求导得出函数在上是增函数、在上是减函数以及，然后通过函数的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果.【详解】，，当时，，函数在上是增函数；当时，，函数在上是减函数，，A项：，，因为，所以函数在内存在零点，A正确；B项：，，因为，，所以函数在内存在零点，B正确；C项：，，，因为，所以函数在内不存在零点，C错误；D项：，，，则函数在内存在零点，D正确，故选：ABD.7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当，，则（）A．是偶函数B．的图象关于对称 C．在上有3个实数根D．【答案】BC【解析】由为偶函数，得到的图象关于对称，可判定B正确；由是奇函数，得到函数关于点对称，得到和，根据题意，求得，可判定D不正确；由，可判定A不正确；由，可判定C正确.【详解】根据题意，可得函数的定义域为，由函数为偶函数，可得函数的图象关于对称，即，所以B正确；由函数是奇函数，可得函数的图象关于点对称，即，可得，则，即函数是以8为周期的周期函数，当时，，可得，即，所以D不正确；由函数是以8为周期的周期函数，可得，因为，令，可得，所以，所以函数一定不是偶函数，所以A不正确；当时，，所以，由，可得，又由，所以C正确.故选：BC.8．（2020·全国高三专题练习）函数f（x）=（x-2）2-lnx的零点个数为______．【答案】2 【解析】令，得到，将等号左右两边看成两个函数，在同一坐标系下画出图像，找到它们的交点个数，即得到的零点个数.【详解】函数的定义域为，画出两个函数，的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2．故答案为2．9.（湖南高考真题）若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是_____.【答案】0<b<2【解析】画出的图像，和如图，要有两个交点，那么10．（2020·全国高三专题练习）设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．【答案】(1,2)【解析】 设f（x）=x3-，则x0是函数f(x)的零点，根据图象，结合零点存在定理，可得x0的所在区间.【详解】设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示．因为f(1)＝1－＝－1＜0，f(2)＝8－＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0，所以x0∈(1,2)．练提升TIDHNEG1．（2021·河南高三月考（文））已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出函数图象，题目等价于与有四个不同的交点，数形结合可得且直线 与曲线，，有两个不同的公共点，满足在内有两个不等实根即可.【详解】画出的函数图象，设，该直线恒过点，结合函数图象，可知若方程有四个不同的实数根，则且直线与曲线，，有两个不同的公共点，所以在内有两个不等实根，令，实数满足，解得，又，所以实数的取值范围是.故选：D.2．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））已知实数，满足，若方程的两个实根分别为，，则不等成立的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 若方程两个实根分别为，且可得，再根据得到可行域，利用几何概型即可得解.【详解】设，则，即，设对应区域面积为，满足对应区域面积为，则由图可知，，所以.故选：A3．（2021·浙江杭州市·杭十四中高三其他模拟）已知二次函数有两个不同的零点，若有四个不同的根，且成等差数列，则不可能是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】设的两个不同零点为m，n，且m>n，根据韦达定理，可得，的表达式，根据有四个不同的根，可得以对应的根为， 对应的根为，根据韦达定理，可得，，，表达式，根据题意，计算化简，可得m，n的关系，代入，根据二次函数的性质，即可得答案.【详解】设的两个不同零点为m，n，且m>n，所以，，且，又因为有四个不同的根，所以对应的根为，对应的根为，所以，，所以，同理，因为成等差数列，所以，则所以，解得，因为m>n，所以，解得，所以，所以当时，有最大值，所以不可能为3.故选：D 4．（2021·浙江湖州市·高三二模）“关于的方程有解”的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】数形结合，探讨出“关于的方程有解”的充要条件，再由必要不充分条件的意义即可得解.【详解】关于的方程有解，等价于函数与的图象有公共点，函数的图象是以原点为圆心，1为半径的上半圆，y=|x-m|的图象是以点(m，0)为端点，斜率为且在x轴上方的两条射线，如图：y=x-m与半圆相切时，点(m，0)在B处， ，y=-x+m与半圆相切时，点(m，0)在A处，，当y=|x-m|的图象的顶点(m，0)在线段AB上移动时，两个函数图象均有公共点，所以“关于的方程有解”的充要条件是，B不正确；因，，即是的必要不充分条件，A正确；，，即是的充分不必要条件，C不正确；，，即是的不充分不必要条件，C不正确.故选：A.5．（2021·辽宁高三月考）已知的定义域为，且满足，若，则在内的零点个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】求出函数在区间值域及单调性，由此可得出结论.【详解】当时，，当时，，则，当时，，则，以此类推，当时，，且函数在区间上为增函数， ，所以，函数在区间上有且只有一个零点，且，因此，在内的零点个数为.故选：B.6．（2021·浙江高三其他模拟）设是常数，若函数不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（）A．或B．C．1D．【答案】D【解析】令，易知是的一个零点.只需讨论的情况：分为b=0和b≠0分类讨论.在b≠0时，根据判别式讨论根的情况即可.【详解】令，即或.显然是的一个零点.下面讨论的根的情况：（1）b=0时，.不符合题意.（2）b≠0时，①若时，有或，此时没有实数根，符合题意；②若时，有或，若，的根为，所以有一个零点，符合题意；若，的根为，所以有两个零点，不符合题意；③若时，有或，此时有实数根，要使函数不可能有两个零点，只需不是的根，所以，即，符合题意； 故选：D7．（2021·江西抚州市·高三其他模拟（文））若函数f(x)满足，当时，．若在区间内有两个零点则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设可得，由内有两个零点，可知内与有两个交点，应用数形结合并利用导数判断存在两个交点时m的范围即可.【详解】由题意，若，则，则，∴时，，∴，在内有两个零点，即内与有两个交点，且过定点， ∴时，显然图象只有一个交点，即仅有一个零点，时，在右半支上，当过时，要使上图象有两个交点，则，当时，在左半支上，当与相切时只有一个交点，此时，得，则，∴，整理得，可得，∴要使上图象有两个交点，则.综上，.故选：A8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数是上的奇函数，且满足，当时，．则下列四个命题中正确的是（）A．函数为奇函数B．函数为偶函数 C．函数的周期为8D．函数在区间上有4个零点【答案】BC【解析】先利用条件中的等式得到，再利用函数的奇偶性得到，然后结合条件中的等式逐个对选项进行分析判断即可．【详解】令，得，故，又是上的奇函数，所以，所以，所以，所以，所以函数的周期为8，选项C正确．因为，所以，又是上的奇函数，所以，即，故，所以函数的图象关于直线对称，所以为偶函数，选项B正确．是上的奇函数，则，又，且当时，，所以当时，只有2个根．又函数的图象关于直线对称，所以当时，只有，故当时，只有2个根，由对称性知，当时，只有2个根，所以函数在区间上有5个零点，故选项D错误若函数为奇函数，则，令，则，又，所以．又函数的图象关于直线对称，所以，故，与当时，矛盾，故选项A错误．故选：BC．9．（2021·晋中市新一双语学校高三其他模拟（文））规定记号""表示一种运算，即，若，函数的图象关于直线对称，则___________. 【答案】1【解析】根据新运算的定义，得到函数解析式为，再根据函数图象关于直线对称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果.【详解】由题意可得：，，则函数有四个零点，从大到小依次是，，，，因为函数的图象关于直线对称，所以与关于直线对称，与关于直线对称，所以，解得故答案为：1.10．（2021·上海格致中学高三三模）已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____【答案】【解析】方程在上恰有2021个零点，等价于存在，使在上恰有2021个交点，作出函数的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交点都处在之间才能取到2021个点，代入条件求得参数取值范围.【详解】由函数在上的解析式作出如图所示图像， 由知，函数是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，若使时，存在，方程在上恰有2021个零点，等价于在上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即时满足条件，且必须每个周期内均应使处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点，则当时，需使最后一个完整周期中的极小值，即，解得，即当时，需使最后一个极大值，即，解得，即，综上所述，故答案为：练真题TIDHNEG1.（2018·全国高考真题（理））已知函数f(x)=ex，x≤0，lnx，x>0，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数f(x)的图像，y=ex在y轴右侧的去掉，再画出直线y=-x，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程f(x)=-x-a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足-a≤1，即a≥-1，故选C.2.（2021年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则___________.【答案】2【解析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.3.（安徽高考真题）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为.【答案】【解析】时取得最小值．即函数的图像的最低点为．当时，由数形结合可知此时直线与的图像必有两个交点，故舍；当时，要使直线与的图像只有一个交点，则有直线必过点，即，解得． 综上可得．4.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=x-4,x≥λx2-4x+3,x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)(1,3]∪(4,+∞)【解析】由题意得x≥2x-4<0或x<2x2-4x+3<0，所以2≤x<4或1<x<2，即1<x<4，不等式f(x)<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x-4>0，此时f(x)=x2-4x+3=0,x=1,3，即在(-∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x-4=0,x=4，由f(x)=x2-4x+3在(-∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).5.（2018·天津高考真题（理））已知a>0，函数f(x)=x2+2ax+a,    x≤0,-x2+2ax-2a,x>0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是______________.【答案】(4 ， 8)【解析】分类讨论：当x≤0时，方程fx=ax即x2+2ax+a=ax，整理可得：x2=-ax+1，很明显x=-1不是方程的实数解，则a=-x2x+1，当x>0时，方程fx=ax即-x2+2ax-2a=ax，整理可得：x2=ax-2，很明显x=2不是方程的实数解，则a=x2x-2，令gx=-x2x+1,x≤0x2x-2,x>0，其中-x2x+1=-x+1+1x+1-2，x2x-2=x-2+4x-2+4原问题等价于函数gx与函数y=a有两个不同的交点，求a的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数gx的图象，同时绘制函数y=a的图象如图所示，考查临界条件，结合a>0观察可得，实数a的取值范围是4,8. 6.（2019·江苏高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是_____.【答案】.【解析】当时，即又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可. 当时，函数与的图象有个交点；当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.